开放数学教育

   自然科学是对自然现象本身客观规律的揭示，从这个意义上说，科学的本质是发现；而数学是人们为了建立自然和社会现象的主观联系，从这个意义上说，数学的本质是发明，是主观建构。数学中最基本的有理数、无理数是人设定的，几何学上最基本的点、线、面实际上是不存在的，它完全是一种抽象的概念，只不过为了帮助人们理解这种观念才作出有形的点、线、面来；就是最基本的1+1=2也是人们设定的运算法则之一，这一法则只有在10进位制的系统中才有意义，在2进位、8进位制系统中就毫无意义了。有时候，数学是通过“无”与“无”的运算，算出“有”来。夸张一点说，数学有时就是“无中生有”。当然，我们这里不是严格讨论数学学的问题，而是想要说明一个道理，人是数学的主人，数学教育的目的是使学生学会运用数学为我所用。
   　　数学是一种工具，是一种将自然、社会运动现象法则化、简约化的工具，数学学习的最重要的成果就是学会建立数学模型，用以解决实际问题。数学本身是人为的，是开放的，是丰富多样的，一句话，数学是为人所用的。数学又是训练人的思维的工具，通过学习数学，使人的思维更具有逻辑性和抽象概括性，更精炼简洁，更能够创造性地解决问题。数学教育的任务当然也就是教人掌握这一工具和利用这一工具。然而不幸的是，由于教育竞争的压力，由于应试教育的扭曲，在我们的数学教育中，数学成了封闭的系统，成了固定的逻辑联系。不是数学成为人的工具，而是数学教育使人成了数学的工具，成了解题的工具，特别是成了寻求唯一答案的工具。
   　　举一个例子。一位数学教育家做过一个实验，他给小学生出了这样一个题目：河的一边，有一群牛和羊，其中牛38头，羊42头，一位船工要用船将这群牛和羊运到河的对岸。问：船工的年龄有多大？使人感到惊讶的是，绝大部分同学都有答案，而且大部分同学的答案都是相同的：船工40岁。特别是刚刚学过平均数的同学，100%的回答是40岁。问他们何以能得出这一结论，其回答又是惊人地相似：题目必定是有答案的，题目中的数据一定是有用的，想来想去，只能是这一答案了。
   　　从事教育工作的人都知道，成绩再差的学生如果解题时题目中有一个数据没有用上，那他也知道题目一定做错了。因为我们的题目中从来没有多余的数据或条件。可是实际生活中，解决问题最重要的往往并不是怎样将数据带进公式，而是要确定哪些数据、哪些因素对事情有影响。我们的学生之所以普遍存在高分低能的情况，就是因为我们的教育注重的是教会学生怎样将数据带进公式，而不是怎样确定解决问题的方法，就数学教育而言，就是怎样建立数学模型。事实上，面对不同的数据或条件，不同的需要、不同的构思，完全可能建立起不同的数学模型来。
   　　再举一个例子。香港的中学数学教材中有这样一个题目：某一企业，有股东5人，工人100人，1990~1992年的3年间，该企业的收益情况如下表，要求根据表中的数据绘制成图。
   
    股东红利（元）
    工资总额（元）
    
   1990年
    5万
    10万
    
   1991年
    7.5万
    12.5万
    
   1992年
    10万
    15万
    
   
   面对这样一组数据，不同的思维方法可以构建出不同的数学模型，描绘出不同的图来：
   
   图1是两条平行线，传递出的信息是劳资双方共同发展，有福同享、有难同当，这样的图是老板最愿意看到的，我们姑且称它为“老板图”。图2是拿全体股东分红增长的比例和全体工人工资增长的比例做比较，以1990年为100%，股东分红增长了100%，工人工资只增长50%，传递出来的信息是工人工资的增长比例是股东分红增长比例的一半，应该适当增加工人的工资，我们把它称为“工会图”。而图3是拿股东个人收入的增长和工人个人收入的增长趋势比较，传递出来的信息则是：股东和工人的收入十分悬殊，而且差距越来越大，这可称为“工人图”。华东师范大学的张奠宙教授拿这一题目请一位教师到一所中学做实验，让同学们根据数据绘出图来。结果100%的学生绘制出的图都如图1。在我们的学生看来，图1是最规范的思路，最标准的答案，他们根本没有想过这一题目多种答案的可能性，没有想过一组数据中透露出来的生活中的实际信息。更没有想过把数学作为工具用来解释世界，而是只想到把这一题目解出来。
   
   　　这使我想起上海市某区有一年初中升高中的数学题中，有一道题是问学生怎样将一张已知长和宽的硬板纸作成一只体积最大的纸盒，结果百分之七十多的人答不出来。其实这道题所需要的数学知识小学数学就够用了。如果题目不是这样出，而是要求求出具体的面积、体积，恐怕就是百分之七十多的人答得出来了。长期的标准程序、标准答案的教育，把学生训练成了解题的工具，实际上是训练成了封闭思维方法的工具。其实，数学本身是开放的，应对社会生活需要有开放的数学教育。
   
   　　数学的开放性、多样性不仅是生活需要的反映，也是人的认知结构、认知能力的反映，不仅生活需要开放的数学教育，学生认知潜力的发展也需要开放的数学教育。80年代以前，人们认为人的智力是一维的，是线性的，人的智力水平的高低可以简单地以智力测量的结果即智力商数的高低来决定。80年代以后，人们逐渐认识到，人的智力结构是多元的，智力水平并不是智力结构不同要素的简单相加，人的不同的智力结构构成了人的不同的认知风格，形成了人的不同的创造特点。经过多年的实验研究发现，人的智力结构可以分为分析智力、创造智力和实践智力。分析智力解决那些界定清晰、答案与方法唯一的问题，而创造智力和实践智力则解决条件模糊不全、方法与答案多样、且与日常经验密切相联的问题。现在的数学教育主要是针对和利用了分析智力，而难以对创造智力和实践智力有所利用和开发。事实上，在实际生活中，结构良好、条件确定、只需要重复所学的知识即可解决的问题是很少的，大量的问题则是结构不良、条件不明、必须发挥创造性并结合有关经验才能解决的。为了更好地培养学生成功地应对社会生活的能力，为了更有效地培养学生的创造性，让我们的数学教育更开放一些吧。