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2019年人教版中考一轮复习《方程与不等式讲义》同步练习含试卷分析答题技巧中考第一轮复习方程与不等式,考试内容 考试要求层次 A B C方程 知道方程是刻画现实世界数量关系的一个有效数学模型 能够根据具体问题中的数量关系，列出方程 能运用方程解决有关问题方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等方法估计方程的解 一元一次方程 了解一元一次方程的有关概念 会根据具体问题列出一元一次方程 一元一次方程的解法 理解一元一次方程解法中的各个步骤 熟练掌握一元一次方程解法；会解含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程(无需讨论) 会运用一元一次方程解决简单的实际问题二元一次方程（组） 了解二元一次方程（组）的有关概念 能根据具体问题列出二元一次方程（组） 二元一次方程组的解法 知道代入消元法、加减消元法的意义 掌握代入消元法和加减消元法；能选择适当的方法解二元一次方程组 会运用二元一次方程组解决简单的实际问题分式方程及其解法 了解分式方程的概念 会解可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）；会对分式方程的解进行检验 会运用分式方程解决简单的实际问题一元二次方程 了解一元二次方程的概念，会将一元二次方程化为一般形式，并指出各项的系数；了解一元二次方程根的意义 能由一元二次方程的概念确定二次项系数中所含字母的取值范围；会由方程的根求方程中待定系数的值 一元二次方程的解法 理解配方法，会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程，理解各种解法的依据 能选择适当的方法解一元二次方程；会用一元二次方程根的判别式判断根的情况 能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定系数的取值范围；会用配方法对代数式作简单的变形；会运用一元二次方程解决简单的实际问题不等式（组） 能根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义 能根据具体问题中的数量关系列出不等式（组） 不等式的性质 理解不等式的基本性质 会利用不等式的性质比较两个实数的大小 解一元一次不等式（组） 了解一元一次不等式（组）的解的意义，会在数轴上表示或判定其解集 会解一元一次不等式和一元一次不等式组，并会根据条件求整数解 能根据具体问题中的数量关系，用列出一元一次不等式解决简单问题一、定义方程的定义：含有未知数的等式叫做方程．一元一次方程：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为一次的整式方程叫做一元一次方程．一元二次方程的定义：含有一个未知数且含未知数的项的最高次数为二次的整式方程叫做一元二次方程．方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．二、根的情况对于形如的形式应判断，，的情况而定：⑴当且方程有唯一解．⑵当且，时，方程有无数解．⑶当且且时，方程无解．⑷当时，方程为一元二次方程．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．三、特殊根对于关于的方程⑴当方程有一根为时，则．⑵当方程有一根为时，则．⑶当方程有一根为时，则．⑷当方程两根互为相反数时，则．⑸当方程有一根大于零一根小于零时，则．⑹当方程两根都大于零时，则且．⑺当方程两根都小于零时，则且．⑻当方程有一根大于，一根小于，则．四、整数根思路一：有整数根必须具备的前提条件：①有实数根：；②有有理数根：是完全平方数；②有整数根：是的整数倍．思路二：能分解因式的用分离系数法．【编写思路】本讲没有分模块，共分两个板块，对方程与不等式问题分了两个层次.第一个板块（能力提升）：代数式变形板块；例1复习代数式变形中常用的几种方法；代数式变形是代数中的重点难点，也是中考要求中C要求部分.常见方法如下：        ①、加减消元；1、消元         Ⅰ、部分代入；        ②、代入消元                Ⅱ、整体代入；        ①、直接开方；      ②、配方：A2+B2=0；    2、降次         ③、因式分解：A·B=0或A·B=c（c为常整数，且A、B均等于整数）；                  Ⅰ、条件为一元二次方程：转化为，然后进行降次；④、利用题设条件Ⅱ、条件为，转化为，然后两边平方得，然后进行降次；     3、换元整体（当需要对某个代数式进行整体处理时，可以考虑对这个代数式进行换元处理）。第二个板块（综合探索）：一元二次方程板块；此版块主要复习一元二次方程，并借助一元二次方程复习代数式的相关变形.例题中重点四类题型：一是一元二次方程和代数式变形的结合（例2、例3）：主要方法同上；二是一元二次方程的区间根问题（例4）；三是公共根问题：设、代、解三步走（例5）；四是方程的整数根问题，主要处理方法如下(其中分解质因数的方法超出中考范畴，某些区模拟可能会简单涉及，老师可自行选择)（例6）：                      ①、为整数；1、用十字相乘法解含参一元二次方程                      ②、为整数，先用分离常数法转化为；                        ①、判别式为一次多项式时，可根据参                          数的取值范围直接求出参数的整数                          解，然后检验；2、不能因式分解时，使判别式为完全平方数           ②、判别式为二次多项式时，如：Ⅰ、设m2+4m-3=n2；Ⅱ、转化为；Ⅲ、分解成A·B=7，从而求出m。【例1】 代数式变形.⑴分解因式：．⑵已知，则的值为．⑶对任意实数，等式恒成立，则.⑷若，则的值为____________.⑸已知是方程的根，则代数式的值为．⑹当整数为时，代数式的值为整数.⑺已知、为整数，且（），则.⑻已知，，，用、表示为.【解析】 ⑴.点评：因式分解是常考的代数式变形，主要考查提公因式法、平方差公式和完全平方公式.⑵∵，，∴，，∴，，∴.⑶由得，对于任意的成立，故故，故.点评：此类题有两种解法，一种是变为的形式，一种是对进行赋值解方程组.⑷对分母进行整体换元：令，原方程化为，去分母得，解得，，故或.⑸把代入得，.⑹，当，代数式的值为整数.⑺由得，∵，∴或或或解得（舍）或或（舍）或∴.⑻.【例2】 已知：关于的一元二次方程有实数根．⑴求的取值范围；⑵若，是此方程的两个根，且满足，求的值．【解析】(1)4+4m≥0，m≥-1； (2)将a，b代入一元二次方程可得        【点评】应具备将方程的解代入原方程中的处理方法，再利用降次和整体代入求代数式的值.【例3】 知关于x的方程①有两个相等的实数根；⑴用含n的代数式表示；⑵求证：关于y的方程②必有两个不相等的实数根；⑶若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式的值.【解析】⑴证明：方程①有两个相等的实数根， 且，则由方程②，有=且， 方程②必有两个不相等的实数根。⑵解法一：由可得将代入方程<1>得解得 方程①的一根的相反数是方程②的一个根，由根的定义，得整理，得即解法二：由解法一得是方程②的一个根。设方程②的另一根为由根与系数的关系可得；；；以下同解法一。解法三：方程②为③方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为，为方程①的根。由方程③变形，得又由解法一可知， 以下同解法一。【例4】 已知关于m的一元二次方程=0.⑴判定方程根的情况；⑵设m为整数，方程的两个根都大于且小于，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．【解析】⑴∵∴所以无论m取任何实数，方程=0都有两个不相等的实数根.⑵设．∵的两根都在和之间，∴当时，，即：．当时，，即：．∴．∵为整数， ∴．①当时，方程，此时方程的根为无理数，不合题意．②当时，方程，，不符合题意．③当时，方程，符合题意．综合①②③可知，．【例5】 已知关于x的两个一元二次方程：方程①:;方程②:.⑴若方程①有两个相等的实数根，求解方程②；⑵若方程①和②中只有一个方程有实数根,请说明此时哪个方程没有实数根,并化简；⑶若方程①和②有一个公共根a,求代数式的值．【解析】⑴∵方程①有两个相等实数根,  ∴由③得k+20,由④得(k+2)(k+4)=0.∵k+20,∴k=-4.当k=-4时,方程②为:. 解得⑵由方程②得2=.法一2－1＝-(k+2)(k+4)=3k2＋6k+5=3(k+1)2＋2>0.∴2>1.∵方程①、②只有一个有实数根，∴2>0>1.∴此时方程①没有实数根.由得(k+2)(k+4)<0..∵(k+2)(k+4)<0,∴.法二:∵2=>0.因此无论k为何值时,方程②总有实数根.∵方程①、②只有一个方程有实数根，∴此时方程①没有实数根.下同解法一.⑶法一:∵a是方程①和②的公共根,∴;.∴,.=2+3=5.法二:∵a是方程①和②的公共根,∴;③.④∴（③－④）2得⑤由④得⑥将⑤、⑥代入原式，得原式===5.【例6】 已知关于的方程⑴求证：无论取任何实数时，方程恒有实数根.⑵若关于的二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，求抛物线的解析式.【解析】⑴证明：①当时，方程为，所以，方程有实数根.②当时,===所以,方程有实数根综①②所述，无论取任何实数时，方程恒有实数根⑵令，则解关于的一元二次方程，得，二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为正整数，且为整数，所以只能取1，2所以抛物线的解析式为或【例题精讲】【探究对象】含参的一元二次方程的整数根问题【探究目的】对一元二次方程的整数根求解策略进行了方法总结和梳理【探究方法】思路1：探究方程是否能直接求根？思路2：如果不能直接求根就思考判别式，那么判别式的形式都有几种，对于每一种情况应该用什么样的方法处理？思路3：如何应用根与系数的关系解决整数根问题？整系数一元二次方程有整数根，则：(1)两个根都是整数；(2)判别式是整数；(3)判别式是整数的完全平方；(4)两根和是整数，两根积是整数.一、直接求根法：【探究1】已知关于的方程的根是整数，那么符合条件的整数的值为分析：当时，符合条件当时，易知是方程一个整数根由根与系数关系知另一根为因为为整数，所以，即所以．【探究2】已知方程有两个不相等的正整数根，求整数的值.分析：因为方程有两个正整数根，即，所以二、判别式法【探究3】设为整数，且，又方程有两个整数根.求的值及方程的根.分析：考察判别式△＝4(2m＋1)，因是关于m的一次式，由已知4＜m＜40，可知9＜2m＋1＜81.为使判别式为完全平方数，只有2m＋1＝25或2m＋1＝49.当2m＋1＝25时，m＝12，方程两根分别为16，26；当2m＋1＝49时，m＝24，方程两根分别为38，52.注：当判别式是一次式时，可结合已知条件通过讨论得出参数的范围.【探究4】已知为自然数，关于的方程有两个整数根，求出这个方程的正整数根和.分析：要得整数根，判别式必须为完全平方数或式．原方程可化为则设则所以因为，为整数而考虑到，奇偶性相同且故有．分别代入方程可得正整数根为或所以当时正整数根为，当时正整数根为1．【探究5】设为整数，有整数根，则的值为.分析：当时，原方程可化为不合题意；当时，令即；且，为整数，故．三、根与系数关系【探究6】若关于的二次方程的两根都是整数，求整数的值.分析：因为所给的方程是二次方程，所以由根与系数关系，得因为为整数，所以必为整数．因为为整数，所以当时，方程为，，两根均为整数当时，方程为，，两根均为整数当时，方程为方程无实根当时，方程为方程无实根所以当时，方程为两根均为整数．【探究7】试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根.分析：若，则方程为，不合题意若，设方程的两个整数根为，则，于是，因为，为整数，且，所以，；．所以解得注意：探究5和探究7为提高尖子班选讲内容，教师也可根据具体班级情况进行讲解.以上建议仅供教师参考.【总结】1：对含参的一元二次方程，要立刻对其因式分解，这是解决整数根问题的策略习惯.2：判别式的形式有很多形式，最容易的就是完全平方式，但这种不怎么常考；对于判别式有以下几种常考形式，对这几种形式进行总结：（1）判别式是一次式且参数已知，利用判别式为完全平方数求参数值；（探究3）（2）判别式是二次式且不为平方式，可采用配方法变形；（探究4）（3）判别式是一次式但参数未知，可设其为平方数,并来表示值；（探究5选讲）3：两个整数的和与积都是整数，充分利用整数运算的结构特征，把韦达定理和求解一元二次方程的整数解有机的结合起来，在思考过程中需要认真分析题干条件，整数解、正整数解都对代数式的讨论起着重要的作用。（选讲）【例7】 已知是一元二次方程的一个根，若正整数，，使得等式成立，求的值.【解析】因为是一元二次方程的一个根，显然是无理数，且.    等式即，    即，即.    因为，，是正整数，是无理数，所以于是可得    因此，，是关于的一元二次方程①的两个整数根，    方程①的判别式.    又因为，是正整数，所以，从而可得.    又因为判别式是一个完全平方数，验证可知，只有符合要求.    把代入可得.综合训练1训练1. 已知实数，，，，满足，，求证：关于的一元二次方程必有实数根．【解析】 ∵，∴，∴①当时，②当时，∴关于的一元二次方程必有实数根．训练2. 已知为整数，若关于的一元二次方程有有理根，求的值．【解析】 ∵方程有有理根∴判别式为完全平方数．设（为正整数），即，所以∵和为整数，且∴或解得，．∵方程为一元二次方程∴∴．训练3. 对于任意实数，方程总有一个根为．⑴求实数，；⑵求另一根的范围.【解析】 先把一个根为1代入原方程，利用特殊值或者形式变换来求出，．⑴是原方程的解，代入得：，即．由于取任何实数上式总成立，于是有：解得：⑵将代入原方程得：因为，所以整理得：当时，符合题意．当，为实数时，表示关于的一元二次方程有实数根，于是，即，．∴另一根的范围为．【点评】 在⑴中，由条件知为任意实数，方程总有实根为1，故可对取特殊值．当时，；当时，，从而求得，的值．需要注意的是，这个题目所渗透的思想在一次函数学习中也出现过．在⑵中使用判别式法求另一根的范围，有一定的技巧，要好好体会．训练4. 已知：关于的一元二次方程，其中．⑴求此方程的两个实数根（用含的代数式表示）；⑵设抛物线与轴交于、两点（在的左侧），若点的坐标为，且，求抛物线的解析式；⑶已知点、、都在⑵中的抛物线上，是否存在含有、、，且与无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．【解析】 ⑴将原方程整理，得，∴．∴或．⑵由⑴知，抛物线与轴的交点分别为、，∵在的左侧，．∴，．则，．∵，∴．∴．解得．∵，∴．∴，．∴抛物线的解析式为.⑶答：存在含有、、，且与无关的等式，如：（答案不唯一）．证明：由题意可得，，．∵左边=．右边=－=．∴左边=右边．∴成立．整数根主要掌握整数分离方法，有理根主要掌握因式分解方法，定值或定根主要掌握方法，等量关系表示主要掌握线性表示．综合训练2训练1. 已知关于的一元一次方程①的根为正实数，二次函的图象与轴一个交点的横坐标为1.⑴若方程①的根为正整数，求整数的值；⑵求代数式的值；⑶求证:关于的一元二次方程②必有两个不相等的实数根.【解析】 ⑴解：由，得.依题意.∴.∵方程的根为正整数，为整数,∴或.∴，.⑵解：依题意，二次函数的图象经过点，∴，.∴=⑶证明：方程②的判别式为.由，，得.(i)若，则.故.此时方程②有两个不相等的实数根.(ii)证法一:若,由⑵知，故..∵方程的根为正实数，∴方程的根为正实数.由，得.∴.∵，∴.此时方程②有两个不相等的实数根.证法二:若，∵抛物线与轴有交点，∴..由证法一知，∴.∴.此时方程②有两个不相等的实数根.综上,方程②有两个不相等的实数根.训练2. 在正实数范围内，只有一个数是关于的方程的解，求实数的取值范围．【解析】 原方程可化为，①⑴当时，，满足条件；⑵若是方程①的根，得，解得．此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；⑶当方程①有异号实根时，，得，此时原方程也只有一个正实数根；⑷当方程①有一个根为时，，另一根为，此时原方程也只有一个正实根。综上所述，满足条件的的取值范围是或或．训练3. 对于任意实数，方程恒有一个实根．⑴求、的值．⑵求另一根的最大值与最小值．【解析】 ⑴由于恒为方程的根，所以对任意实数有即即解得⑵方程的另一根为去分母，整理得由于是任意实数，故必有，即即，即当时，；当时，．所以，当时，取到最小值；当时，取到最大值．训练4. 已知：关于的一元二次方程，其中．⑴求此方程的两个实数根（用含的代数式表示）；⑵设抛物线与轴交于、两点（在的左侧），若点的坐标为，且，求抛物线的解析式；⑶已知点、、都在⑵中的抛物线上，是否存在含有、、，且与无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．【解析】 ⑴将原方程整理，得，∴．∴或．⑵由⑴知，抛物线与轴的交点分别为、，∵在的左侧，．∴，．则，．∵，∴．∴．解得．∵，∴．∴，．∴抛物线的解析式为.⑶答：存在含有、、，且与无关的等式，如：（答案不唯一）．证明：由题意可得，，．∵左边=．右边=－=．∴左边=右边．∴成立．整数根主要掌握整数分离方法，有理根主要掌握因式分解方法，定值或定根主要掌握方法，等量关系表示主要掌握线性表示．实战演练【演练1】 已知关于的方程①有两个不相等的实数根．⑴求的取值范围；⑵若为整数，且，是方程①的一个根，求代数式的值．【解析】 ⑴∵方程有两个不相等的实数根∴方程为一元二次方程∴由得∴的取值范围为⑵由⑴且又∵，为整数∴∴原方程为∵是该方程的一个根∴∴，原式【演练2】 已知：关于的一元二次方程⑴若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；⑵求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；⑶若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值.【解析】 ⑴∵方程有两个不相等的实数根，∴且∴且∴的取值范围是且⑵证明：由求根公式∴∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1.⑶∵为整数，且方程的两个根均为正整数∴必为整数∴或当时，；当时，；当时，；当时，.∴或.【演练3】 已知关于x的一元二次方程有两个整数根，且，求m的整数值.【解析】 ∵一元二次方程有两个整数根∴∴∵∴可取的整数有0，1，2，3，4.由求根公式∵一元二次方程有两个整数根∴必须是完全平方数∴，.【演练4】 已知：关于的一元二次方程⑴若，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若的整数，且方程有两个整数根，求的值．【解析】 ⑴证明：∵∴∴方程有两个不相等的实数根．⑵∵方程有两个整数根，必须使且为整数．又∵，∴∴．为奇数，∴【演练5】 已知：关于的一元二次方程．⑴若原方程有实数根，求的取值范围；⑵设原方程的两个实数根分别为，．①当取哪些整数时，，均为整数；②利用图象，估算关于的方程的解．【解析】 ⑴∵一元二次方程有实数根，∴∴∴当时，一元二次方程有实数根．⑵①由求根公式，得．∴（分离常数），．要使，均为整数，必为整数，所以，当取时，，均为整数．②将，代入方程中，得．设，，并在同一平面直角坐标系中画出与的图象由图象可得，关于的方程的解为，．实战演练2【演练1】 已知：关于的一元二次方程⑴若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；⑵求证：无论为何值，方程总有一个固定的根；⑶若为整数，且方程的两个根均为正整数，求的值.【解析】 ⑴∵方程有两个不相等的实数根，∴且∴且∴的取值范围是且⑵证明：由求根公式∴∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1.⑶∵为整数，且方程的两个根均为正整数∴必为整数∴或当时，；当时，；当时，；当时，.∴或.【演练2】 已知关于x的一元二次方程有两个整数根，且，求m的整数值.【解析】 ∵一元二次方程有两个整数根∴∴∵∴可取的整数有0，1，2，3，4.由求根公式∵一元二次方程有两个整数根∴必须是完全平方数∴，.【演练3】 已知：关于的一元二次方程⑴若，求证：方程有两个不相等的实数根；⑵若的整数，且方程有两个整数根，求的值．【解析】 ⑴证明：∵∴∴方程有两个不相等的实数根．⑵∵方程有两个整数根，必须使且为整数．又∵，∴∴．为奇数，∴【演练4】 已知：关于的一元二次方程．⑴若原方程有实数根，求的取值范围；⑵设原方程的两个实数根分别为，．①当取哪些整数时，，均为整数；②利用图象，估算关于的方程的解．【解析】 ⑴∵一元二次方程有实数根，∴∴∴当时，一元二次方程有实数根．⑵①由求根公式，得．∴（分离常数），．要使，均为整数，必为整数，所以，当取时，，均为整数．②将，代入方程中，得．设，，并在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象由图象可得，关于的方程的解为，．【演练5】 已知关于的方程⑴若方程有两个有理数根，求整数的值．⑵若满足不等式，试讨论方程根的情况．【解析】 ⑴方程有两个有理数根，当时，原方程为一元二次方程，根是有理数，所以根的判别式为完全平方数．不妨设（为正整数），可变形为∴又∵∴或或或解得，，，（舍）．所以整数的值为，，．⑵若，满足，此时方程只有一个实数根；若时，∴此时方程有两个不相等的实数根.