正项等比数列的两个性质
作者:佚名 来源:本站整理 发布时间:2008-8-12 8:44:20
设 是以q为公比的正项等比数列,则有以下两个性质:
性质1 (n>2m).
证明: = .
设m< ,则 =
= = .
∴ . (1)
这就是说正项等比数列的前n项的几何平均数等于这n项的中间n—2m(n>2m)项的几何平均数.
记数列前n项的积为 ,则(1)式可以写成 . (2)
注:对于(2)式,条件m< 可减弱为m 且m .
性质2 对于任意的 ,总有 为常数.
证明: , ,
可得, , , .
令 整理,得 (3)
这就是说,正项等比数列中,对于任意的 ,总有 为常数.
注:对于(3)式,可推广到n<m的情况.
利用这两个性质,可以解决某些与正项等比数列前 项的积有关的问题,方法新颖、简练、独特。下面略举两例说明这两个性质的应用.
例1 等比数列 中, >0,
(1) 若所有项的积为32,前3项的积为4096,后3项的积为 ,求项数n;
(2)若前2项的积为 ,前4项的积为 ,求前8项的积.
解(1) 法1 ,则由本文性质1,得
, ∴ 。∴ n=10.
法2易得, = =16384,由本文性质2得, ,化简,得 = , ,故 ,从而 n=10.
(2)法1 由本文性质1,得 ,
∴ ,再由性质1,得 。∴ .
法2 由本文性质2,得 ,将 、 代入,得 .
例2 等比数列 中, >0,已知 , 且 ,求 .
解:令 > ,由本文性质2,得 ,
, 所以 .
若令m<n,同样可得 .
这说明结果与m、 谁大谁小没有关系,所以 .
性质1 (n>2m).
证明: = .
设m< ,则 =
= = .
∴ . (1)
这就是说正项等比数列的前n项的几何平均数等于这n项的中间n—2m(n>2m)项的几何平均数.
记数列前n项的积为 ,则(1)式可以写成 . (2)
注:对于(2)式,条件m< 可减弱为m 且m .
性质2 对于任意的 ,总有 为常数.
证明: , ,
可得, , , .
令 整理,得 (3)
这就是说,正项等比数列中,对于任意的 ,总有 为常数.
注:对于(3)式,可推广到n<m的情况.
利用这两个性质,可以解决某些与正项等比数列前 项的积有关的问题,方法新颖、简练、独特。下面略举两例说明这两个性质的应用.
例1 等比数列 中, >0,
(1) 若所有项的积为32,前3项的积为4096,后3项的积为 ,求项数n;
(2)若前2项的积为 ,前4项的积为 ,求前8项的积.
解(1) 法1 ,则由本文性质1,得
, ∴ 。∴ n=10.
法2易得, = =16384,由本文性质2得, ,化简,得 = , ,故 ,从而 n=10.
(2)法1 由本文性质1,得 ,
∴ ,再由性质1,得 。∴ .
法2 由本文性质2,得 ,将 、 代入,得 .
例2 等比数列 中, >0,已知 , 且 ,求 .
解:令 > ,由本文性质2,得 ,
, 所以 .
若令m<n,同样可得 .
这说明结果与m、 谁大谁小没有关系,所以 .
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