几何课程改革历来是数学教育改革的热点问题之一，而对于推理证明的教学又是其中的焦点。在义务教育数学课程标准中，弱化了对于推理证明的要求，更多地让学生通过直观实验认识图形。这种处理，有利于让学生体验图形性质的探索过程，但同时也在一定程度上降低了对于学生逻辑思维能力的培养。对于这个问题，数学教育界也存在着许多争论。笔者在这里结合课标实验教材的编写，谈谈几何教学中直观实验与逻辑推理的关系，以更好的体现几何证明的教育价值。

一、几何学的研究对象决定了其研究方法包括直观实验与逻辑推理

数学是以数量关系与空间形式为主要研究对象的科学，几何学是其中研究“形”的分支。几何学是人类的理性文明，是人类和大自然中的万物共存于其中的空间的认识论。形者，几何图形也。几何图形最初来自客观世界中物体的形状，但它们比客观原型更典型、更纯粹、更一般。例如，初升的太阳、十五的月亮、水中的波纹……都能给人以圆的形象，而几何中圆的定义是“到定点的距离等于定长的点的集合”，它是从太阳、月亮、波纹等具体的实物模型中抽象出集中刻画圆的形状特点的一般概念。

几何图形可以直观地表示出来，人们认识图形的初级阶段中主要依靠形象思维。远古时期人们对几何图形的认识始于观察、测量、比较等直观实验手段，现代儿童认识几何图形亦如此，人们可以通过直观实验了解几何图形，发现其中的规律。然而，因为几何图形本身具有抽象性和一般性，一种几何概念可能包含无限多种不同的情形，例如有无数种形状不同的三角形。对一种几何概念所包含的一部分具体对象进行直观实验所得到的认识，一定适合其他情况吗？这是直观实验回答不了的问题。因此，一般地，研究图形的形状、大小和位置关系时，不能仅仅依靠直观实验的方法，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括逻辑推理。

再来看几何学的发展历史，古希腊和中国古代都得到了一些关于定量平面几何的公式，如矩形、三角形的面积公式，勾股定理（毕达哥拉斯定理），相似三角形的比例式等，但两者的基调和格局是迥然不同的。古希腊几何学家注重推理，更多的依靠逻辑思维。正是如此，才产生了欧几里得《原本》这样的具有里程碑意义的重要著作，也才会有无理数的发现以及Eudoxus逼近原理和方法论这种分析学的原型的产生。中国古代的几何学家研究几何是为了实用，是唯用是尚的。在对于空间本质的理解上，相比古希腊几何学是相对落后了。“唯用是尚，则难见精深，所及不远”[2]。由此对比也可以看出，如果没有逻辑推理，那么对图形的认识将难以深入。

事实上，如果只停留在直观实验阶段，而没有逻辑推理，那么人们在认识几何图形时，即使对一些比较明显的规律也不能作出充分证实。例如，“三角形的两边中点连线平行于第三边”这个看似简单的规律是不能通过直观实验证明的，因为两直线无限长，怎么能实际考察它们是否永不相交呢？如果不认识几何学内在的逻辑性，那么只能有限地认识一些关于图形的零散表象，而不能认识在图形背后蕴涵的许多实质性内容。

二、培养逻辑思维能力是几何教学的重要目标之一

人们通过学习几何可以认识丰富多彩的几何图形，建立与发展空间观念，掌握必要的几何知识，培养运用这些知识认识世界与改造世界的能力。但是，这些并不是几何学的全部教育功能。从更深层次看，学习几何学的一个重要的作用是：以几何图形为载体，培养逻辑思维能力，提高理性思维水平。这正是自古希腊开始几何教学一直倍受重视的主要原因。

从实际需要看，一个普通人一生中运用几何知识的时间、场合，要比他应该运用逻辑思维的时间、场合少得多。前者在特定的环境下发生，而后者经常地、普遍地出现，它的作用远比前者大得多。一个人学过几何后，如果不继续从事与数学关系密切的学习或工作，他一生中有可能很少甚至不会用到在某个几何定理，但是他肯定应该经常不断地在不同程度上使用逻辑推理来分析问题。当然，其他课程也可以培养学生的逻辑思维能力，学习几何学并不是实现此目的之唯一途径。但是，长期以来几何学被普遍认为是适合培养逻辑思维能力的绝好课程是客观事实。形成这种状况的原因主要有：

（1）几何学的历史悠久，学科体系成熟；

（2）几何学体系的逻辑性特点格外突出；

（3）几何学的研究对象是几何图形，结合几何图形，利用图形语言，在一定程度上可以降低认识和理解逻辑推理的难度。

对于这个问题，许多数学家都有相同的观点。笔者2002年初曾与几位同事采访过数学大师陈省身先生，他也谈了对于推理证明的看法：“学生应该学会推理，推理很要紧，推理不仅在数学，在其他学问里也是要用到的。另外，一定要讲欧氏几何，从前欧几里得几何是整个教育的一部分，而不仅仅是数学的一部分。因为通过它可以使学生在简单的情况下猎取一些推理。从几何来讲，没有欧氏几何就太麻烦了。整个数学就是建立在推理上的，所以数学

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