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免费第三单元函数3讲二次函数的综合应用试题含考点分类汇编详解中考数学考点系统复习第13讲　二次函数的综合应用1．生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产．现有一生产季节性产品的企业，其一年中获得的利润y和月份n之间的函 数关系式为y＝－n2＋14n－24，则该企业一年中利润最高的月份是(  C  )A．5月              B．6月            C．7月              D．8月2．(2015·金华)图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y＝－1400(x－80)2＋16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为(  B  )A．16940米           B.174米                C．16740米             D.154米3．(2015·六盘水)如图，假设篱笆(虚线部分)的长度为16 cm，则所围成矩形ABCD的最大面积是(  C  )A．60 m2              B．63 m2                  C．64 m2                D．66 m24．(2016·凉山模拟)某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为40元．5．(2016·衢州)某农场拟建三间长方形养牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形养牛饲养室的总占地面积的最大值为144m2.6．(20 15·菏泽)二次函数y＝3x2的图象如 图，点O为坐标原点 ，点A在y轴的正半轴上，点B，C在二次函数y＝3x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA＝120°，则 菱形OBAC的面积为23．7．(2016·绵阳三台县一诊)某经销公司购进一种原料若干千克，成本价为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y(千克)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求该公司销售该原料日获利w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解：(1)设y＝kx＋b，根据题意，得80＝60k＋b，100＝50k＋b.解得k＝－2，b＝200.∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)．(2)w＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260 x－6 450＝－2(x－65)2＋2 000.(3)∵当30≤x≤60时，w随x的增大而增大，∴当x＝60时，w有最大值为1 950元．∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1 950元．8．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c关于直线x＝1对称，与坐标轴交于A，B，C三点，且AB＝4，点D(2，32)在抛物线上，直线l是一次函数y＝kx－2(k≠0)的图象，点O是坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线l平分四边形OBDC的面积，求k的值．解：( 1)∵抛物线关于直线x＝1对称，AB＝4，∴A(－1，0)，B(3，0)．∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．又∵点D(2，32)在抛物线上，∴32＝a·(2＋1)×(2－3)．解得a＝－12.∴y＝－12(x＋1)(x－3)，即抛物线的解析式为y＝－12x2＋x＋32.(2)令直线l分别交x轴，CD于点E，F.由(1)知C(0，32)．∵D(2，32)，∴CD∥AB.令kx－2＝32，解得x＝72k，∴F(72k，32)．令kx－2＝0，解得x＝2k.∴E(2k，0)．由S四边形OEFC＝S四边形EBD F，得OE＋CF＝BE＋DF，即2k＋72k＝(3－2k)＋(2－72k)．解得k＝115.9．(2016·绍兴)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6 m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35 m时，透光面积的最大值约为1.05 m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6 m．利用图3，解答下列问题：(1)若AB为1  m，求此时窗户的透光面积；(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．解：(1)由已知得AD＝54 m，∴S＝1×54＝54( m2)．(2)设AB＝x m，则AD＝(3－74x)m，∵3－74x＞0，∴0＜x＜127.设窗户面积为S，则S＝AB·AD＝x(3－74x)＝－74x2＋3x＝－74(x－67)2＋97，当x＝67时，S最大＝97＞1.05，∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大了．10．(2016·安顺)某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长均为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同，其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是(  A  )提示：先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数关系．11．(2016·台州)竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数．小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球．假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度．第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t＝1.6．12．(2016·成都武侯区二诊)成都地铁规划到2020年将通车13条线路，近几年正是成都地铁加紧建设和密集开通的几年，市场对建材的需求量有所提高，根据市场调查分析可预测投资水泥生产销售后所获得的利润y1(万元)与投资资金量x(万元)满足正比例关系：y1＝20x；投资钢材生产销售后所获得的利润y2(万元)与投资资金金量x(万元)满足函数关系的图象如图所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的的顶点，AB∥x轴)．(1)直接写出 当0<x≤30及x>30时，y2与x之间的函数关系式；(2)某建材经销公司计划投资100万元用于生产销售水泥和钢材两种材料，若设投资钢材部分的资金量为t(万元)，生产销售完这两种材料后获得的总利润为w(万元)．①求w与t之间的函数关系式；②若要求投资钢材部分的资金量不得少于45万元，那么当投资钢材部分的资金量为多少万元时，获得的总利润最大？最大总利润是多少？解：(1)当0<x≤30时，y2＝－(x－30)2＋900＝－x2＋60x.当x>30时，y2＝900.(2)①设投资钢材部分 的资金量为t万元，则投资生产水泥的资金量为(100－t)万元，当0<t≤30时，w＝y1＋y2＝20(100－t)＋(－t2＋60t)＝－t2＋40t＋2 000，当t>30时，w＝20(100－t)＋900＝－20t＋2 900.②∵t≥45，∴w＝－20t＋2 900，w随t的增大而减小．∴当t＝45时，w最大＝2 000.答：当投资钢材部分的资金量为45万元时，获得的总利润最大，最大总利润是2 000万元．13．(2016·永州)已知抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，与y轴交于点C，直线y＝kx与抛物线交于A，B两点．(1)写出点C的坐标并求出此抛物线的解析式；(2)当原点O为线段AB的中点 时，求k的值及A，B两点的坐标；(3)是否存在实数k使得△ABC的面积为3102？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．解：(1)令抛物 线y＝ax2＋bx－3中x＝0，得y＝－3，∴点C的坐标为(0，－3)．∵抛物线y＝ax2＋bx－3经过(－1，0)，(3，0)两点，代入解析式，得0＝a－b－3，0＝9a＋3b－3.解得a＝1，b＝－2.∴此抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)令A(xA，yA)，B(xB，yB)．将y＝kx代入y＝x2－2x－3，得kx＝x2－2x－3.整理，得x2－(2＋k)x－3＝0.∴xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3.∵原点O为线段AB的中点，∴xA＋xB＝2＋k＝0.解得 k＝－2.当k＝－2时，x2－(2＋k)x－3＝x2－3＝0，解得xA＝－3，xB＝3.∴yA＝－2xA＝23，yB ＝－2xB＝－23.∴当原点O为线段AB的中点时，k的值为－2，点A的坐标为(－3，23)，点B的坐标为(3，－23)．(3)不存在．理由：假设存在这样的实数k.由(2)可知：xA＋xB＝2＋k，xAxB＝－3，S△ABC＝12OC·|xA－xB|＝12×3×（xA＋xB）2－4xAxB＝3102，∴(2＋k)2－4×(－3)＝10，即(2＋k)2＋2＝0.∵(2＋k)2非负，无解，∴假设不成立．∴不存在实数k使得△ABC的面积为3102.