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泰州市姜堰2016年中考数学模拟试卷含答案详解2016年江苏省泰州市姜堰中考数学模拟试卷（3月份）一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）1．气温由﹣2℃上升3℃后是（）A．﹣5℃ B．1℃ C．5℃ D．3℃2．下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列运算中正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2oa4=a8 C．a6÷a2=a3 D．（a2）3=a64．下列事件：①367人中一定有两个人的生日相同；②抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2；③"彩票中奖的概率是1%"表示买1000张彩票必有10张会中奖；④如果a、b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．6．矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（）A．32 B．16 C．8 D．16+a2二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.）7．函数y=中，自变量x的取值范围是．8．因式分解：x2y﹣9y=．9．南京地铁三号线全长为44830米，将44830用科学记数法表示为．10．函数的图象与直线y=x没有交点，那么k的取值范围是．11．已知x、y满足方程组：，则（x+y）x﹣y的值为．12．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为cm2．（结果保留π）13．二次函数y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+3=0的解为．14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AF=．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共有10小题，共102分）17．（1）计算：（2）解方程组：．18．先化简，再求值：，其中x是不等式组的一个整数解．19．房山某中学改革学生的学习模式，变"老师要学生学习"为"学生自主学习"，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就"最喜欢哪种学习方式"随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中，共调查了名学生；（2）补全两幅统计图；（3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择"小组合作学习"？20．某鞋店有A、B、C、D四款运动鞋，元旦期间搞"买一送一"促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A、C两款的概率．21．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．22．如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为18°，且OA=OB=3m．（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；（2）跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（写出画法，并保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）23．杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．第一批杨梅每件进价多少元？24．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．25．已知直线y=﹣x+6，交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx+n经过A点，且与直线y=﹣x+6交于另一点P．（1）若P与B点重合，求抛物线的解析式；（2）若P在第一象限，过PE⊥x轴于E点，PF⊥y轴于F点，当四边形PEOF面积为5，求抛物线的解析式；（3）若△OAP为等腰三角形，求m的值．26．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．（1）求m的值；（2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形；②求CD的长度；（3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标．2016年江苏省泰州市姜堰中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.）1．气温由﹣2℃上升3℃后是（）A．﹣5℃ B．1℃ C．5℃ D．3℃【考点】有理数的加法．【专题】应用题．【分析】根据有理数的加法，即可解答．【解答】解：﹣2+3=1（℃），故选：B．【点评】本题考查了有理数的加法，解决本题的关键是熟记有理数的加法．2．下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．3．下列运算中正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a2oa4=a8 C．a6÷a2=a3 D．（a2）3=a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方以及同底数幂的乘法的性质，即可求得答案．【解答】解：A、a2+a3不是同类项不能合并，故错误；B、a2oa4=a6，故错误；C、a6÷a2=a4，故错误；D、（a2）3=a6，故正确．故选D．【点评】此题考查了合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方以及同底数幂的乘法的性质．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．4．下列事件：①367人中一定有两个人的生日相同；②抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和大于2；③"彩票中奖的概率是1%"表示买1000张彩票必有10张会中奖；④如果a、b为实数，那么a+b=b+a．其中是必然事件的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】随机事件．【分析】根据一年有365天，则可判断367人中一定有两个人的生日相同；抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和可能为2；买1000张彩票可能有10张会中奖，也可能一张也不中奖；如果a、b为实数，那么a+b=b+a．然后根据随机事件和必然事件的定义即可得到答案．【解答】解：一年有365天，则367人中一定有两个人的生日相同，所以①是必然事件；抛掷两枚质地均匀的骰子，向上一面的点数之和可能为2，所以②是随机事件；彩票中奖的概率是1%，表示中奖的机会为1%，则买1000张彩票可能有10张会中奖，也可能一张也不中奖，所以③是随机事件；如果a、b为实数，则a+b=b+a，所以④是必然事件．故选：B．【点评】本题考查了随机事件：随机事件指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．也考查了必然事件．5．一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的两个实数根分别为x1、x2，则x1+x2的值为（）A． B．﹣ C．﹣ D．【考点】根与系数的关系．【专题】计算题．【分析】直接根据根与系数的关系求解．【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣=．故选D．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．6．矩形ABCD中，AB=4，BC=8，矩形CEFG上的点G在CD边，EF=a，CE=2a，连接BD、BF、DF，则△BDF的面积是（）A．32 B．16 C．8 D．16+a2【考点】矩形的性质．【分析】根据两个矩形面积之和加上三角形DGF面积，减去△ABD面积与△BEF面积，求出△BDF面积即可．【解答】解：根据题意得：△BDF的面积=8×4+2aoa+×2a（4﹣a）﹣×8×4﹣a（2a+8）=32+2a2+4a﹣a2﹣16﹣a2﹣4a=16；故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形面积的计算、整式的混合运算；根据题意得出△BDF面积的计算方法是解决问题的突破口．二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分.）7．函数y=中，自变量x的取值范围是x≠﹣3．【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+3≠0，解得x≠﹣3．故答案为：x≠﹣3．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．8．因式分解：x2y﹣9y=y（x+3）（x﹣3）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题．【分析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．【解答】解：x2y﹣9y，=y（x2﹣9），=y（x+3）（x﹣3）．【点评】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．9．南京地铁三号线全长为44830米，将44830用科学记数法表示为4.483×104．【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将44830用科学记数法表示为4.483×104．故答案为：4.483×104．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．10．函数的图象与直线y=x没有交点，那么k的取值范围是k＞1．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】函数的图象与直线y=x没有交点，根据正比例函数及反比例函数的性质作答即可．【解答】解：直线y=x中，k=1＞0，∴过一、三象限，要使两个函数没交点，那么函数y=的图象必须位于二、四象限，那么1﹣k＜0，∴k＞1．故答案为：k＞1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，难度不大，关键是结合函数图象解答较为简单．11．已知x、y满足方程组：，则（x+y）x﹣y的值为．【考点】解二元一次方程组．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程组两方程相加减求出x+y与x﹣y的值，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：，①+②得：7（x+y）=21，即x+y=3；①﹣②得：﹣3（x﹣y）=3，即x﹣y=﹣1，则原式=，故答案为：【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为60πcm2．（结果保留π）【考点】圆锥的计算．【专题】计算题．【分析】先根据圆锥的底面半径和高求出母线长，圆锥的侧面积是展开后扇形的面积，计算可得．【解答】解：圆锥的母线==10cm，圆锥的底面周长2πr=12πcm，圆锥的侧面积=lR=×12π×10=60πcm2．故答案为60π．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的高和圆锥的底面半径圆锥的母线组成直角三角形，扇形的面积公式为lR．13．二次函数y=ax2﹣2ax+3的图象与x轴有两个交点，其中一个交点坐标为（﹣1，0），则一元二次方程ax2﹣2ax+3=0的解为x1=﹣1，x2=3．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据题意把x=﹣1代入ax2﹣2ax+3=0求出a，得到关于x的一元二次方程，解方程得到答案．【解答】解：根据题意，x=﹣1是ax2﹣2ax+3=0的根，∴a=﹣1，一元二次方程﹣x2+2x3=0的解为：x1=﹣1，x2=3，故答案为：x1=﹣1，x2=3．【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键，方程ax2+bx+c=0的两根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标．14．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AF=2．【考点】正多边形和圆．【分析】作BG⊥AF，垂足为G．构造等腰三角形ABF，在直角三角形ABG中，求出AG的长，即可得出AF．【解答】解：作BG⊥AF，垂足为G．如图所示：∵AB=BF=2，∴AG=FG，∵∠ABF=120°，∴∠BAF=30°，∴AG=ABocos30°=2×=，∴AC=2AG=2；故答案为2．【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出AG是解决问题的关键．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=50°．【考点】圆内接四边形的性质．【分析】连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠BCD=∠ECF，则∠A+∠ECF=180°，根据三角形内角和定理得∠ECF+∠1+∠2=180°，所以∠1+∠2=∠A，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，则∠A+80°+∠A=180°，然后解方程即可．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形内角和定理．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有①③．（填写所有正确结论的序号）【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，得到EF的值是变化的，DE和DF也是变化的，于是四边形CEDF的周长变，不正确，③△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离是1．【解答】解：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．∴①正确；②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，∴EF的值是变化的，∴DE和DF也是变化的，∴四边形CEDF的周长变，∴②不正确，③△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值=2，∵CE=CF=，∴此时点C到线段EF的最大距离=EF=1，∴③正确，故答案为：①③【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，找到EF∥BC时取最小值是解题关键．三、解答题（本大题共有10小题，共102分）17．（1）计算：（2）解方程组：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解二元一次方程组；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】（1）原式第一项利用负整数指数幂法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果；（2）方程组利用加减消元法求出解即可．【解答】解：（1）原式=9+1﹣3=7；（2）①﹣②得：2x=2，即x=1，把x=1代入②得：y=0，则方程组的解为．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．先化简，再求值：，其中x是不等式组的一个整数解．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【分析】先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再把分子分母因式分解，约分后得到原式=﹣x2﹣x+2，然后解不等式组得到整数解，再把满足条件的一个整数代﹣x2﹣x+2进行计算即可．【解答】解：原式=o=o=﹣（x+2）（x﹣1）=﹣x2﹣x+2，解不等式组，由①得x≤2，由②得x＞﹣1，所以不等式组的解集为﹣1＜x≤2，其整数解为0，1，2，由于x不能取1和2，所以当x=0时，原式=﹣0﹣0+2=2．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．也考查了解一元一次不等式组．19．房山某中学改革学生的学习模式，变"老师要学生学习"为"学生自主学习"，培养了学生自主学习的能力．小华与小明同学就"最喜欢哪种学习方式"随机调查了他们周围的一些同学，根据收集到的数据绘制了以下的两个统计图．请根据下面两个不完整的统计图回答以下问题：（1）这次抽样调查中，共调查了500名学生；（2）补全两幅统计图；（3）根据抽样调查的结果，估算该校1000名学生中大约有多少人选择"小组合作学习"？【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据个人自学后老师点拨的人数和所占的百分比求出总人数即可；（2）用小组合作学习的人数除以总人数得出小组合作学习所占的百分比，用总人数减去其他学习方式的人数求出教师传授的人数，再除以总人数，求出教师传授的人数所占的百分比，从而补全统计图；（3）用该校的总人数乘以"小组合作学习"所占的百分比即可得出答案．【解答】解：（1）这次抽样调查中，共调查的学生数是：=500（名）；故答案为：500．（2）小组合作学习所占的百分比是：×100%=30%，教师传授的人数是：500﹣300﹣150=50（人），教师传授所占的百分比是：×100%=10%；补图如下：（3）根据题意得：1000×30%=300（人）．答：该校1000名学生中大约有300人选择"小组合作学习"．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．某鞋店有A、B、C、D四款运动鞋，元旦期间搞"买一送一"促销活动，用树状图或表格求随机选取两款不同的运动鞋，恰好选中A、C两款的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选中A、C两款的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，恰好选中A、C两款的有2种情况，∴恰好选中A、C两款的概率为：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．如图所示的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，B（﹣1，﹣1），C（5，﹣1）（1）把△ABC绕点C按顺时针旋转90°后得到△A1B1C1，请画出这个三角形并写出点B1的坐标；（2）以点A为位似中心放大△ABC，得到△A2B2C2，使放大前后的面积之比为1：4，请在下面网格内出△A2B2C2．【考点】作图-位似变换；作图-旋转变换．【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用位似图形的性质进而得出对应点位置即可得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点B1的坐标为：（5，5）；（2）如图所示：△A2B2C2．【点评】此题主要考查了位似变换和旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．22．如图，跷跷板AB的一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为18°，且OA=OB=3m．（1）求此时另一端A离地面的距离（精确到0.1m）；（2）跷动AB，使端点A碰到地面，请画出点A运动的路线（写出画法，并保留画图痕迹），并求出点A运动路线的长．（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）【考点】解直角三角形的应用；弧长的计算．【分析】（1）过点A作地面的垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，根据正弦函数即可求得；（2）以点O为圆心，OA长为半径画弧，交地面于点D，则就是端点A运动的路线；根据弧长公式即可求得．【解答】解：（1）过点A作地面的垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=18°，∴AC=ABosin∠ABC=6osin18°≈6×0.31≈1.9．答：另一端A离地面的距离约为1.9m．（2）画法：以点O为圆心，OA长为半径画弧，交地面于点D，则就是端点A运动的路线．端点A运动路线的长为=（m）．答：端点A运动路线的长为m．【点评】本题考查了学生利用三角函数解决实际问题的能力以及弧长的计算．这就要求学生把实际问题转化为直角三角形的问题，利用三角函数解决问题．23．杨梅一上市，水果店的老板用1200元购进一批杨梅，很快售完；老板又用2500元购进第二批杨梅，所购件数是第一批的2倍，但进价比第一批每件多了5元．第一批杨梅每件进价多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】设第一批杨梅每件进价是x元，则第二批每件进价是（x+5）元，根据等量关系：第二批杨梅所购件数是第一批的2倍，列方程求解．【解答】解：设第一批杨梅每件进价x元，根据题意得×2=，解得x=120．经检验，x=120是原方程的根．答：第一批杨梅每件进价为120元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验．24．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．【考点】切线的判定．【专题】证明题．【分析】（1）连结OC，如图，由于∠A=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；（2）解：作OH⊥BD于H，如图，根据垂径定理得到BH=DH=BD=，在Rt△OBH中可利用勾股定理计算出OH=2，易得四边形OHEC为矩形，则CE=OH=2，HE=OC=，BE=1，然后证明△FBE∽△FOC，利用相似比可计算出CF．【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=∠BOC，∴OC∥BD，∵CE⊥BD，∴OC⊥CE，∴CF为⊙O的切线；（2）解：作OH⊥BD于H，如图，则BH=DH=BD=，在Rt△OBH中，∵OB=，BH=，∴OH==2，易得四边形OHEC为矩形，∴CE=OH=2，HE=OC=，∴BE=NE﹣BH=1，∵BE∥OC，∴△FBE∽△FOC，∴=，即=，∴CF=．【点评】本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．25．已知直线y=﹣x+6，交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+mx+n经过A点，且与直线y=﹣x+6交于另一点P．（1）若P与B点重合，求抛物线的解析式；（2）若P在第一象限，过PE⊥x轴于E点，PF⊥y轴于F点，当四边形PEOF面积为5，求抛物线的解析式；（3）若△OAP为等腰三角形，求m的值．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）分别令x、y=0，可求出B、A点的坐标，再利用待定系数法即可得出结论；（2）由四边形PEOF面积为5可得出P点的坐标，结合A点的坐标利用待定系数法即可求得结论；（3）设出P点坐标，由两点间的距离公式表示出△OAP的三条边，再分类讨论相邻两边相等得出结论．【解答】解：（1）令x=0，则y=6；令y=0，则﹣x+6=0，解得：x=6．故A点坐标为（6，0），B点坐标为（0，6）．∵P与B点重合，∴有，解得：．故当P与B点重合，抛物线的解析式为y=x2﹣7x+6．（2）结合题意画出图形，如图1所示．∵点P在线段AB上，∴设P点坐标为（a，﹣a+6）（0＜m＜6），则有PE=6﹣m，PF=m．四边形PEOF面积=PEoPF=（6﹣a）×a=5，解得：a=1，或a=5，即点P的坐标为（1，5）或（5，1）．当点P坐标为（1，5）时，有，解得：，此时抛物线的解析式为y=x2﹣8x+12；当点P坐标为（5，1）时，有，解得：，此时抛物线的解析式为y=x2﹣12x+36．综上可知，抛物线的解析式为y=x2﹣8x+12或者y=x2﹣12x+36．（3）设点P的坐标为（b，6﹣b）．∵点O（0，0），点A（6，0），∴OP=，OA=6﹣0=6，PA=．∵△OAP为等腰三角形，∴分三种情况考虑．①当OP=OA时，有=6，解得：b=0，或b=6（舍去），此时P点的坐标为（0，6）．同（1）一样，故m=﹣7；②当OP=PA，即=，解得：b=3，此时P点的坐标为（3，3）．将P（3，3），A（6，0）代入抛物线解析式，得：，解得m=﹣10；③当OA=PA时，有6=，解得：b=6±3，此时P点的坐标为（6+3，﹣3）或（6﹣3，3）．将P（6+3，﹣3），A（6，0）代入抛物线解析式，得：，解得m=﹣3﹣13；将P（6﹣3，3），A（6，0）代入抛物线解析式，得：，解得m=3﹣13．综上可知：当△OAP为等腰三角形，m的值为﹣7，﹣10，﹣3﹣13和3﹣13．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式、长方形的面积公式、两点间的距离公式以及解一元二次方程，解题的关键：（1）利用待定系数法求函数解析式；（2）利用长方形的面积找出P点的坐标；（3）由两点间的距离公式分类讨论相邻两边相等的情况．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（3）难度也不大，单运算过程很繁琐，这就需要极大的耐心一步步运算．26．已知，在平面直角从标系中，A点坐标为（0，4），B点坐标为（2，0），C（m，6）为反比例函数图象上一点．将△AOB绕B点旋转至△A′O′B处．（1）求m的值；（2）若O′落在OC上，连接AA′交OC与D点．①求证：四边形ACA′O′为平行四边形；②求CD的长度；（3）直接写出当AO′最短和最长时A′点的坐标．【考点】反比例函数综合题；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．【专题】综合题．【分析】（1）只需把点C的坐标代入反比例函数的解析式，就可解决问题；（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1，易证AC=OA=O′A′，要证四边形ACA′O′为平行四边形，只需证AC∥O′A′，只需证∠ACO=∠A′O′C即可；②由平行四边形ACA′O′可得CD=CO′，要求CD，只需求CO′，只需求出OC及OO′即可；（3）根据两点之间线段最短可知：当点O′在线段AB上时AO′最短（如图2），当点O′在线段AB的延长线上时AO′最长（如图3）；过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，易证△BNO′∽△BOA，△A′MO′∽△O′NB，然后只需运用相似三角形的性质即可解决问题．【解答】解：（1）∵C（m，6）为反比例函数图象上一点，∴m==2；（2）①过点C作CH⊥y轴与H，如图1．∵点C的坐标为（2，6），∴CH=2，OH=6，∴tan∠COH==，AC==4，∴∠COH=30°，OA=AC，∴∠BOO′=60°，∠ACO=∠AOC=30°．∵BO′=BO，∴∠BO′O=∠BOO′=60°．∵∠A′O′B=∠AOB=90°，∴∠CO′A′=30°，∴∠ACO=∠CO′A′，∴AC∥O′A′．又∵O′A′=OA=AC，∴四边形ACA′O′为平行四边形；②∵BO′=BO，∠BOO′=60°，∴△BOB′是等边三角形，∴OO′=OB=2．∵∠CHO=90°，CH=2，OH=6，∴OC=4，∴CO′=OC﹣OO′=4﹣2．∵四边形ACA′O′为平行四边形，∴CD=O′D=CO′=2﹣1；（3）当AO′最短时A′点的坐标（2+，），当AO′最长时A′点的坐标（2﹣，﹣）．提示：①当点O′在线段AB上时，AO′最短，过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图2．∵O′N∥OA，∴△BNO′∽△BOA，∴==，∴==，∴BN=，O′N=．∵∠A′MO′=∠A′O′B=∠O′NB=90°，∴∠MA′O′=∠NO′B，∴△A′MO′∽△O′NB，∴==2，∴A′M=，O′M=，∴A′（2﹣+，+）即（2+，）；②当点O′在线段AB延长线上时，AO′最长，过点O′作O′N⊥x轴于N，过点A′作A′M⊥O′N于M，如图3．同理可得：A′（2﹣，﹣）．【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、旋转的性质、相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用平行四边形的对角线互相平分是解决第（2）②小题的关键，构造K型相似是解决第（3）小题的关键．