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四川省成都市锦江区2016年中考数学一诊模拟试卷含答案解析2016年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷一、选择题：每小题3分，共30分1．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A． B． C． D．2．如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥 B．圆柱 C．球 D．圆锥3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0两实数根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣24．已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣5．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A． B． C． D．6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜﹣27．如图，在△ABC中，点D在线段BC上且∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，则AB的值是（）A．12 B．8 C．4 D．38．将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（1，1）9．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径是（）A．2 B．4 C． D．10．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A． B． C． D．二、填空题：每小题4分，共16分11．已知，且a+b=9，那么a﹣b=．12．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=．13．如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为米．14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为．三、解答题：15小题6分，16小题6分，共18分15．（1）计算：（﹣1）2015+（）﹣3+（cos76°﹣）0+|﹣2sin60°|（2）解方程：2x2+3x﹣1=0（用公式法）16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．四、解答题：每小题8分，共16分17．数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m，请你根据以上数据计算GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）18．已知，如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，A点坐标为（1，n），连接OB，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求△BOC的面积以及m的值；（2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．五、解答题：每小题12分，共20分19．成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A﹣篮球，B﹣足球，C﹣排球，D﹣羽毛球，E﹣乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）求出"足球"在扇形的圆心角是多少度；（3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．20．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB，AC=PC．（1）求证：OC⊥CP；（2）求cos∠PAC的值；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=6，求MNoMC的值．五、填空题：每小题4分，共20分21．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2b﹣10+ab2的值为．22．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，若五边形ABCDE的面积为15cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC的面积为．24．如图，AB是⊙O上的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上的一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=；④S△ADE=7．其中正确的是（写出所有正确结论的序号）25．已知而成函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值是．六、解答题：8分26．人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；（2）11月"感恩节"商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n的值．八、解答题：10分27．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点点E，连接CD．（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；（2）若CD2=DEoDB，求证：DC=BE；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．九、解答题：12分28．已知如图1，二次函数y=ax2+4ax+的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），过A点的直线y=kx+3k（k）交该二次函数的图象于另一点C（x1，y1），交y轴于M．（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，3）且点Q是线段DC上的一个动点，求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标；（3）设P（﹣1，﹣2），图2中连CP交二次函数的图象于另一点E（x2，y2），连AE交y轴于N，请你探究OMoON的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．2016年四川省成都市锦江区中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共30分1．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（）A． B． C． D．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】网格型．【分析】认真读图，在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值．【解答】解：由图可得tan∠AOB=．故选B．【点评】本题考查了锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正切等于对边比邻边．2．如图所示某几何体的三视图，则这个几何体是（）A．三棱锥 B．圆柱 C．球 D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据一个空间几何体的主视图和俯视图都是三角形，可判断该几何体是锥体，再根据左视图的形状，即可得出答案．【解答】解：∵几何体的主视图和俯视图都是三角形，∴该几何体是一个锥体，∵俯视图是一个圆，∴该几何体是一个圆锥；故选D．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0两实数根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的公式x1+x2=﹣进行解题．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣3=0两实数根为x1、x2，∴x1+x2=﹣（﹣2）=2．故选C．【点评】本题考查了根与系数的关系．二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．4．已知函数y=（m+2）是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值是（）A．3 B．﹣3 C．±3 D．﹣【考点】反比例函数的定义．【分析】根据反比例函数的定义先求出m的值，再由图象在第二、四象限内，求出m的值．【解答】解：由函数y=（m+2）为反比例函数可知m2﹣10=﹣1，解得m=﹣3，m=3，又∵图象在第二、四象限内，∴m+2＜0，∴m=﹣3．故选B．【点评】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般式（k≠0）转化为y=kx﹣1（k≠0）的形式以及对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．5．在盒子里放有三张分别写有整式a+1，a+2，2的卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是（）A． B． C． D．【考点】概率公式；分式的定义．【专题】应用题；压轴题．【分析】列举出所有情况，看能组成分式的情况占所有情况的多少即为所求的概率．【解答】解：分母含有字母的式子是分式，整式a+1，a+2，2中，抽到a+1，a+2做分母时组成的都是分式，共有3×2=6种情况，其中a+1，a+2为分母的情况有4种，所以能组成分式的概率==．故选B．【点评】用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．6．关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m=0没有实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2 B．m＞﹣2 C．m＞2 D．m＜﹣2【考点】根的判别式．【分析】若一元二次方程没有实根，则根的判别式△=b2﹣4ac＜0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程没有实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×2m=16﹣8m＜0，解得：m＞2，故选C．【点评】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根7．如图，在△ABC中，点D在线段BC上且∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，则AB的值是（）A．12 B．8 C．4 D．3【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】证明△BAD∽△BCA，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可．【解答】解：∵BD=2，CD=6，∴BC=8，∵∠BAD=∠C，∠B=∠B，∴△BAD∽△BCA，∴=，∴AB2=BCoBD=16，∴AB=4．故选：C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握两个角对应相等的两个三角形相似、相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．8．将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后其顶点坐标是（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣1） D．（1，1）【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】直接根据平移规律作答即可．【解答】解：将抛物线y=2（x﹣1）2﹣1，先向上平移2个单位，再向右平移1个单位后所得抛物线解析式为y=2（x﹣2）2+1，所以平移后的抛物线的顶点为（2，1）．故选A．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．9．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径是（）A．2 B．4 C． D．【考点】圆周角定理；等腰直角三角形．【分析】作直径CD，连接AD，由圆周角定理得出∠DAC=90°，∠D=∠ABC=45°，得出△ADC是等腰直角三角形，AD=AC=2，由勾股定理求出CD，即可得出结果．【解答】解：作直径CD，连接AD，如图所示：则∠DAC=90°，∵∠D=∠ABC=45°，∴△ADC是等腰直角三角形，AD=AC=2，∴CD==AC=2，∴OC=CD=，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等边三角形的判定与性质．10．如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A． B． C． D．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a＜0、b＞0，对称轴为x=＞0，∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．二、填空题：每小题4分，共16分11．已知，且a+b=9，那么a﹣b=﹣1．【考点】比例的性质．【分析】根据合比性质：=?=，可得答案．【解答】解：===1，得a=4，b=5．a﹣b=4﹣5=﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．12．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣2x）放入其中，得到一个新数为8，则x=﹣5或1．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【专题】新定义．【分析】根据新定义得到x2﹣2o（﹣2x）+3=8，然后把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程即可．【解答】解：根据题意得x2﹣2o（﹣2x）+3=8，整理得x2+4x﹣5=0，（x+5）（x﹣1）=0，所以x1=﹣5，x2=1．故答案为﹣5或1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．13．如图，在A时测得某树的影长为4米，B时又测得该树的影长为9米，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为6米．【考点】平行投影．【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，进而可得=；即DC2=EDoFD，代入数据可得答案．【解答】解：根据题意，作△EFC；树高为CD，且∠ECF=90°，ED=4，FD=9；易得：Rt△EDC∽Rt△FDC，∴=；即DC2=EDoFD，代入数据可得DC2=36，DC=6；故答案为6．【点评】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．14．一抛物线和另一抛物线y=﹣2x2的形状和开口方向完全相同，且顶点坐标是（﹣2，1），则该抛物线的解析式为y=﹣2（x+2）2+1．【考点】待定系数法求二次函数解析式．【分析】设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a=﹣2，再将定点坐标代入解析式就可以求出结论．【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线y=﹣2x2相同，∴a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣h）2+k，∵顶点坐标是（﹣2，1），∴y=﹣2（x+2）2+1，∴这个函数解析式为y=﹣2（x+2）2+1，故答案为：y=﹣2（x+2）2+1．【点评】本题考查了根据顶点时运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，再解答时运用抛物线的性质求出a值是关健．三、解答题：15小题6分，16小题6分，共18分15．（1）计算：（﹣1）2015+（）﹣3+（cos76°﹣）0+|﹣2sin60°|（2）解方程：2x2+3x﹣1=0（用公式法）【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元二次方程-公式法；特殊角的三角函数值．【分析】（1）将（﹣1）2015=﹣1，（）﹣3=8，（cos76°﹣）0=1，|﹣2sin60°|=0代入原式，再结合实数的运算法则即可得出结论；（2）利用公式法直接解出方程即可．【解答】（1）解：原式=﹣1+8+1+0=8．（2）解：2x2+3x﹣1=0，b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=9+8=17，x=，或x=．【点评】本题考查了实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）将（﹣1）2015=﹣1，（）﹣3=8，（cos76°﹣）0=1，|﹣2sin60°|=0代入原式；（2）会套入公式法解方程．16．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．（1）求证：△ABD∽△CBE；（2）若BD=3，BE=2，求AC的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由AB=AC，BD=CD，可得⊥BC，又由CE⊥AB，∠B是公共角，即可证得：△ABD∽△CBE；（2）由BD=3，可得BC=6，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．【解答】（1）证明：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，∵∠B是公共角，∴△ABD∽△CBE；（2）解：∵BD=3，∴BC=2BD=6，∵△ABD∽△CBE，∴，即，解得：AB=9，∴AC=AB=9．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质．注意掌握各线段的对应关系是解此题的关键．四、解答题：每小题8分，共16分17．数学兴趣小组向利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=2m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m，请你根据以上数据计算GH的长（要求计算结果保留根号，不取近似值）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】首先构造直角三角形，得出AE=（x+2），BE=x，进而求出x的长，进而得出GH的长．【解答】解：根据已知画图，过点D作DE⊥AH于点E，设DE=x，则CE=x+2，在Rt△AEC和Rt△BED中，有tan30°=，tan60°=，∴AE=（x+2），BE=x，∴（x+2）﹣x=10，∴x=5﹣3，∴GH=CD+DE=2+5﹣3=（5﹣1）（m）答：GH的长为=（5﹣1）m．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，根据已知构造直角三角形得出DE的长是解题关键．18．已知，如图，一次函数y=x+m的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点，A点坐标为（1，n），连接OB，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．（1）求△BOC的面积以及m的值；（2）根据图象直接写出：当x取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）利用反比例函数的比例系数的几何意义可求得△BOC的面积；把A（1，n）代入y=﹣求出n=﹣，得到A点坐标为（1，﹣），然后把A点坐标代入一次函数求出m的值即可；（2）解方程组方程组可确定B点坐标，然后观察函数图象得到当x＜0或1＜x＜时，反比例函数图象都在一次函数图象上方，即反比例函数的值大于一次函数的值．【解答】解：（1）∵反比例函数y=﹣，∴△BOC的面积=|k|=×=；把A（1，n）代入y=﹣得n=﹣，∴A点坐标为（1，﹣），把A（1，﹣）代入y=x+m得1+m=﹣，解得m=﹣；（2）解方程组得或，∴B点坐标为（，﹣1），∴当x＜0或1＜x＜时，反比例函数的值大于一次函数的值．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数的解析式．五、解答题：每小题12分，共20分19．成都市某校在推进新课改的过程中，开设的体育选修课有：A﹣篮球，B﹣足球，C﹣排球，D﹣羽毛球，E﹣乒乓球，学生可根据自己的爱好选修一门，学校王老师对某班全班同学的选课情况进行调查统计，制成了两幅不完整的统计图（如图）．（1）求出该班的总人数，并补全频数分布直方图；（2）求出"足球"在扇形的圆心角是多少度；（3）该班班委4人中，1人选修篮球，2人选修足球，1人选修排球，李老师要从这4人中人任选2人了解他们对体育选课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率．【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布直方图；扇形统计图．【分析】（1）由C有12人，占24%，即可求得该班的总人数，继而求得A与E的人数，即可补全频数分布直方图；（2）由（1）可得"足球"在扇形的圆心角是360°×；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵C有12人，占24%，∴该班的总人数有：12÷24%=50（人），∴E有：50×10%=5（人），A有50﹣7﹣12﹣9﹣5=17（人），补全频数分布直方图为：（2）"足球"在扇形的圆心角是：360°×=50.4°；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的有4种情况，∴选出的2人恰好1人选修篮球，1人选修足球的概率为：=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率以及扇形统计图与频数分布直方图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．已知，如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，∠COB=2∠PCB，AC=PC．（1）求证：OC⊥CP；（2）求cos∠PAC的值；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=6，求MNoMC的值．【考点】相似三角形的判定与性质；切线的判定．【分析】（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；（2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可；继而求得cos∠PAC的值；（3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MNoMC；又由△ABM是等腰直角三角形，即可求得BM的值，继而求得答案．【解答】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO．又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB．又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°．∴∠PCB+∠OCB=90°．即OC⊥CP；（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，∴BC=AB，∴∠A=30°，∴cos∠PAC=；（3）解：连接MA，MB，∵点M是的中点，∴=，∴∠ACM=∠BCM．∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM．∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB．∴．∴BM2=MNoMC．又∵AB是⊙O的直径，=，∴∠AMB=90°，AM=BM．∵AB=6，∴BM=3．∴MNoMC=BM2=18．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．五、填空题：每小题4分，共20分21．已知a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则a2b﹣10+ab2的值为﹣20．【考点】根与系数的关系．【分析】由a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个不相等的实数根，利用根与系数的关系即可求出两根之和和两根之积，代入代数式即可求解．【解答】解：∵a，b是方程x2+2x﹣5=0的两个不相等的实数根，∴a+b=﹣2，ab=5．∴a2b﹣10+ab2=ab（a+b）﹣10=5×（﹣2）﹣10=﹣20，故答案为：﹣20．【点评】此题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当方程有解，即b2﹣4ac≥0时，设方程的解分别为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．22．如图，五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，若五边形ABCDE的面积为15cm2，那么五边形A′B′C′D′E′的面积为cm2．【考点】位似变换．【分析】直接利用位似图形的性质得出两图形的面积比，进而求出答案．【解答】解：∵五边形ABCDE与五边形A′B′C′D′E′是位似图形，且位似比为=，∴=，∵五边形ABCDE的面积为15cm2，∴五边形A′B′C′D′E′的面积为：cm2．故答案为：cm2．【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出两图形的面积比是解题关键．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点B在x轴上，且B（﹣1，0），A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线y=（m＞0）经过A点，双曲线y=﹣经过C点，则Rt△ABC的面积为．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，由A点的横坐标是2，且在双曲线y=（m＞0）上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程求解．【解答】解：过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，∵A点的横坐标是2，且在双曲线y═（m＞0）上，∴A（2，2m），∵∠ABC=90°，∴∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠FCB，∴△ABE∽△BCF，∴==3，∴CF=1，BF=，∴C（﹣1﹣，1），∵双曲线y=﹣经过C点，∴﹣1﹣=﹣m，∴m=3，∴A（2，6），C（﹣3，1），∴AE=6，CF=1，EF=5，BF=3﹣1=2，BE=1+2=3，∴Rt△ABC的面积=S梯形ACFE﹣S△BCF﹣S△ABE=（6+1）×5﹣×2×1﹣×3×6=．故答案为：．【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形．24．如图，AB是⊙O上的直径，弦CD⊥AB于点G，点F是CD上的一点，且满足=，连接AF并延长交⊙O于点E，连接AD、DE，若CF=2，AF=3，给出下列结论：①△ADF∽△AED；②GF=2；③tan∠E=；④S△ADE=7．其中正确的是①②④（写出所有正确结论的序号）【考点】圆的综合题．【分析】①由AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，根据垂径定理可得：=，DG=CG，继而证得△ADF∽△AED；②由=，CF=2，可求得DF的长，继而求得CG=DG=4，则可求得FG=2；③由勾股定理可求得AG的长，即可求得tan∠ADF的值，继而求得tan∠E=；④首先求得△ADF的面积，由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得△ADE的面积．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴=，DG=CG，∴∠ADF=∠AED，∵∠FAD=∠DAE（公共角），∴△ADF∽△AED；故①正确；②∵=，CF=2，∴FD=6，∴CD=DF+CF=8，∴CG=DG=4，∴GF=CG﹣CF=2；故②正确；③∵AF=3，FG=2，∴AG==，∴在Rt△AGD中，tan∠ADG==，∴tan∠E=；故③错误；④∵DF=DG+FG=6，AD==，∴S△ADF=DFoAG=×6×=3，∵△ADF∽△AED，∴=（）2，∴=（）2，∴S△AED=7，故④正确．故答案为：①②④．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识．注意证得△ADF∽△AED是解此题的关键．25．已知而成函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，当k取最小整数时的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，则新图象与直线y=x+m有三个不同公共点时m的值是1或．【考点】二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．【分析】根据题意求得k=0，得到解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，可求出其顶点坐标；令抛物线的解析式中，y=0，可求出它函数图象与x轴的交点坐标．画出此函数图象后，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①过交点（﹣1，0），根据待定系数法，可得m的值；②不过点（﹣1，0），直线与y1=﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）相切，根据判别式，可得答案．【解答】解：∵函数y=x2﹣2（k+1）x+k2﹣2k﹣3与x轴有两个交点，∴△=[﹣2（k+1）]2﹣4×1×（k2﹣2k﹣3）＞0，解得k＞﹣1，当k取最小整数时，k=0，∴抛物线为y=x2﹣2x﹣3，将该二次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新图象，所以新图象的解析式为y1=（x﹣1）2﹣4（x≤﹣1或x≥3）y1=﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）．①因为y2=x+m的k＞0，所以它的图象从左到右是上升的，当它与新图象有3个交点时它一定过（﹣1，0）把（﹣1，0）代入y2=x+m得﹣1+m=0所以m=1，②y1=﹣（x﹣1）2+4（﹣1≤x≤3）与y=x+m相切时，图象有三个交点，﹣（x﹣1）2+4=x+m，△=1﹣4（m﹣3）=0，解得m=．故答案为：1或．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，分类讨论是解题关键，利用了待定系数法求函数解析式，直线与抛物线相切时判别式等于零是解题关键．六、解答题：8分26．人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元（销售额=销售量×售价）．（1）求该保温水瓶9月份的销售单价；（2）11月"感恩节"商场在9月份售价的基础上打折促销（但不亏本），销售的数量y（件）与打折的折数x满足一次函数y=﹣50x+600，试求商场打几折时利润最大，最大利润是多少？（3）在（2）的条件下，商场发现打n折销售时，11月份的利润与按9月份销售的利润相同，求n的值．【考点】二次函数的应用．【专题】销售问题．【分析】（1）根据人民商场销售某保温水瓶，其成本为每件80元，9月份的销售额为2万元，10月份商场对这种保温瓶的售价打9折销售，结果销售量增加了50件，销售额增加了0.7万元，可以设出9月份的保温瓶销售单价和销售数量，从而可以列出相应的二元一次方程组，即可解答本题；（2）根据题意可以列出销售利润的关系式，将其化为顶点式，即可求得最大利润和此时的打折数；（3）由（1）和（2）和题意可以列出相应的关系式，从而可以求得n的值．【解答】解：（1）设9月份的销售单价为x元，销售的保温瓶y件，解得，即该保温水瓶9月份的销售单价是200元；（2）设销售的利润为w，由题意可得，w=（200×﹣80）（﹣50x+600）=﹣1000x2+16000x﹣48000=﹣1000（x﹣8）2+16000，∴x=8时，w取得最大值，此时w=16000，即商场打8折时利润最大，最大利润是16000元；（3）由（1）和（2）及题意可得，（200﹣80）×100=（200×﹣80）（﹣50n+600）解得，n=6或n=10即n的值是6或10．【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，能根据题目的要求，列出相应的表达式，会求函数的最值．八、解答题：10分27．如图，已知线段AB，P是线段AB上任意一点（不与点A、B重合），分别以AP、BP为边，在AB的同侧作等边△APD和△BPC，连接BD与PC交于点点E，连接CD．（1）当BC⊥CD时，试求∠DBC的正切值；（2）若CD2=DEoDB，求证：DC=BE；（3）记四边形ABCD的面积为S，当P在线段AB上运动时，S与BD2是否成正比例？若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由．【考点】相似形综合题．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出PC=BC，∠CPD=60°，PD∥BC，进而得出∠DBC的正切值等于，即可得出答案；（2）利用线段CD是线段DE和DB的比例中项得出△DCE∽△DBC，再利用相似三角形的性质得出即可；（3）由AD∥PC，PD∥BC，得出，，进而得出，以及，即可得出比例系数．【解答】解：（1）∵等边△APD和△BPC，∴PC=BC，∠CPD=60°，∠DPA=∠CBP=60°，∴PD∥BC，∴∠DPC=∠PCB=60°，∵BC⊥CD，∴∠DCB=∠PDC=90°，∴∠DCP=30°，∴tan∠DBC=；（2）由已知，CD2=DEoDB，即，又∵∠CDE=∠CDE，∴△DCE∽△DBC，∴，又∵CP=BC，，∵PD∥BC，∴，∴，∴CD=BE；（3）设AP=a，PB=b，∴，因为AD∥PC，PD∥BC，∴，，∴，∴，∴，作DH⊥AB，则，∴BD2=DH2+BH2=（a）2+（a+b）2=a2+ab+b2，∴，∴S与BD2成正比例，比例系数为．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练利用相似三角形的性质得出对应边之间关系是解题关键．九、解答题：12分28．已知如图1，二次函数y=ax2+4ax+的图象交x轴于A、B两点（A在B的左侧），过A点的直线y=kx+3k（k）交该二次函数的图象于另一点C（x1，y1），交y轴于M．（1）直接写出A点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）过点B作BD⊥AC交AC于D，若M（0，3）且点Q是线段DC上的一个动点，求出当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标；（3）设P（﹣1，﹣2），图2中连CP交二次函数的图象于另一点E（x2，y2），连AE交y轴于N，请你探究OMoON的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由直线y=kx+3k（k＞）过点A，可求出点A的坐标，然后把点A的坐标代入y=ax2+4ax+，可求出a的值；（2）根据有两个角相等的三角形相似，可得①∠DQB=∠OMA，②∠DQB=∠A．①根据平行线的判定与性质，可得Q点的横坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；②根据等腰三角形的判定，可得关于m的方程，根据解方程，可得m的值，再根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）直线PC解析式为y=ax+a﹣2，与抛物线y=x2+x+联立得到关于x的一元二次方程，由根与系数的关系知x1+x2=4a﹣4，x1x2=11﹣4a，根据=o得到OMoON=OA2，得到结果为定值【解答】解：（1）∵直线y=kx+3k（k＞）过点A，∴y=0时，0=kx+3k，解得：x=﹣3，∴A（﹣3，0），把点A的坐标代入y=ax2+4ax+，得9a﹣12a+=0，解得：a=，抛物线的解析式为y=x2+x+；（2）如图1，，当y=0时，x2+x+=0，解得x=﹣3，x=﹣1，即A（﹣3，0），B（﹣1，0）．设AM的解析式为y=kx+b，将A、M点的坐标代入，得AM的解析式为y=x+3．①当∠DQB=∠OMA时，QB∥OM，Q点的横坐标等于B点的横坐标﹣1，当x=﹣1时，y=2，即Q（﹣1，2）；②当∠DQB=∠A时，设Q点的坐标为（m，m+3）．AB=BQ，即（m+1）2+（m+3）2=4，化简得m2+5m+6=0．解得m=﹣2，m=﹣3（不符合题意，舍），当m=﹣2时，m+3=，即Q（﹣2，），综上所述：当△DBQ与△AOM相似时点Q的坐标（﹣1，2），（﹣2，）；（3）直线PC解析式为y=ax+a﹣2，与抛物线y=x2+x+联立消去y得：x2﹣4（a﹣1）x+11﹣4a=0，∴x1+x2=4a﹣4，x1x2=11﹣4a，∵=o==（x1+1）（x2+1）=（11﹣4a+4a﹣4+1）=，∴OMoON=OA2=．【点评】本题主要考查了二次函数的综合题型，二次函数与三角形相似以及一元二次方程等知识的综合运用，熟练的运用数形结合是解决问题的关键．