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2017年中考数学一轮复习导学案:相似图形23.相似图形? 题组练习一（问题习题化）1.已知，那么下列各式中一定成立的是（）A．B．C．D．3．【辽宁辽阳2015年中考数学试卷】如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（）A．（0，0）B．（0，1）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）【答案】C．7.【辽宁沈阳2015年中考数学试题】如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB：DE=．【答案】2：3．【解析】考点：位似变换．10.（常德）若两个扇形满足弧长的比等于它们半径的比，则这称这两个扇形相似。如图，如果扇形AOB与扇形是相似扇形，且半径(为不等于0的常数)。那么下面四个结论：①∠AOB＝∠；②△AOB∽△；③；④扇形AOB与扇形的面积之比为。成立的个数为：A、1个B、2个C、3个D、4个【解答与分析】这是一个阅读，扇形相似的意义理解，由弧长公式＝可以得到：②③正确，由扇形面积公式可得到④正确2.如图，∠1=∠2，则与下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A．∠D=∠BB．∠E=∠CC．D．3.如图在△ABC中D是BC边上一点，连接CD要使△ADC与△ABC相似，应填加的条件是_____(只需写出一个条件即可)4.如图，点D,E分别在AB.AC上，且∠ABC=∠AED.若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为____________.5.如图，在△ABC中，M.N是AB.BC的中点，AN.CM交于点O，那么△MON∽△AOC面积的比是_________．6.（2014年山东泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC与BD交于点E，∠ADB=∠ACB．（1）求证：=；（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F是BC中点，求证：四边形ABFD是菱形． 知识梳理具体考点内容 知识技能要求 过程性要求 A B C D A B C1.比例的基本性质.线段的比与成比例线段 ∨      2.黄金分割 ∨      3.图形的相似 ∨      4.相似图形的性质 ∨      ∨5.两个三角形相似的概念 ∨      6.两个三角形相似的条件       ∨7.用图形的相似解决一些实际问题   ∨    ? 题组练习二（知识网络化）7.（2014o毕节地区）如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（）A．B．C．D．3.【湖南株洲2015年中考数学试卷】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是()A、B、C、D、【答案】C【解析】试题分析：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB//EF//CD，∴△ABE∽△DCE，△BEF∽△BCD，∴，，∴EF=.8.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36，BD平分∠ABC交AC于D，下列结论中：①BC=BD=AD；②；③BC2=CD×AC；④若AB=2，则BC=.其中正确的是结论个数是___.（填序号）6.【辽宁本溪2015年中考数学试题】在△ABC中，AB=6cm，AC=5cm，点D、E分别在AB、AC上．若△ADE与△ABC相似，且=1：8，则AD=cm．【答案】2或．【解析】试题分析：∵=1：8，∴=1：9，∴△ADE与△ABC相似比为：1：3，①若∠AED对应∠B时，则，∵AC=5cm，∴AD=cm；②当∠ADE对应∠B时，则，∵AB=6cm，∴AD=2cm；故答案为：2或．9.如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，且∠APD=60，则CD的长为（）A. B.  C. D.10.在Rt△ABC可，CD为斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）A.AC2=AD·AB B.BC2=BD·ABC.CD2=AD·BD D.AB2=AC·BC11.如图，在矩形ABCD中，B=10cm,BC=20cm两只小虫P和Q同时分别从A.B出发沿AB.BC向终点B.C方向前进，小虫P每秒走1cm,小虫Q每秒走2cm，请问它们同时出发多少秒后，以P,B,Q为顶点的三角形与以A.B.C为顶点的三角形相似？12.（2014o乐山）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON=1．（1）求BD的长；（2）若△DCN的面积为2，求四边形ABCM的面积．? 题组练习三（中考考点链接）13.（2014o莱芜）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE=1：4，则S△BDE：S△ACD=（）A．1：16B．1：18C．1：20D．1：2414.（2013o长春）如图，∠ABD=∠BDC=90°，∠A=∠CBD，AB=3，BD=2，则CD的长为（） A． B． C.2 D．315.（2014o甘肃白银）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x（0.2≤x≤0.8），EC=y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之闻函数关系的是（）A．B．C．D．16.（2014o广西玉林市、防城港市）如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP．（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若△MCQ∽△AMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由．9．【辽宁抚顺2015年中考数学试题】在Rt△ABC中，∠BAC=90°，过点B的直线MN∥AC，D为BC边上一点，连接AD，作DE⊥AD交MN于点E，连接AE．（1）如图①，当∠ABC=45°时，求证：AD=DE；（2）如图②，当∠ABC=30°时，线段AD与DE有何数量关系？并请说明理由；（3）当∠ABC=α时，请直接写出线段AD与DE的数量关系．（用含α的三角函数表示）【答案】（1）证明见解析；（2）DE=AD；（3）AD=DEotanα．【解析】试题分析：（1）过点D作DF⊥BC，交AB于点F，得出∠BDE=∠ADF，∠EBD=∠AFD，即可得到△BDE≌△FDA，从而得到AD=DE；（2）过点D作DG⊥BC，交AB于点G，进而得出∠EBD=∠AGD，证出△BDE∽△GDA即可得出答案；（2）DE=AD，理由：如图2，过点D作DG⊥BC，交AB于点G，则∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠BAC=90°，∠ABC=30°，∴∠C=60°，∵MN∥AC，∴∠EBD=180°﹣∠C=120°，∵∠ABC=30°，DG⊥BC，∴∠BGD=60°，∴∠AGD=120°，∴∠EBD=∠AGD，∴△BDE∽△GDA，∴，在Rt△BDG中，=tan30°=，∴DE=AD；（3）AD=DEotanα；理由：如图2，∠BDE+∠GDE=90°，∵DE⊥AD，∴∠GDE+∠ADG=90°，∴∠BDE=∠ADG，∵∠EBD=90°+α，∠AGD=90°+α，∴∠EBD=∠AGD，∴△EBD∽△AGD，∴，在Rt△BDG中，=tanα，则=tanα，∴AD=DEotanα．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．全等三角形的判定与性质；3．探究型；4．综合题；5．压轴题．21.相似图形1.C；2.D；3.∠ACD=∠B，或∠ADC=∠ACB或；4.10；5.1:4；6.证明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴=，又∵AB=AD，∴=；（2）设AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，由（1）得：AB2=AEoAC，∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，∵F是BC中点，∴BF=x，∴BF=AB=AD，又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，∴∠ADB=∠CBD=30°，∴AD∥BF，∴四边形ABFD是平行四边形，又∵AD=AB，∴四边形ABFD是菱形．7.A；8.4；9.B；10.D；11.设它们同时出发了t秒时△PBQ与△ABC时相似，BP=10-t,BQ=2t.(1)∵∠B=∠B，当时，△PBQ∽△ABC，∴，解得t=5.(2)∵∠B=∠B，当时，△PBQ∽△CBA，∴，解得t=2.∴它们同时出发了2秒或5秒后△PBQ与△ABC时相似12.解：（1）∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，∴△MND∽△CNB，∴=，∵M为AD中点，∴MD=AD=BC，即=，∴=，即BN=2DN，设OB=OD=x，则有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x﹣1，∴x+1=2（x﹣1），解得：x=3，∴BD=2x=6；（2）∵△MND∽△CNB，且相似比为1：2，∴MN：CN=1：2，∴S△MND：S△CND=1：4，∵△DCN的面积为2，∴△MND面积为，∴△MCD面积为2.5，∵S平行四边形ABCD=ADoh，S△MCD=MDoh=ADoh，∴S平行四边形ABCD=4S△MCD=1013.C；14.B；15.C；16.（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠B，在△ABM和△BCP中，，∴△ABM≌△BCP（SAS），∴AM=BP，∠BAM=∠CBP，∵∠BAM+∠AMB=90°，∴∠CBP+∠AMB=90°，∴AM⊥BP，∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，∴AM⊥MN，且AM=MN，∴MN∥BP，∴四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC．理由如下：∵∠BAM+∠AMB=90°，∠AMB+∠CMQ=90°，∴∠BAM=∠CMQ，又∵∠B=∠C=90°，∴△ABM∽△MCQ，∴=，∵△MCQ∽△AMQ，∴△AMQ∽△ABM，∴=，∴=，∴BM=MC．