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免费徐州市树人中学中考数学三模试卷含答案解析中考数学模拟试题网2016年江苏省徐州市树人中学中考数学三模试卷一、选择题（本大题共有8小题．每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．下列计算正确的是（）A．3a2﹣a2=3 B．（a3）2=a6 C．a6÷a2=a3 D．a2oa4=a83．如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形5．在某校"我的中国梦"演讲比赛中，有15名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数6．若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤37．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤18．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（）A．1.5cm B．1.2cm C．1.8cm D．2cm二、填空题（本大题共有10小题．每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上）9．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是．10．PM2.5是指每立方米大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒粉尘，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，将0.0000025米用科学记数法表示为米．11．分解因式：4a2﹣16=．12．若关于x的方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k的值为．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是．14．一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是．15．如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为m．16．若a﹣2b=3，则9﹣2a+4b的值为．17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C，在x轴上有线段PQ=4，可以在x轴上左右运动，连接DP、CQ．当四边形PQCD的周长最小时，最小值为．18．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是．（把你认为正确的说法的序号都填上）三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：20160+（）﹣1+2sin30°﹣|﹣3|；（2）化简：（1+）÷．20．（1）解方程：x2+4x﹣2=0；（2）解不等式组：．21．（7分）某校就"遇见路人摔倒后如何处理"的问题，随机抽取该校部分学生进行问卷调查光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．23．（8分）某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？24．（8分）某中学九年级学生在学习"直角三角形的边角关系"时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB的高度（如图），站在②号楼的C处，测得①号楼顶部A处的仰角α=30°，底部B处的俯角β=45°，已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度．（结果保留根号）25．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？26．（8分）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．①设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式．②若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价多少元？③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？27．（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：ADoBC=APoBP．（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．28．如图，直线y=﹣x+3与抛物线y=﹣x2+bx+c交于B、C两点，点B、C分别在x轴、y轴上，点A是抛物线与x轴的另一个交点且在点B的左侧，抛物线的对称轴直线l与x轴交于点D．（1）求抛物线解析式；（2）若直线BC上方的抛物线上有一动点P，是否存在某一位置，使得点P到直线BC的距离最大，如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）作点A关于直线BC的对称点A'，点E是x轴下方对称轴l上一点，连接A'E、A'B，若DE=2﹣2，求∠AEB的度数．（4）在（3）的条件下，计算tan∠BA′E的值．2016年江苏省徐州市树人中学中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有8小题．每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．﹣2的倒数是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【考点】倒数．【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．【解答】解：∵﹣2×（）=1，∴﹣2的倒数是﹣．故选D．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题．2．下列计算正确的是（）A．3a2﹣a2=3 B．（a3）2=a6 C．a6÷a2=a3 D．a2oa4=a8【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【专题】推理填空题．【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判断即可．【解答】解：∵3a2﹣a2=2a2，∴选项A不正确；∵（a3）2=a6，∴选项B正确；∵a6÷a2=a4，∴选项C不正确；∵a2oa4=a6，∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除法、合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，要熟练掌握．3．如图所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据左视图是从左面看得到的视图，以及看到的两个正方形的位置关系解答即可．【解答】解：从左面看，为两个正方形，小正方形在右上角，所以，该几何体的左视图是C．故选C．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看到的视图．4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．正三角形 B．平行四边形 C．矩形 D．正五边形【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、正三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A错误；B、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；C、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D错误．故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．5．在某校"我的中国梦"演讲比赛中，有15名学生参加决赛，他们决赛的最终成绩各不相同．其中的一名学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的（）A．众数 B．方差 C．平均数 D．中位数【考点】统计量的选择．【分析】15人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．【解答】解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．故选：D．【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，属于统计基础知识，难度不大．6．若使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥3 B．x＞3 C．x＜3 D．x≤3【考点】二次根式有意义的条件．【专题】存在型．【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故选A．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．7．若二次函数y=（x﹣m）2﹣1，当x≤1时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（）A．m=1 B．m＞1 C．m≥1 D．m≤1【考点】二次函数的性质．【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当x≤1时，函数值y随x的增大而减小可知二次函数的对称轴x=m≥1，故可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵二次函数y=（x﹣m）2﹣1，中，a=1＞0，∴此函数开口向上，∵当x≤1时，函数值y随x的增大而减小，∴二次函数的对称轴x=m≥1．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．8．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC﹣CB运动，到点B停止，过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象如图2所示，当点P运动5秒时，PD的长是（）A．1.5cm B．1.2cm C．1.8cm D．2cm【考点】动点问题的函数图象．【专题】压轴题．【分析】根据图2可判断AC=3，BC=4，则可确定t=5时BP的值，利用sin∠B的值，可求出PD．【解答】解：由图2可得，AC=3，BC=4，当t=5时，如图所示：，此时AC+CP=5，故BP=AC+BC﹣AC﹣CP=2，∵sin∠B==，∴PD=BPsin∠B=2×==1.2cm．故选B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是根据图2得到AC、BC的长度，此题难度一般．二、填空题（本大题共有10小题．每小题3分，共30分．不需要写出解答过程，请把答案直接写在答题卡的相应位置上）9．点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】本题比较容易，考查平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．【点评】这一类题目是需要识记的基础题，解决的关键是对知识点的正确记忆．10．PM2.5是指每立方米大气中直径小于或等于0.0000025米的颗粒粉尘，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害，将0.0000025米用科学记数法表示为2.5×10﹣6米．【考点】科学记数法-表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000025米用科学记数法表示为2.5×10﹣6；故答案为：2.5×10﹣6．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．11．分解因式：4a2﹣16=4（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．12．若关于x的方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k的值为﹣3．【考点】根的判别式．【分析】根据关于x的方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根可得△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=0，求出k的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）=12+4k=0，解得：k=﹣3，故答案为﹣3．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是2．【考点】圆锥的计算．【分析】易得扇形的弧长，除以2π即为圆锥的底面半径．【解答】解：扇形的弧长==4π，∴圆锥的底面半径为4π÷2π=2．故答案为：2．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．14．一组数据5，2，x，6，4的平均数是4，这组数据的方差是2．【考点】方差；算术平均数．【分析】先由平均数的公式计算出x的值，再根据方差的公式计算即可．【解答】解：∵数据5，2，x，6，4的平均数是4，∴（5+2+x+6+4）÷5=4，解得：x=3，∴这组数据的方差是[（5﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2+（4﹣3）2]=2；故答案为：2．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．15．如图，A、B两地间有一池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接CA、CB的中点D、E．若DE的长度为30m，则A、B两地的距离为60m．【考点】三角形中位线定理．【专题】应用题．【分析】根据三角形中位线求出AB=2DE，代入求出即可．【解答】解：∵D、E分别是AC、BC的中点，DE=30m，∴AB=2DE=60m故答案为：60．【点评】本题考查了三角形的中位线的应用，注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．16．若a﹣2b=3，则9﹣2a+4b的值为3．【考点】代数式求值．【专题】计算题．【分析】原式后两项提取﹣2变形后，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：∵a﹣2b=3，∴原式=9﹣2（a﹣2b）=9﹣6=3，故答案为：3．【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．如图，抛物线y=﹣x2+2x+1与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为C，在x轴上有线段PQ=4，可以在x轴上左右运动，连接DP、CQ．当四边形PQCD的周长最小时，最小值为4+4．【考点】抛物线与x轴的交点；轴对称-最短路线问题．【分析】如图，将点D向右平移4个单位得到D′，作D′关于x轴的对称点D″，连接CD″与x轴交于点Q′，此时D→P′→Q′→C→D，组成的四边形周长最小．根据此时四边形PQCD的周长最小值=DP′+P′Q′+Q′C+CD=BD′+Q′C+PQ+CD=CD″+PQ+CD计算即可．【解答】解：如图，将点D向右平移4个单位得到D′，作D′关于x轴的对称点D″，连接CD″与x轴交于点Q′，此时D→P′→Q′→C→D，组成的四边形周长最小．∵D（0，1），C（1，2），D′（4，1），D″（4，﹣1），此时四边形PQCD的周长最小值=DP′+P′Q′+Q′C+CD=BD′+Q′C+PQ+CD=CD″+PQ+CD=+4+=4+4．故答案为4+4．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、轴对称﹣最短问题，平行四边形的性质、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用对称以及平行四边形的性质找到最短路线，属于中考常考题型．18．如图，已知正方形ABCD的边长为2，E是边BC上的动点，BF⊥AE交CD于点F，垂足为G，连结CG．下列说法：①AG＞GE；②AE=BF；③点G运动的路径长为π；④CG的最小值为﹣1．其中正确的说法是②④．（把你认为正确的说法的序号都填上）【考点】四边形综合题．【专题】压轴题．【分析】根据正方形对角线的性质可得出当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，故①错误；求得∠BAE=∠CBF，根据正方形的性质可得AB=BC，∠ABC=∠C=90°，然后利用"角角边"证明△ABE和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得AE=BF，判断出②正确；根据题意，G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，然后求出弧的长度，判断出③错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，根据勾股定理求出最小CG长度．【解答】解：∵在正方形ABCD中，BF⊥AE，∴∠AGB保持90°不变，∴G点的轨迹是以AB中点O为圆心，AO为半径的圆弧，∴当E移动到与C重合时，F点和D点重合，此时G点为AC中点，∴AG=GE，故①错误；∵BF⊥AE，∴∠AEB+∠CBF=90°，∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴故②正确；∵当E点运动到C点时停止，∴点G运动的轨迹为圆，圆弧的长=×2=，故③错误；由于OC和OG的长度是一定的，因此当O、G、C在同一条直线上时，CG取最小值，OC==，CG的最小值为OC﹣OG=﹣1，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故答案为②④．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，弧长的计算，勾股定理的应用，熟记性质并求出△ABE和△BCF全等是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．三、解答题（本大题共有10小题，共86分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：20160+（）﹣1+2sin30°﹣|﹣3|；（2）化简：（1+）÷．【考点】分式的混合运算；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】（1）利用零指数、负整指数，锐角三角函数即可化简；（2）利用分式的性质进行计算即可．【解答】解（1）原式=1+2+2×﹣3=1；（2）原式=（1+）×==x+1．【点评】本题考查实数运算与分式运算，运算过程不算复杂，属于基础题型．20．（1）解方程：x2+4x﹣2=0；（2）解不等式组：．【考点】解一元一次不等式组；解一元二次方程-配方法．【分析】（1）先将常数项移至方程右边，再将左边配方后两边开方即可得；（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：（1）x2+4x=2，x2+4x+4=2+4，（x+2）2=6，∴x+2=±，则x1=﹣2，x2=﹣﹣2；（2）解不等式①得：x＞3，解不等式②得：x≤10，∴不等式组的解集为3＜x≤10．【点评】本题考查的是配方法解一元二次方程和解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．21．某校就"遇见路人摔倒后如何处理"的问题，随机抽取该校部分学生进行问卷调查（2011o南通）光明中学十分重视中学生的用眼卫生，并定期进行视力检测．某次检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力．（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率；（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）根据检测设有A、B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力可以利用列表法列举出所有可能即可求出；（2）根据图表求出即可．【解答】解：∵甲、乙、丙的检测情况，有如下8种可能： A B1 甲 乙丙2 甲乙 丙3 甲丙 乙4 甲乙丙 5 乙 甲丙6 乙丙 甲7 丙 甲乙8  甲乙丙∴（1）P（甲、乙、丙在同一处检测）==；（2）P（至少有两人在B处检测）==．【点评】此题主要考查了列表法求概率，此题是中考中新题型，列举时一定注意不能漏解．23．某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务．原来每天制作多少件？【考点】分式方程的应用．【专题】应用题．【分析】设原来每天制作x件，根据原来用的时间﹣现在用的时间=10，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．【解答】解：设原来每天制作x件，根据题意得：﹣=10，解得：x=16，经检验x=16是原方程的解，答：原来每天制作16件．【点评】此题考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，本题的等量关系是原来用的时间﹣现在用的时间=10．24．某中学九年级学生在学习"直角三角形的边角关系"时，组织开展测量物体高度的实践活动．在活动中，某小组为了测量校园内①号楼AB的高度（如图），站在②号楼的C处，测得①号楼顶部A处的仰角α=30°，底部B处的俯角β=45°，已知两幢楼的水平距离BD为18米，求①号楼AB的高度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据在Rt△BCE中，tan∠BCE=，求出BE的值，再根据在Rt△ACE中，tan∠ACE=，求出AE的值，最后根据AB=AE+BE，即可求出答案．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，CE⊥AB，∴四边形CDBE是矩形，∴CE=BD=18．在Rt△BEC中，∵∠ECB=45°，∴EB=CE=18．在Rt△AEC中，∵tan∠ACE=，∴AE=CEotan∠ACE=18×tan30°=6，∴AB=AE+EB=18+6．答：①号楼AB的高为（18+6）米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，本题要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．25．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，过点E作EF∥AB，交BC于点F．（1）求证：四边形DBFE是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形DBFE是菱形？为什么？【考点】三角形中位线定理；平行四边形的判定；菱形的判定．【专题】几何图形问题．【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明；（2）根据邻边相等的平行四边形是菱形证明．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，又∵EF∥AB，∴四边形DBFE是平行四边形；（2）解：当AB=BC时，四边形DBFE是菱形．理由如下：∵D是AB的中点，∴BD=AB，∵DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，∵AB=BC，∴BD=DE，又∵四边形DBFE是平行四边形，∴四边形DBFE是菱形．【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，菱形的判定以及菱形与平行四边形的关系，熟记性质与判定方法是解题的关键．26．商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．①设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式．②若商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价多少元？③每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【专题】应用题；压轴题．【分析】①根据每天盈利等于每件利润×销售件数得到y=（40﹣x）（20+2x），整理即可；②令y=1200，得到﹣2x2+60x+800=1200，整理得x2﹣30x+200=0，然后利用因式分解法解即可；③把y=﹣2x2+60x+800配成顶点式得到y=﹣2（x﹣15）2+1250，然后根据二次函数的最值问题即可得到答案．【解答】解：①y=（40﹣x）（20+2x）=﹣2x2+60x+800所以y与x之间的函数关系式为y=﹣2x2+60x+800；②令y=1200，∴﹣2x2+60x+800=1200，整理得x2﹣30x+200=0，解得x1=10（舍去），x2=20，所以商场每天要盈利1200元，每件衬衫降价20元；③y=﹣2x2+60x+800=﹣2（x﹣15）2+1250，∵a=﹣2＜0，∴当x=15时，y有最大值，其最大值为1250，所以每件降价15元时，商场每天的盈利达到最大，盈利最大是1250元．【点评】本题考查了二次函数的应用：根据题意列出二次函数关系式，再配成顶点式y=a（x﹣h）2+k，当a＜0，x=h，y有最大值k；当a＞0，x=h，y有最小值k．也考查了一元二次方程的应用．27．（2015o德州）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：ADoBC=APoBP．（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．【考点】相似形综合题；切线的性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据ADoBC=APoBP，就可求出t的值．【解答】解：（1）如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴ADoBC=APoBP；（2）结论ADoBC=APoBP仍然成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴ADoBC=APoBP；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．由勾股定理可得DE=4．∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1．又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B．由（1）、（2）的经验可知ADoBC=APoBP，∴5×1=t（6﹣t），解得：t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．【点评】本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．28．如图，直线y=﹣x+3与抛物线y=﹣x2+bx+c交于B、C两点，点B、C分别在x轴、y轴上，点A是抛物线与x轴的另一个交点且在点B的左侧，抛物线的对称轴直线l与x轴交于点D．（1）求抛物线解析式；（2）若直线BC上方的抛物线上有一动点P，是否存在某一位置，使得点P到直线BC的距离最大，如果存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）作点A关于直线BC的对称点A'，点E是x轴下方对称轴l上一点，连接A'E、A'B，若DE=2﹣2，求∠AEB的度数．（4）在（3）的条件下，计算tan∠BA′E的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先判断出点P到直线BC的距离最大时的位置就是直线MN，直线MN平行于BC且和抛物线只有一个交点就是点P，设出直线MN用一元二次方程的根的判别式求出直线MN解析式中的b，即可求出点P坐标；（3）先判断出点A和A'的连线与直线BC的交点F也在抛物线对称轴上，即：F（1，2），根据坐标求出线段即可判断出AEF是等腰三角形即可求出∠AEF，利用对称性得出结论；（4）先借助（3）的结论求出∠BA'E=∠DAE=22.5°，在直角三角形DAE中求出tan∠DAE=﹣1即可．【解答】解：（1）令x=0，则y=3，∴B（3，0）令y=0，则x=3，∴C（0，3），∵点B，C在抛物线上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3，（2）存在点P，理由：如图作直线MN∥BC，∵抛物线开口向下，∴直线MN与抛物线只有一个交点时，点P到直线BC的距离最大，此时的交点就是点P．设直线MN解析式为y=﹣x+b①，∵抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3②，联立①②得，x2﹣3x+b﹣3=0，∴△=9﹣4（b﹣3）=0，∴b=，∴直线MN解析式为y=﹣x+，③联立②③得x=，y=，∴P（，）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，3），∴OB=OC，∵∠BOC=90°，∴∠AOC=∠BCO=45°，∵抛物线对称轴x=1平行于y轴，∴∠BFD=BCO=45°，连接FA，FA'∵l⊥AB，且平分AB，∴FA=FD，∴∠AFD=45°，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BC∵A'与A关于BC对称，∴AA'⊥BC交点就是点F，AF=A'F∴直线BC解析式为y=﹣x+3与抛物线对称轴x=1的交点为F（1，2），∵点E在x轴下方，且DE=2﹣2，∴D（1，2﹣2），∴EF=2，∵A（﹣1，0），F（1，2），∴AF=2，∴EF=AF，∵∠AFD=45°，∴∠AEF=（180°﹣∠AFD）=67.5°，∵点E是线段AB垂直平分线上的点，∴∠AEB=2∠AEF=135°，（4）由（3）知，点F是AA'的中点，∵A（﹣1，0），F（1，2），∴A'（3，4），∵B（3，0），∴∠A'BA=90°，∵AE=BE，∠AEB=135°，∴∠BAE=∠ABE=22.5°，∴∠EBA'=112.5°由（3）知，EF=A'F，∴∠FEA'=∠FA'E，∵∠AFD=∠FEA'+∠FA'E=45°，∴∠FEA'=∠AFD=22.5°，由（3）知，∠AEF=67.5°，∴∠AEA'=∠AEF+∠FEA'=90°，由（3）知，∠AEB=135°，∴∠BEA'=∠AEB﹣∠AEA'=45°，在△A'BE中，∠EBA'=112.5°，∠BEA'=45°，∴∠BA'E=22.5°，∴∠DAE=∠BA'E=22.5°，在Rt△ADE中，AD=2，DE=2﹣2，∴tan∠DAE=，∴tan∠BA'E=．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，抛物线的对称性，线段的垂直平分线，直角三角形的判定，解本题的关键是DE=2﹣2充分利用．难点是判断点A，A'的连续与BC的交点刚好是直线BC和抛物线的对称轴的交点．