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四川省雅安中学2016届中考数学第三次模拟试卷含答案解析2016年四川省雅安中学中考数学一诊试卷一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分.注意:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.下列运算中,正确的是()A.a2+a4=a6 B.a6÷a3=a2 C.(﹣a4)2=a6 D.a2oa4=a62.方程x2﹣2x+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根3.已知点P(a+1,2a﹣3)在第一象限,则a的取值范围是()A.a<﹣1 B.a> C.﹣<a<1 D.﹣1<a<4.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1<x2,则下列不等式中恒成立的是()A.y1+y2>0 B.y1+y2<0 C.y1﹣y2>0 D.y1﹣y2<05.一个不透明的盒子中装有3个红球,2个黄球和1个绿球,这些球除了颜色外无其他差别,从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为()A. B. C. D.6.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°,则∠CON的度数为()A.35° B.45° C.55° D.65°7.如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到新的线段,则点A的对应点坐标为()A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)8.如图,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100米达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:米)为()A.50 B.51 C.50+1 D.1019.关于x的方程=1的解是正数,则a的取值范围是()A.a>﹣1 B.a>﹣1且a≠0 C.a<﹣1 D.a<﹣1且a≠﹣210.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2,则S阴影=()A.π B.2π C. D.π11.如图是某几何体的三视图,根据图中所标的数据求得该几何体的体积为()A.236π B.136π C.132π D.120π12.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2;⑥OAoOB=;其中正确的有()A.3个 B.2个 C.4个 D.5个二、填空题(本大题6个小题,每题3分,共18分)13.两组数据:3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6,若将这两组数据合并为一组数据,则这组新数据的中位数为.14.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为.15.观察下列一组数:,…,根据该组数的排列规律,可推出第10个数是.16.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t=秒时,S1=2S2.17.已知cosα=,则的值等于.18.已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1,x2,且满足+=3,则k的值是.三、解答题(本大题7个小题,共66分.注意:解答应写出必要的文字说明,证明过程或解答步骤.)19.(1)计算:×(﹣)+|﹣2|+()﹣3﹣2×tan60°(2)解方程:x2﹣2x=2x﹣4.20.先化简,再求值:(+)÷,其中x=,y=﹣.21.某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元.(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元.则有哪几种购车方案?22.如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH,(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)当四边形EFGH的面积为50cm2时,求tan∠FEB的值;(3)求四边形EFGH面积的最小值.23.如图,已知点A、P在反比例函数y=(k<0)的图象上,点B、Q在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,AB⊥x轴,且S△OAB=4,若P、Q两点关于y轴对称,设点P的坐标为(m,n).(1)求点A的坐标和k的值;(2)求的值.24.如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.25.如图:已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点,并与直线y=x﹣2交于B、C两点,其中点C是直线y=x﹣2与y轴交点,连接AC,(1)求抛物线解析式;(2)证明:△ABC为直角三角形;(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A,C,P,B为顶点的四边形面积最大,请求出点P的坐标以及此时以A,C,P,B为顶点的四边形面积.2016年四川省雅安中学中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共12小题,每小题3分,共36分.注意:在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.)1.下列运算中,正确的是()A.a2+a4=a6 B.a6÷a3=a2 C.(﹣a4)2=a6 D.a2oa4=a6【考点】同底数幂的除法;合并同类项;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.【分析】根据同底数幂的除法,底数不变指数相减;合并同类项,系数相加字母和字母的指数不变;同底数幂的乘法,底数不变指数相加;幂的乘方,底数不变指数相乘,对各选项计算后利用排除法求解.【解答】解:A、a2oa4=a6,故错误;B、a6÷a3=a3,故错误;C、(﹣a4)2=a8,故错误;D、正确;故选:D.【点评】本题考查同底数幂的除法,合并同类项,同底数幂的乘法,幂的乘方很容易混淆,一定要记准法则才能做题.2.方程x2﹣2x+3=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根【考点】根的判别式.【分析】把a=1,b=﹣2,c=3代入△=b2﹣4ac进行计算,然后根据计算结果判断方程根的情况.【解答】解:∵a=1,b=﹣2,c=3,∴△=b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0,所以方程没有实数根.故选C.【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0,a,b,c为常数)的根的判别式△=b2﹣4ac.当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程没有实数根.3.已知点P(a+1,2a﹣3)在第一象限,则a的取值范围是()A.a<﹣1 B.a> C.﹣<a<1 D.﹣1<a<【考点】点的坐标.【分析】让横坐标大于0,纵坐标大于0即可求得a的取值范围.【解答】解:∵点P(a+1,2a﹣3)在第一象限,∴,解得:a,故选:B.【点评】考查了点的坐标、一元一次不等式组的解集的求法;用到的知识点为:第一象限点的横纵坐标均为正数.4.已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上两点A(x1,y1)、B(x2,y2),且x1<x2,则下列不等式中恒成立的是()A.y1+y2>0 B.y1+y2<0 C.y1﹣y2>0 D.y1﹣y2<0【考点】一次函数图象上点的坐标特征;正比例函数的图象.【分析】根据k<0,正比例函数的函数值y随x的增大而减小解答.【解答】解:∵直线y=kx的k<0,∴函数值y随x的增大而减小,∵x1<x2,∴y1>y2,∴y1﹣y2>0.故选:C.【点评】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征,主要利用了正比例函数的增减性.5.一个不透明的盒子中装有3个红球,2个黄球和1个绿球,这些球除了颜色外无其他差别,从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率为()A. B. C. D.【考点】概率公式.【专题】计算题.【分析】直接根据概率公式求解.【解答】解:从中随机摸出一个小球,恰好是黄球的概率==.故选B.【点评】本题考查了概率公式:随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数.6.如图,直线AB,CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM,若∠AOM=35°,则∠CON的度数为()A.35° B.45° C.55° D.65°【考点】垂线;角平分线的定义.【分析】由射线OM平分∠AOC,∠AOM=35°,得出∠MOC=35°,由ON⊥OM,得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案.【解答】解:∵射线OM平分∠AOC,∠AOM=35°,∴∠MOC=35°,∵ON⊥OM,∴∠MON=90°,∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°.故选:C.【点评】本题主要考查了垂线和角平分线,解决本题的关键是找准角的关系.7.如图,在直角坐标系中,有两点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为,在第一象限内把线段AB缩小后得到新的线段,则点A的对应点坐标为()A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1)【考点】位似变换;坐标与图形性质.【分析】由以原点O为位似中心,相似比为,根据位似图形的性质,即可求得答案.【解答】解:∵以原点O为位似中心,相似比为,A(6,3),∴在第一象限内,点A的对应点坐标为:(2,1).故选A.【点评】此题考查了位似图形的变换.注意在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k.8.如图,为了测得电视塔的高度AB,在D处用高为1米的测角仪CD,测得电视塔顶端A的仰角为30°,再向电视塔方向前进100米达到F处,又测得电视塔顶端A的仰角为60°,则这个电视塔的高度AB(单位:米)为()A.50 B.51 C.50+1 D.101【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【专题】压轴题.【分析】设AG=x,分别在Rt△AEG和Rt△ACG中,表示出CG和GE的长度,然后根据DF=100m,求出x的值,继而可求出电视塔的高度AH.【解答】解:设AG=x,在Rt△AEG中,∵tan∠AEG=,∴EG==x,在Rt△ACG中,∵tan∠ACG=,∴CG==x,∴x﹣x=100,解得:x=50.则AB=50+1(米).故选C.【点评】本题考查了解直角三角形的应用,关键是根据仰角构造直角三角形,利用三角函数求解,注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法.9.关于x的方程=1的解是正数,则a的取值范围是()A.a>﹣1 B.a>﹣1且a≠0 C.a<﹣1 D.a<﹣1且a≠﹣2【考点】分式方程的解.【专题】计算题.【分析】先解关于x的分式方程,求得x的值,然后再依据"解是正数"建立不等式求a的取值范围.【解答】解:去分母得,2x+a=x﹣1∴x=﹣1﹣a∵方程的解是正数∴﹣1﹣a>0即a<﹣1又因为x﹣1≠0∴a≠﹣2则a的取值范围是a<﹣1且a≠﹣2故选:D.【点评】由于我们的目的是求a的取值范围,根据方程的解列出关于a的不等式,另外,解答本题时,易漏掉a≠﹣2,这是因为忽略了x﹣1≠0这个隐含的条件而造成的,这应引起同学们的足够重视.10.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,∠CDB=30°,CD=2,则S阴影=()A.π B.2π C. D.π【考点】扇形面积的计算;勾股定理;垂径定理.【专题】计算题.【分析】求出CE=DE,OE=BE=1,得出S△BED=S△OEC,所以S阴影=S扇形BOC.【解答】解:如图,CD⊥AB,交AB于点E,∵AB是直径,∴CE=DE=CD=,又∵∠CDB=30°∴∠COE=60°,∴OE=1,OC=2,∴BE=1,∴S△BED=S△OEC,∴S阴影=S扇形BOC==.故选:D.【点评】本题考查了垂径定理、扇形面积的计算,图形的转化是解答本题的关键.11.如图是某几何体的三视图,根据图中所标的数据求得该几何体的体积为()A.236π B.136π C.132π D.120π【考点】由三视图判断几何体.【分析】根据给出的几何体的三视图可知几何体是由大小两个圆柱组成,从而根据三视图的特点得知高和底面直径,代入体积公式计算即可.【解答】解:由三视图可知,几何体是由大小两个圆柱组成,故该几何体的体积为:π×22×2+π×42×8=8π+128π=136π.故选:B.【点评】本题考查的是由三视图判断几何体的形状并计算几何体的体积,由该三视图中的数据确定圆柱的底面直径和高是解本题的关键,本题体现了数形结合的数学思想.12.如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2;⑥OAoOB=;其中正确的有()A.3个 B.2个 C.4个 D.5个【考点】二次函数图象与系数的关系.【分析】根据抛物线开口方向得a<0,由抛物线对称轴为直线x=﹣=1,得到b=﹣2a>0,即2a+b=0,由抛物线与y轴的交点位置得到c>0,所以abc<0;根据二次函数的性质得当x=1时,函数有最大值a+b+c,则当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm;根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧,则当x=﹣1时,y<0,所以a﹣b+c<0;把ax12+bx1=ax22+bx2先移项,再分解因式得到(x1﹣x2)[a(x1+x2)+b]=0,而x1≠x2,则a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=﹣,然后把b=﹣2a代入计算得到x1+x2=2;设A(x1,0),B(x2,0),根据抛物线和方程的关系得出x1ox2=,即可求得OAoOB=﹣x1ox2=﹣.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,即2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵抛物线对称轴为直线x=1,∴函数的最大值为a+b+c,∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③正确;∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧∴当x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,所以④错误;∵ax12+bx1=ax22+bx2,∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0,∴a(x1+x2)(x1﹣x2)+b(x1﹣x2)=0,∴(x1﹣x2)[a(x1+x2)+b]=0,而x1≠x2,∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=﹣,∵b=﹣2a,∴x1+x2=2,所以⑤正确;设A(x1,0),B(x2,0),∴x1ox2=.∵OA=﹣x1,OB=x2,∴OAoOB=﹣x1ox2=﹣,所以⑥错误.故选:A.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧;常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.二、填空题(本大题6个小题,每题3分,共18分)13.两组数据:3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6,若将这两组数据合并为一组数据,则这组新数据的中位数为6.【考点】中位数;算术平均数.【分析】首先根据平均数的定义列出关于a、b的二元一次方程组,再解方程组求得a、b的值,然后求中位数即可.【解答】解:∵两组数据:3,a,2b,5与a,6,b的平均数都是6,∴,解得,若将这两组数据合并为一组数据,按从小到大的顺序排列为3,4,5,6,8,8,8,一共7个数,第四个数是6,所以这组数据的中位数是6.故答案为6.【点评】本题考查平均数和中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关,因此求一组数据的中位数时,先将该组数据按从小到大(或按从大到小)的顺序排列,然后根据数据的个数确定中位数:当数据个数为奇数时,则中间的一个数即为这组数据的中位数;当数据个数为偶数时,则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数.14.如图,点E在正方形ABCD的边CD上.若△ABE的面积为8,CE=3,则线段BE的长为5.【考点】正方形的性质;三角形的面积;勾股定理.【分析】根据正方形性质得出AD=BC=CD=AB,根据面积求出EM,得出BC=4,根据勾股定理求出即可.【解答】解:过E作EM⊥AB于M,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=BC=CD=AB,∴EM=AD,BM=CE,∵△ABE的面积为8,∴×AB×EM=8,解得:EM=4,即AD=DC=BC=AB=4,∵CE=3,由勾股定理得:BE===5,故答案为:5.【点评】本题考查了三角形面积,正方形性质,勾股定理的应用,解此题的关键是求出BC的长,难度适中.15.观察下列一组数:,…,根据该组数的排列规律,可推出第10个数是.【考点】规律型:数字的变化类.【专题】规律型.【分析】由分子1,2,3,4,5,…即可得出第10个数的分子为10;分母为3,5,7,9,11,…即可得出第10个数的分母为:1+2×10=21,得出结论.【解答】解:∵分子为1,2,3,4,5,…,∴第10个数的分子为10,∵分母为3,5,7,9,11,…,∴第10个数的分母为:1+2×10=21,∴第10个数为:,故答案为:.【点评】此题考查数字的变化规律,找出数字之间的运算规律,得出规律,利用规律,解决问题是解答此题的关键.16.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0<t<8),则t=6秒时,S1=2S2.【考点】一元二次方程的应用;等腰直角三角形;矩形的性质.【专题】几何动点问题;压轴题.【分析】利用三角形的面积公式以及矩形的面积公式,表示出S1和S2,然后根据S1=2S2,即可列方程求解.【解答】解:∵Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高,∴AD=BD=CD=8cm,又∵AP=t,则S1=APoBD=×8×t=8t,PD=8﹣t,∵PE∥BC,∴△APE∽△ADC,∴,∴PE=AP=t,∴S2=PDoPE=(8﹣t)ot,∵S1=2S2,∴8t=2(8﹣t)ot,解得:t=6.故答案是:6.【点评】本题考查了一元二次方程的应用,以及等腰直角三角形的性质,正确表示出S1和S2是关键.17.已知cosα=,则的值等于0.【考点】同角三角函数的关系.【专题】计算题.【分析】先利用tanα=得到原式==,然后把cosα=代入计算即可.【解答】解:∵tanα=,∴==,∵cosα=,∴==0.故答案为0.【点评】本题考查了同角三角函数的关系:平方关系:sin2A+cos2A=1;正余弦与正切之间的关系(积的关系):一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比,即tanA=或sinA=tanAocosA.18.已知关于x的方程x2﹣6x+k=0的两根分别是x1,x2,且满足+=3,则k的值是2.【考点】根与系数的关系.【分析】找出一元二次方程的系数a,b及c的值,利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积,然后利用完全平方公式变形后,将求出的两根之和与两根之积代入,即可求出所求式子的值.【解答】解:∵x2﹣6x+k=0的两个解分别为x1、x2,∴x1+x2=6,x1x2=k,+===3,解得:k=2,故答案为:2.【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系,对所求的代数式进行正确的变形是解决本题的关键.三、解答题(本大题7个小题,共66分.注意:解答应写出必要的文字说明,证明过程或解答步骤.)19.(1)计算:×(﹣)+|﹣2|+()﹣3﹣2×tan60°(2)解方程:x2﹣2x=2x﹣4.【考点】实数的运算;负整数指数幂;解一元二次方程-配方法;特殊角的三角函数值.【专题】计算题;实数.【分析】(1)原式第一项利用二次根式乘法法则计算,第二项利用特殊角的三角函数值计算,第三项利用负整数指数幂法则计算,最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果;(2)方程整理后,利用完全平方公式化简,开方即可求出解.【解答】解:(1)原式=﹣3+2﹣8﹣2×=﹣3+2﹣8﹣6=﹣﹣14;(2)方程整理得:x2﹣4x=﹣4,配方得:x2﹣4x+4=0,即(x﹣2)2=0,解得:x1=x2=2.【点评】此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.20.先化简,再求值:(+)÷,其中x=,y=﹣.【考点】分式的化简求值.【专题】计算题.【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x与y的值代入计算即可求出值.【解答】解:原式=oxy(x﹣y)=oxy(x﹣y)=3xy,当x=+,y=﹣时,原式=3.【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键.21.某汽车专卖店销售A,B两种型号的新能源汽车.上周售出1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元;本周已售出2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元.(1)求每辆A型车和B型车的售价各为多少元.(2)甲公司拟向该店购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元.则有哪几种购车方案?【考点】一元一次不等式组的应用;二元一次方程组的应用.【专题】应用题.【分析】(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元.则等量关系为:1辆A型车和3辆B型车,销售额为96万元,2辆A型车和1辆B型车,销售额为62万元;(2)设购买A型车a辆,则购买B型车(6﹣a)辆,则根据"购买A,B两种型号的新能源汽车共6辆,购车费不少于130万元,且不超过140万元"得到不等式组.【解答】解:(1)每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元.则,解得.答:每辆A型车的售价为18万元,每辆B型车的售价为26万元;(2)设购买A型车a辆,则购买B型车(6﹣a)辆,则依题意得,解得2≤a≤3.∵a是正整数,∴a=2或a=3.∴共有两种方案:方案一:购买2辆A型车和4辆B型车;方案二:购买3辆A型车和3辆B型车.【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,进而找到所求的量的等量关系.22.如图,正方形ABCD的边长为8cm,E、F、G、H分别是AB,BC,CD,DA上的动点,且AE=BF=CG=DH,(1)求证:四边形EFGH是正方形;(2)当四边形EFGH的面积为50cm2时,求tan∠FEB的值;(3)求四边形EFGH面积的最小值.【考点】正方形的判定与性质;二次函数的最值.【分析】(1)由正方形的性质得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,证出AH=BE=CF=DG,由SAS证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG,得出EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,证出四边形EFGH是菱形,再证出∠HEF=90°,即可得出结论;(2)设BE=xcm,则BF=(8﹣x)cm,由勾股定理得出方程,解方程求出BE,得出BF,即可得出结果;(3)设四边形EFGH面积为S,BE=xcm,则BF=(8﹣x)cm,由勾股定理得出S=x2+(8﹣x)2=2(x﹣4)2+32,S是x的二次函数,容易得出四边形EFGH面积的最小值.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA,∵AE=BF=CG=DH,∴AH=BE=CF=DG,在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中,,∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS),∴EH=FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE,∴四边形EFGH是菱形,∵∠BEF+∠BFE=90°,∴∠BEF+∠AEH=90°,∴∠HEF=90°,∴四边形EFGH是正方形;(2)解:∵四边形EFGH的面积为50cm2,∴EF2=50cm2,设BE=xcm,则BF=(8﹣x)cm,由勾股定理得:BE2+BF2=EF2,即x2+(8﹣x)2=50,解得:x=1,或x=7,即BE=1cm,或BE=7cm,当BE=1cm时,BF=7cm,tan∠FEB==;当BE=7cm时,BF=1cm,tan∠FEB==7;(3)解:设四边形EFGH面积为S,设BE=xcm,则BF=(8﹣x)cm,根据勾股定理得:EF2=BE2+BF2=x2+(8﹣x)2,∴S=x2+(8﹣x)2=2(x﹣4)2+32,∵2>0,∴S有最小值,当x=4时,S的最小值=32,∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2.【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、二次函数的最值等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线证明三角形全等和运用二次函数才能得出结果.23.如图,已知点A、P在反比例函数y=(k<0)的图象上,点B、Q在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,AB⊥x轴,且S△OAB=4,若P、Q两点关于y轴对称,设点P的坐标为(m,n).(1)求点A的坐标和k的值;(2)求的值.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题.【分析】(1)先由点B在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,将y=﹣1代入y=x﹣3,求出x=2,即B(2,﹣1).由AB⊥x轴可设点A的坐标为(2,t),利用S△OAB=4列出方程(﹣1﹣t)×2=4,求出t=﹣5,得到点A的坐标为(2,﹣5);将点A的坐标代入y=,即可求出k的值;(2)根据关于y轴对称的点的坐标特征得到Q(﹣m,n),由点P(m,n)在反比例函数y=﹣的图象上,点Q在直线y=x﹣3的图象上,得出mn=﹣10,m+n=﹣3,再将变形为,代入数据计算即可.【解答】解:(1)∵点B在直线y=x﹣3的图象上,点B的纵坐标为﹣1,∴当y=﹣1时,x﹣3=﹣1,解得x=2,∴B(2,﹣1).设点A的坐标为(2,t),则t<﹣1,AB=﹣1﹣t.∵S△OAB=4,∴(﹣1﹣t)×2=4,解得t=﹣5,∴点A的坐标为(2,﹣5).∵点A在反比例函数y=(k<0)的图象上,∴﹣5=,解得k=﹣10;(2)∵P、Q两点关于y轴对称,点P的坐标为(m,n),∴Q(﹣m,n),∵点P在反比例函数y=﹣的图象上,点Q在直线y=x﹣3的图象上,∴n=﹣,n=﹣m﹣3,∴mn=﹣10,m+n=﹣3,∴====﹣.【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题,反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征,三角形的面积,关于y轴对称的点的坐标特征,代数式求值,求出点A的坐标是解决第(1)小题的关键,根据条件得到mn=﹣10,m+n=﹣3是解决第(2)小题的关键.24.如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦AB于点E,交⊙O于点F,且CE=CB.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)连接AF、BF,求∠ABF的度数;(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径.【考点】切线的判定;相似三角形的判定与性质.【专题】压轴题.【分析】(1)连接OB,由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°,即可证明BC是⊙O的切线;(2)连接OF,AF,BF,首先证明△OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数;(3)过点C作CG⊥BE于G,根据等腰三角形的性质得到EG=BE=5,由两角相等的三角形相似,△ADE∽△CGE,利用相似三角形对应角相等得到sin∠ECG=sinA=,在Rt△ECG中,利用勾股定理求出CG的长,根据三角形相似得到比例式,代入数据即可得到结果.【解答】(1)证明:连接OB,∵OB=OA,CE=CB,∴∠A=∠OBA,∠CEB=∠ABC,又∵CD⊥OA,∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°,∴∠OBA+∠ABC=90°,∴OB⊥BC,∴BC是⊙O的切线;(2)解:如图1,连接OF,AF,BF,∵DA=DO,CD⊥OA,∴AF=OF,∵OA=OF,∴△OAF是等边三角形,∴∠AOF=60°,∴∠ABF=∠AOF=30°;(3)解:如图2,过点C作CG⊥BE于G,∵CE=CB,∴EG=BE=5,∵∠ADE=∠CGE=90°,∠AED=∠GEC,∴∠GCE=∠A,∴△ADE∽△CGE,∴sin∠ECG=sinA=,在Rt△ECG中,∵CG==12,∵CD=15,CE=13,∴DE=2,∵△ADE∽△CGE,∴=,∴AD=,CG=,∴⊙O的半径OA=2AD=.【点评】此题考查了切线的判定,以及相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.25.如图:已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B两点,并与直线y=x﹣2交于B、C两点,其中点C是直线y=x﹣2与y轴交点,连接AC,(1)求抛物线解析式;(2)证明:△ABC为直角三角形;(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A,C,P,B为顶点的四边形面积最大,请求出点P的坐标以及此时以A,C,P,B为顶点的四边形面积.【考点】二次函数综合题.【分析】(1)由直线y=x﹣2交x轴、y轴于点B、C两点可求得点B和点C的坐标,然后将点B和点C的坐标代入抛物线的解析式得到关于a、c的方程组,从而可求得a、c的值;(2)先求得点A和点B的坐标,然后依据勾股定理可求得AC和BC的长,最后依据勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形;(3)设出点P与点D的坐标,可求得PD的长(用含a的式子表示),依据二次函数的性质可知当a=2时,PD的最大值为2,由三角形的面积公式可知DP有最大值时,△BCD的面积最大,由于△ABC的面积为定值,故此时四边形ACPB的面积最大.【解答】解:(1)∵直线y=x﹣2交x轴、y轴于点B、C两点,∴B(4,0),C(0,﹣2),∵y=ax2﹣x+c经过点B,C,∴,解得,∴y=x2﹣x﹣2;(2)∵令x2﹣x﹣2=0,解得:x1=﹣1,x2=4,∴OA=1,OB=4.∴AB=5.∴AC2=OA2+0C2=5,BC2=OC2+OB2=20,AB2=25.∴AC2+BC2=AB2.∴△ABC为直角三角形.(3)如图所示:连接CD、BD,过点P作PE⊥AB,垂足为E,直线EP交抛物线与点D.设直线BC的解析式为y=kx+b.∵将B(4,0),C(0,﹣2)代入得:,解得:k=,b=﹣2,∴直线BC的解析式为y=.设点P(a,),则点D(a,a2﹣a﹣2).∵PD=DE﹣PE=﹣a2+a+2+(﹣2)=﹣a2+2a,∴当a=2时,PD有最大值,PD的最大值=2.∵四边形ACPB的面积=S△ACB+S△CBD=+=×5×2+×4×DP=5+2PD.∴当PD最大时,四边形ACPB的面积.∴当P的坐标为(2,﹣1)时,四边形ACPB的面积的最大值=5+2×2=9.【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面积公式、二次函数的图象和性质,列出四边形PD与a的函数关系式是解题的关键.
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