以这两方面为依据，在数学教学中不断地深化对所学内容的理解，有目的、有步骤地逐步提高要求，逐步 提高学生的认识水平、学习能力。这一过程，实际上就是学生循序渐进地学习知识的过程。这种循序渐进就是 知识的内在逻辑与学生认知特点的有机结合，就是在深化旧知识中进行逻辑推理的过程，旧与新的连接过程， 也就是新知识生长的过程、知识和技能迁移的过程、逻辑推理的延伸发展的过程，以达到学生将新知识逐渐地 协调地纳入已有认知结构中，建成新的知识系统。
    例如：根据上述指导思想，我在教学“分数知识”时，是这样进行逻辑推理的：
    ５天做４８０个零件，平均每天做多少个零件？
    ４８０÷５＝９６（个） ９６×２
    一天做９６个 ９６×３
    二天做２个９６
    ……
    （附图 {图}）
    一天完成５份里的１份
    二天完成５份里的２份
    ５份里的１份是９６个，也就是４８０个的１／５是９６个，
    算式：４８０×（１／５）＝９６ ４８０×（２／５）……
    那么，为什么４８０先要与分母约分后再乘以分子的１、２……的道理自然就清楚了。
    接着与工程问题知识联系推导：
    ５天做４８０个，平均每天做多少？
    改成：一批零件，每天做（１／５），几天完成？
    １÷（１／５）＝５（天），看“１”里有几个１／５就用几天。
    这样在教学中，抓知识之间的逻辑关系，不断组建学生的认知结构，学生在学习中主动、积极，在学习知 识的过程中逻辑推理能力、知识技能的迁移能力得到明显提高。
    通过训练巩固和熟练学生的知识和技能，培养和提高学生的
    数学能力
    数学的高度抽象性和严密逻辑性，决定了数学这门学科在训练学生思维，培养学生数学能力方面有着特殊 的作用。
    数学能力要通过各种训练才能逐步形成。没有训练，就不可能有能力。
    那么，什么是训练呢？
    我认为，训练不仅是知识的再现，更重要的是旧中有新，这个“新”包含了新知识、新认识、新能力…… ，通过训练使学生在认识上有新的提高。因此，训练是巩固和熟练学生的知识和技能，培养和提高学生的数学 能力的重要手段。下面从两个方面说明我的一点看法
    一、训练培养学生的数学能力。
    培养学生的数学能力是我们教学的主要目的。通过应用题的教学培养学生的数学能力是很有利的。主要可 以培养学生掌握数学问题结构的能力；逻辑思维能力；思维的灵活性和创造性；概括能力。
    （一）训练有利于学生掌握数学问题结构的能力。
    什么叫数学问题结构？通常人们在解答一个问题之前必须先了解这个问题，分析这个问题，找出问题的已 知条件和要求，这就要进行分析、综合，研究条件之间的关系，条件与问题之间的关系，然后把这些问题综合 成一个整体，抓住问题中的具有本质意义的那些关系，这就是抓住了数学问题的结构。“能力强的学生拿到一 道数学题时，一眼就看到问题的结构，就能把已知条件和问题联系起来。”“而数学能力平常的学生遇到一类 新问题时，一般说来他们只是感知问题孤立的数学成分，并不理解这个问题。对于平常的学生来说特别重要的 是要能通过分析和综合过程，把问题的各种成分联系起来。”（克鲁切茨基《中小学数学能力心理学》第２５ ２、２５４页）我在教一步应用题时，就着重抓住了数学问题结构的训练，如画线段图的训练；补充问题与条 件的训练；题意不变，叙述方法改变的训练；自编应用题的训练；根据问题说出所需条件的训练；对比训练等 。在讲两步应用题时，重点上了两步应用题的“结构课”，同时进行变直接条件为间接条件，变换问题，让学 生扩题、缩题、拆题，看问题添条件等五个方面的训练。讲多步复合应用题时，又进行了多步应用题的“发散 思维课”及相应的各种训练。通过一系列的教学和训练，使每个学生掌握了分析、研究应用题结构的能力，取 得了明显的效果。
    （二）训练有利于促进学生逻辑思维能力的发展。
    训练一般是从学生原有旧知识的一点出发，在训练过程中把学生放在主体的位置上，在教师适当的点拨下 ，积极主动地学习，这样促使学生在训练中肯于思考问题，也善于思考问题。“肯于”也可以说是乐于；“善 于”也可以说是思路顺畅灵活，有较好的思维品质。而这其中的核心是使逻辑思维能力得到发展。
    所谓逻辑思维，概括地讲，是在逻辑规则的控制下，从一定的前提出发，找出有联系的依据，循序渐进， 步步为营，连续推导。
    由于小学数学知识之间如链条一样连接着，本身就具有科学的逻辑关系。我们在训练中依据这关系，将本 来就有密切内在联系的知识有机沟通起来。这沟通的过程就是学生逻辑推理的过程。在这逻辑推理的过程中， 学生的认知结构不断地组建，逻辑推导的能力也就在学生增长知识的同时得以发展。
    如：在多位数加减运算中，由于学生对于数位、计数单位、进率有了较深的认识、理解，又因为多位数， 仍是以数位、计数单位、进率为依据出现的，所以多位数加减计算法则必定是相同数位对齐相加减，哪一位满 １０就向前一位进一；哪位不够减，就向前一位借一当１０，这是以最基本概念为核心，使其概念通过训练得 到运用、深化、发展，从而不断推导出与它有关的新知识，培养学生的逻辑思维能力。
    又如：在训练中，将有关旧知识不断联系，联系过程是从一点出发，不断向纵深发展进行逻辑推理过程， 在这过程中使新知识在知识链中得到反映。
    差的概念： 甲｜_______________________｜ 乙｜_______________________｜______________________｜

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