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2019年中考复习同步练习：二次函数的综合应用含试卷分析答题技巧第6课时二次函数的综合应用命题点1二次函数实际应用1.(2018巴中)一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内，已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是()A.此抛物线的解析式是y＝－15x2＋3.5B.篮圈中心的坐标是(4，3.05)C.此抛物线的顶点坐标是(3.5，0)D.篮球出手时离地面的高度是2m第1题图2.(2018安徽)小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元，每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变；小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位：元)．(1)用含x的代数式表示W1，W2；(2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大，最大总利润是多少？3.(2018巴彦淖尔改编)工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，如图所示，需要将四角各裁掉一个正方形．(厚度不计)(1)若长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍(长大于宽)，并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？第3题图命题点2二次函数与几何图形综合题4.(2018自贡)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过点A(1，0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点．(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使以P、Q、D、R四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．第4题图5.(2018怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在抛物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．6.(2018锦州)在平面直角坐标系中，直线y＝12x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝12x2＋bx＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．(1)求二次函数的表达式；(2)如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；(3)如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标；若不存在，请说明理由．第6题图7.(2018十堰)已知抛物线y＝12x2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(0，－4)，与x轴交于另一点C，连接BC.(1)求抛物线的解析式；(2)如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO＝S△PBC，求证：AP∥BC；(3)在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E,使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．答案1.A2.(1)W1＝－2x2＋60x＋8000，W2＝－19x＋950;(2)当x＝10时，总利润W最大，最大总利润是9160元．3.(1)裁掉的正方形边长为2分米；(2)当裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低为31元．4.(1)直线AD的解析式为y＝x－1，抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3；(2)∵P(m，n)在线段AD上，∴点P的坐标为(m，m－1)，∴点Q的坐标为(m，m2＋2m－3)，∴l＝m－1－(m2＋2m－3)＝－m2－m＋2＝－(m＋12)2＋94(－2<m<1)，∵－1<0，∴当m＝－12时，l有最大值，最大值为94；(3)存在，点R的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．5.(1)抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3，直线AC的解析式为y＝3x＋3；(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D(1，4)，∴点D关于y轴的对称点E的坐标为(－1，4)，如解图①，连接BE与y轴交于点M，此时△BDM的周长最小，设直线BE的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将点B(3，0)，E(－1，4)代入得4＝－m＋n0＝3m＋n，解得m＝－1n＝3，∴直线BE的解析式为y＝－x＋3，当x＝0时，y＝3，∴点M的坐标为(0，3)，此时点M与点C重合；第5题解图①(3)在抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形．①如解图②，当点A为直角顶点时，设直线AP与y轴的交点为Q，则∠AOQ＝∠CAQ＝90°，∴∠AQO＋∠OAQ＝∠AQC＋∠ACQ，∴∠QAO＝∠ACO，∴△AOQ∽△COA，∴OQOA＝OAOC，即OQ1＝13，∴OQ＝13，∴Q(0，－13)，易求得直线AQ的解析式为y＝－13x－13，联立y＝－13x－13y＝－x2＋2x＋3，解得x1＝－1y1＝0(与点A重合，舍去)，x2＝103y2＝－139，∴点P的坐标为(103，－139)；第5题解图②第5题解图③②如解图③，当点C为直角顶点时，过点P作PK⊥y轴于点K，∴∠PCK＋∠ACO＝∠ACO＋∠CAO，∴∠PCK＝∠CAO，又∵∠PKC＝∠COA，∴△PCK∽△CAO，∴PKCO＝CKAO，设P(t，－t2＋2t＋3)，则PK＝t，CK＝3－(－t2＋2t＋3)＝t2－2t，∴t3＝t2－2t1，解得t1＝0(为点C的横坐标，舍去)或t2＝73，∴点P的坐标为(73，209)；综上，在抛物线上存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形，点P的坐标为(103，－139)或(73，209)．6.(1)二次函数的表达式为y＝12x2－32x－2；(2)S的最大值为4；(3)存在，满足条件的点D的横坐标为2或2911.7.(1)抛物线的解析式为y＝12x2－x－4；(2)证明：令y＝0，则12x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝4，∴C(4，0)，设P(x，12x2－x－4)，则S△PBO＝12OB·xP＝12×4x＝2x，S四边形POBC＝S△BOC＋S△POC＝12OB·OC＋12OC·yP＝12×4×4＋12×4×(12x2－x－4)＝8＋x2－2x－8＝x2－2x，∵S△PBO＝S△PBC，∴S四边形POBC＝2S△PBO，∴x2－2x＝4x，解得x1＝0(舍去)，x2＝6，∴P(6，8)，如解图，过P作PM⊥x轴于点M，则OM＝6，PM＝8，AM＝8，∵tan∠PAC＝PMAM＝88＝1，tan∠BCO＝OBOC＝44＝1，∴∠PAC＝∠BCO＝45°，∴AP∥BC；第7题解图(3)存在．由题意易得，当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE.由勾股定理得AB＝OA2＋OB2＝25，①当点E在线段AC上时，∵∠BAE＝∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE＝∠ACB＝45°，∴△ABE∽△ACB，则AEAB＝ABAC，∴AE25＝256，∴AE＝103，∴E(43，0)，∴直线BE的解析式为y＝3x－4，联立y＝3x－4y＝12x2－x－4，解得x1＝8y1＝20或x2＝0y2＝－4(舍去)，∴D1(8，20)；②当点E在点A的左边时，∵∠BEA＝∠BEC，∴当∠ABE＝∠BCE时，△ABE∽△BCE，则AEBE＝BECE，设OE＝a，则AE＝a－2，BE＝a2＋16，CE＝a＋4，∴a－2a2＋16＝a2＋16a＋4，解得a＝12，∴E(－12，0)，∴直线BE的解析式为y＝－13x－4.联立y＝－13x－4y＝12x2－x－4，解得x1＝43y1＝－409或x2＝0y2＝－4(舍去)，∴D2(43，－409)；③当点E在点C的右边时，△BCE为钝角三角形，△ABE为锐角三角形，故不可能相似，当△ABE∽△ACB时，点E的坐标为(43，0)，不符合题意，综上所述，点D的坐标为(8，20)或(43，－409)．