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2019年中考一轮复习《等腰三角形》同步练习_等腰三角形分类讨论专题复习_等腰三角形边长公式课题21等腰三角形A组基础题组一、选择题1.(2018河北中考)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB,求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是()A.作∠APB的平分线PC交AB于点CB.过点P作PC⊥AB于点C且AC=BCC.取AB中点C,连接PCD.过点P作PC⊥AB,垂足为C2.(2017邢台一模)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的()A.三条高的交点B.三条角平分线的交点C.三条中线的交点D.三条边的垂直平分线的交点3.(2017邯郸模拟)下列条件能判定△ABC为等腰三角形的是()A.∠A=30°,∠B=60°B.AB=5,AC=12,BC=13C.∠A=50°,∠B=80°D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶54.如图,在等腰△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,∠ABC=72°,则∠ABD=()A.36° B.54° C.18° D.64°5.(2018邯郸模拟)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分线,若CD=2,AB=8,则△ABD的面积是()A.6 B.8 C.10 D.126.(2018承德模拟)如图,已知P是∠AOB的角平分线上的一点,∠AOB=60°,PD⊥OA,M是OP的中点,点C是OB上的一个动点,若PC的最小值为3cm,则MD的长度为()A.3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm二、填空题7.如图,△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为.8.(2017石家庄模拟)如图,已知OA=a,P是射线ON上一动点,∠AON=60°,当OP=时,△AOP为等边三角形.9.(2018石家庄高邑期末)如图,已知△ABC的周长是24,BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=3,则△ABC的面积是.10.(2018承德模拟)三个等边三角形的摆放位置如图所示,若∠3=60°,则∠1+∠2=.三、解答题11.(2018保定一模)如图,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,点E在BC边上.(1)求证:△ACD≌△ABE;(2)若∠CDE=60°,求∠AEB的度数.12.(2017秦皇岛模拟)如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(1)求∠F的度数;(2)若CD=2,求DF的长.B组提升题组一、选择题1.(2018廊坊安次二模)如图,△ABC是等边三角形,点P是三角形内的任意一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周长为12,则PD+PE+PF=()A.12 B.8 C.4 D.32.(2017河北中考)如图,码头A在码头B的正西方向,甲、乙两船分别从A,B同时出发,并以等速驶向某海域.甲的航向是北偏东35°,为避免行进中甲、乙相撞,则乙的航向〖"不能"〗┬"··"是()A.北偏东55° B.北偏西55°C.北偏东35° D.北偏西35°3.(2018黑龙江中考)如图,四边形ABCD中,AB=AD,AC=5,∠DAB=∠DCB=90°,则四边形ABCD的面积为()A.15 B.12.5 C.14.5 D.17二、填空题4.(2018德州中考)如图,OC为∠AOB的平分线,CM⊥OB,OC=5,OM=4,则点C到射线OA的距离为.5.(2017石家庄模拟)已知等边三角形ABC的两个顶点坐标为A(-3,0),B(3,0),则点C的坐标为.三、解答题6.(2018唐山丰南一模)如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BE=CF,AD+EC=AB.(1)求证:△DEF是等腰三角形;(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数;(3)当∠A为多少度时,△DEF是等边三角形?答案精解精析A组基础题组一、选择题1.B无论作∠APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PC⊥AB,垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.2.D3.C4.B∵AB=AC,∠ABC=72°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=36°.∵BD⊥AC,∴∠ABD=90°-36°=54°.故选B.5.B如图,过点D作DE⊥AB于E,∵AB=8,CD=2,AD是∠BAC的角平分线,∠C=90°,∴DE=CD=2,∴△ABD的面积=1/2AB·DE=1/2×8×2=8.故选B.6.A当PC⊥OB时PC最小,∵P是∠AOB的平分线上的一点,PD⊥OA,PC⊥OB,∴PD=PC=3cm,∠AOP=30°,∴OP=2PD=6cm,∵PD⊥OA,M是OP的中点,∴DM=1/2OP=3cm,故选A.二、填空题7.答案13解析∵DE垂直平分AB,∴AE=BE,∴△BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.8.a9.答案36解析如图,连接OA,∵BO,CO分别平分∠ABC和∠ACB,∴点O到AB,AC,BC的距离都相等,∵△ABC的周长是24,OD⊥BC于D,且OD=3,∴S△ABC=1/2×24×3=36.10.答案120°解析∵图中是三个等边三角形,∠3=60°,∴∠ABC=180°-60°-60°=60°,∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2,∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1,∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴60°+(120°-∠2)+(120°-∠1)=180°,∴∠1+∠2=120°.三、解答题11.解析(1)证明:∵∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAC-∠CAE=∠DAE-∠CAE,即∠DAC=∠EAB,在△ACD与△ABE中,{■(AD=AE","@∠CAD=∠BAE","@AC=AB",")┤∴△ACD≌△ABE(SAS).(2)∵△ACD≌△ABE,∴∠ADC=∠AEB,∴∠AEB=∠ADE+∠CDE=45°+60°=105°.12.解析(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.∴∠F=90°-∠EDC=30°.(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.∵∠DEF=90°,∠F=30°,∴DF=2DE=4.B组提升题组一、选择题1.C延长EP、FP分别交AB、BC于G、H,则由PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,可得四边形PGBD,EPHC是平行四边形,∴PG=BD,PE=HC,又△ABC是等边三角形,由PF∥AC,PD∥AB可得△PFG,△PDH是等边三角形,∴PF=PG=BD,PD=DH,又△ABC的周长为12,∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=1/3×12=4,故选C.2.D3.B如图,过A作AE⊥AC,交CB的延长线于E,如图.∵∠DAB=∠DCB=90°,∴∠D+∠ABC=180°=∠ABE+∠ABC,∴∠D=∠ABE,又∵∠DAB=∠CAE=90°,∴∠CAD=∠EAB.又∵AD=AB,∴△ACD≌△AEB,∴AC=AE,即△ACE是等腰直角三角形,∴四边形ABCD的面积与△ACE的面积相等,∵S△ACE=1/2×5×5=12.5,∴四边形ABCD的面积为12.5,故选B.二、填空题4.35.(0,3√3)或(0,-3√3)三、解答题6.解析(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵AD+EC=AB,AD+BD=AB,∴BD=EC.在△DBE和△ECF中,{■(BE=CF","@∠B=∠C","@BD=CE",")┤∴△DBE≌△ECF(SAS).∴DE=EF,即△DEF是等腰三角形.(2)∵∠A=40°,∠B=∠C,∴∠B=∠C=70°.∴∠BDE+∠DEB=110°.∵△DBE≌△ECF,∴∠BDE=∠FEC.∴∠FEC+∠DEB=110°.∴∠DEF=70°.(3)当∠A为60度时,△DEF是等边三角形.理由:由(2)知,∠DEF=∠B.∵∠DEF=60°,∴∠B=60°.∵AB=AC,∴△ABC是等边三角形.∴∠A=60°.