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杭州市高桥中学2016年中考数学第二次模拟试卷含答案详解2016年浙江省杭州市高桥中学中考数学二模试卷一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．下列运算正确的是（）A．=±3 B．=2C．（x+2y）2=x2+2xy+4y2 D．﹣=2．今年要实现大病保险全覆盖，中央财政安排城乡医疗救助补助资金160亿元，160亿元这一数据用科学记数法表示为（）A．16×109元 B．1.6×1010元 C．0.16×1011元 D．1.6×109元3．如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是（）A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．三棱柱4．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论正确的是（）①常数m＜1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④5．一项"过关游戏"规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（）A． B． C． D．6．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣67．甲队修路150m与乙队修路120m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m，设甲队每天修路xm．依题意，下面所列方程正确的是（）A．= B．= C．= D．=8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则sin∠ECB为（）A． B． C． D．9．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．10．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0C．x1＜x0＜x2 D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：﹣x2y+6y2x﹣9y3=．12．如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°40′，则∠B的度数为．13．随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时） 5 6 7 8人数 4 15 15 16则这50名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为，平均数为．14．要制作一个母线长为6cm，底面圆周长是6πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是．15．二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为．16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（4，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=45°．线段CD的长的最小值为．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．一只不透明的袋子中装有"G20，峰，会"3个球，这些球除标注外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，不放回，搅匀后再从中任意摸出1个球，不放回，再从中摸出最后1个球．（1）请画树状图分析两次摸球情况．（2）小明和小亮玩这个摸球游戏，小明摸到三个球的顺序依次为"G20、峰、会"，或"峰、会、G20"，小明胜，否则小亮胜．请判断该游戏对双方是否公平？说明理由．18．如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．求证：AB=CF+BD．19．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．20．某校开展了"我最喜爱的老师"评选活动．确定如下评选方案：有学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．学生投票结果统计表候选教师 丁老师 俞老师 李老师 陈老师得票数  200  300（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答案卷相对应的图上）（2）丁老师与李老师得到的学生总票数是600，且丁老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多40票，求丁老师与李老师得到的学生票数分别是多少？（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老师？为什么？21．如图，△ABC中，∠ABC=90°．（1）请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，切点为Q；（尺规作图，保留作图痕迹）（2）若AB=3，BC=4，求第（1）题中所作圆的半径；（3）连结BQ，第（2）中的条件均不变，求sin∠CBQ．22．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．2016年浙江省杭州市高桥中学中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、仔细选一选（本题有10小题，每题3分，共30分）下面每一小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．1．下列运算正确的是（）A．=±3 B．=2C．（x+2y）2=x2+2xy+4y2 D．﹣=【考点】实数的运算；完全平方公式．【专题】计算题；实数．【分析】原式各项化简得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=3，错误；B、原式为最简结果，错误；C、原式=x2+4xy+4y2，错误；D、原式=3﹣2=，正确，故选D【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．今年要实现大病保险全覆盖，中央财政安排城乡医疗救助补助资金160亿元，160亿元这一数据用科学记数法表示为（）A．16×109元 B．1.6×1010元 C．0.16×1011元 D．1.6×109元【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：16000000000=1.6×1010，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．如图，四个几何体分别为长方体、圆柱体、球体和三棱柱，这四个几何体中有三个的某一种视图都是同一种几何图形，则另一个几何体是（）A．长方体 B．圆柱体 C．球体 D．三棱柱【考点】简单几何体的三视图．【专题】常规题型．【分析】几何体可分为柱体，锥体，球体三类，按分类比较即可．【解答】解：长方体、圆柱体、三棱体为柱体，它们的主视图都是矩形；球的三种视图都是圆形．故选：C．【点评】本题考查几何体的分类和三视图的概念．4．反比例函数y=的图象如图所示，以下结论正确的是（）①常数m＜1；②y随x的增大而减小；③若A为x轴上一点，B为反比例函数上一点，则S△ABC=；④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上．A．①②③ B．①③④ C．①②③④ D．①④【考点】反比例函数的性质．【专题】探究型．【分析】根据函数的图象可知反比例函数y=的图象在一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，函数的图象关于原点对称，从而可以判断题目中的结论正确与否．【解答】解：由图象可知，反比例函数y=在一、三象限，则1﹣m＞0，得m＜1，故①正确；由图象可知，反比例函数y=在每个象限内y随x的增大而减小，故②错误；设点A的坐标为（a，0）点B的坐标为（b，），则=，故③错误；因为反比例函数的图象关于原点对称，故若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上，故④正确；由上可得，结论正确的是①④，故选D．【点评】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质可以解答具体的问题．5．一项"过关游戏"规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是（）A． B． C． D．【考点】列表法与树状图法．【专题】计算题．【分析】利用树状展示抛掷2次的所有36种等可能的结果数，然后找出2次抛掷所出现的点数之和大于22的结果数，再根据概率公式计算出能过第二关的概率．【解答】解：当n=2时，将一颗质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数）抛掷2次，画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中2次抛掷所出现的点数之和大于22的结果数为30，所以能过第二关的概率==．故选A．【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．6．已知实数x，y，m满足，且y为负数，则m的取值范围是（）A．m＞6 B．m＜6 C．m＞﹣6 D．m＜﹣6【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：绝对值；解二元一次方程组；解一元一次不等式．【分析】根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，然后根据y是负数即可得到一个关于m的不等式，从而求得m的范围．【解答】解：根据题意得：，解得：，则6﹣m＜0，解得：m＞6．故选：A．【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．7．甲队修路150m与乙队修路120m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m，设甲队每天修路xm．依题意，下面所列方程正确的是（）A．= B．= C．= D．=【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设甲队每天修路xm，则乙队每天修（x﹣10）米，再根据关键语句"甲队修路150m与乙队修路120m所用天数相同"可得方程=．【解答】解：设甲队每天修路xm，则乙队每天修（x﹣10）米，由题意得=．故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．8．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则sin∠ECB为（）A． B． C． D．【考点】垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．【分析】根据垂径定理得到AC=BC=AB=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x2=42+（x﹣2）2，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE，由三角函数的定义求出sin∠ECB即可．【解答】解：连结BE，如图，∵OD⊥AB，∴AC=BC=AB=×8=4，设AO=x，则OC=OD﹣CD=x﹣2，在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，∴x2=42+（x﹣2）2，解得：x=5，∴AE=10，OC=3，∵AE是直径，∴∠ABE=90°，∵OC是△ABE的中位线，∴BE=2OC=6，在Rt△CBE中，CE===2，∴sin∠ECB===．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理、三角函数；由勾股定理求出半径是解决问题的突破口．9．如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象；多边形内角与外角；切线的性质；切线长定理；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义．【专题】计算题；压轴题．【分析】连接OB、OC、OA，求出∠BOC的度数，求出AB、AC的长，求出四边形OBAC和扇形OBC的面积，即可求出答案．【解答】解：连接OB、OC、OA，∵圆O切AM于B，切AN于C，∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°，∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠CAO=α，AB=AC=，∴阴影部分的面积是：S四边形BACO﹣S扇形OBC=2×××r﹣=（﹣）r2，∵r＞0，∴S与r之间是二次函数关系．故选C．【点评】本题主要考查对切线的性质，切线长定理，三角形和扇形的面积，锐角三角函数的定义，四边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用性质进行计算是解此题的关键．10．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a＞0 B．b2﹣4ac≥0C．x1＜x0＜x2 D．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】根据抛物线与x轴有两个不同的交点，根的判别式△＞0，再分a＞0和a＜0两种情况对C、D选项讨论即可得解．【解答】解：A、二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点无法确定a的正负情况，故本选项错误；B、∵x1＜x2，∴△=b2﹣4ac＞0，故本选项错误；C、若a＞0，则x1＜x0＜x2，若a＜0，则x0＜x1＜x2或x1＜x2＜x0，故本选项错误；D、若a＞0，则x0﹣x1＞0，x0﹣x2＜0，所以，（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，若a＜0，则（x0﹣x1）与（x0﹣x2）同号，∴a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0，综上所述，a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0正确，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数图象以及图象上点的坐标特征是解题的关键，C、D选项要注意分情况讨论．二、认真填一填（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．分解因式：﹣x2y+6y2x﹣9y3=﹣y（x﹣3y）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=﹣y（x2﹣6xy+9y2）=﹣y（x﹣3y）2．故答案为：﹣y（x﹣3y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．12．如图△ABC中，∠A=90°，点D在AC边上，DE∥BC，若∠1=155°40′，则∠B的度数为65°40′．【考点】平行线的性质；度分秒的换算；直角三角形的性质．【分析】先根据补角的定义求出∠CDE的度数，再由平行线的性质求出∠C的度数，根据直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠1=155°40′，∴∠CDE=180°﹣155°40′=24°20′．∵DE∥BC，∴∠C=∠CDE=24°20′．∵∠C=90°，∴∠B=90°﹣24°20′=65°40′．故答案为：65°40′．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．13．随着体育中考的临近，我校随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：时间（小时） 5 6 7 8人数 4 15 15 16则这50名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为8，平均数为6.86小时．【考点】众数；加权平均数．【分析】根据众数的意义与表格直接判断即可；根据加权平均数的计算公式列出算式（5×4+6×15+7×15+8×16）÷50，再进行计算即可求解．【解答】解：这50名学生这一周在校的体育锻炼时间的众数为8；平均数为（5×4+6×15+7×15+8×16）÷50=6.86（小时）．故答案为：8，6.86小时．【点评】此题考查了众数的意义，加权平均数，掌握众数的求法与加权平均数的计算公式是解题的关键．14．要制作一个母线长为6cm，底面圆周长是6πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是18πcm2．【考点】圆锥的计算．【分析】圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．【解答】解：圆锥形小漏斗的侧面积=×6π×8=18πcm2．故答案为：18πcm2．【点评】本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积=×底面周长×母线长，解题的关键是牢记公式，难度不大．15．二次函数y=（x﹣1）2+1，当2≤y＜5时，相应x的取值范围为﹣1＜x≤0或2≤x＜3．【考点】二次函数的性质．【分析】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x的取值范围．【解答】解：当y=2时，（x﹣1）2+1=2，解得x=0或x=2，当y=5时，（x﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1，又抛物线对称轴为x=1，∴﹣1＜x≤0或2≤x＜3．故答案为：﹣1＜x≤0或2≤x＜3．【点评】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x的值，再结合图象确定x的取值范围．16．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，A、B、C三点的坐标分别为A（2，0），B（4，0），C（0，5），点D在第一象限内，且∠ADB=45°．线段CD的长的最小值为5﹣．【考点】点与圆的位置关系；等腰直角三角形；圆周角定理．【分析】设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，求出半径和PC的长度，判出点D只有在CP上时CD最短，CD=CP﹣DP求解即可．【解答】解：如图，设圆心为P，连结PA、PB、PC，PE⊥AB于E，∵A（2，0）、B（4，0），∴E（3，0）又∠ADB=45°，∴∠APB=90°（圆心角所对的角等于圆周角的二倍），∴PE=1，PA=PE=，∴P（3，），∵C（0，5），∴PC==5，又∵PD=PA=，∴只有点D在线段PC上时，CD最短（点D在别的位置时构成△CDP）∴CD最小值为：5﹣．故答案为：5﹣2．【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，圆周角定理及勾股定理，解决本题的关键是判出点D只有在CP上时CD最短．三、全面答一答（本题有7小题，共66分）解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤．17．一只不透明的袋子中装有"G20，峰，会"3个球，这些球除标注外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，不放回，搅匀后再从中任意摸出1个球，不放回，再从中摸出最后1个球．（1）请画树状图分析两次摸球情况．（2）小明和小亮玩这个摸球游戏，小明摸到三个球的顺序依次为"G20、峰、会"，或"峰、会、G20"，小明胜，否则小亮胜．请判断该游戏对双方是否公平？说明理由．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．（2）游戏是否公平，求出游戏双方获胜的概率，比较是否相等即可．【解答】解：（1）画树形图如下：（2）由（1）可知：P（小明胜）=，P（小亮胜）=，所以不公平．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．如图，D是△ABC的边AB上一点，E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．求证：AB=CF+BD．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据平行线性质得出∠ADE=∠F，∠ECF=∠A，求出AE=EC，根据AAS证△ADE≌△CFE，根据全等三角形的性质推出AD=CF，即可解答．【解答】解：∵E是AC的中点，∴AE=CE．∵CF∥AB，∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，在△ADE与△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS）．∴AD=CF．∴AD+BD=CF+BD=AB．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．19．一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始的3分内只进水不出水，在随后的9分内既进水又出水，每分的进水量和出水量都是常数．容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的关系如图所示．当容器内的水量大于5升时，求时间x的取值范围．【考点】一次函数的应用．【分析】分别求出0≤x＜3和3≤x≤12时的函数解析式，再求出y=5时的x的值，然后根据函数图象写出x的取值范围即可．【解答】解：①0≤x＜3时，设y=mx，则3m=15，解得m=5，所以，y=5x，②3≤x≤12时，设y=kx+b，∵函数图象经过点（3，15），（12，0），∴，解得，所以，y=﹣x+20，当y=5时，由5x=5得，x=1，由﹣x+20=5得，x=9，所以，当容器内的水量大于5升时，时间x的取值范围是1＜x＜9．【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，以及已知函数值求自变量的方法．20．某校开展了"我最喜爱的老师"评选活动．确定如下评选方案：有学生和教师代表对4名候选教师进行投票，每票选1名候选教师，每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总票数．以下是根据学生和教师代表投票结果绘制的统计表和条形统计图（不完整）．学生投票结果统计表候选教师 丁老师 俞老师 李老师 陈老师得票数 460 200 140 300（1）若共有25位教师代表参加投票，则李老师得到的教师票数是多少？请补全条形统计图．（画在答案卷相对应的图上）（2）丁老师与李老师得到的学生总票数是600，且丁老师得到的学生票数是李老师得到的学生票数的3倍多40票，求丁老师与李老师得到的学生票数分别是多少？（3）在（1）、（2）的条件下，若总得票数较高的2名教师推选到市参评，你认为推选到市里的是两位老师？为什么？【考点】二元一次方程组的应用；条形统计图．【分析】（1）根据条形统计图，用25分别减去王老师、赵老师和陈老师的得到的教师票数即可；（2）设丁老师得到的学生票数是x，李老师得到的学生票数是y，根据题意得方程组，然后解方程组即可；（3）利用每位候选教师得到的教师票数的5倍与学生票数的和作为该教师的总得票数分别计算出王老师和李老师的总得票数，然后比较大小即可进行判断．【解答】解：（1）李老师得到的教师票数是：25﹣（7+6+8）=4，如图所示：（2）设丁老师得到的学生票数是x，李老师得到的学生票数是y，由题意得出：，解得；答：丁老师得到的学生票数是460，李老师得到的学生票数是140；（3）总得票数情况如下：丁老师：460+5×7=495，俞老师：200+5×6=230，李老师：140+5×4=160，陈老师：300+5×8=340，推选到市里的是丁老师和陈老师．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及条形统计图的知识，解答本题的关键是掌握条形统计图是用线段长度表示数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来．从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．21．如图，△ABC中，∠ABC=90°．（1）请在BC上找一点P，作⊙P与AC，AB都相切，切点为Q；（尺规作图，保留作图痕迹）（2）若AB=3，BC=4，求第（1）题中所作圆的半径；（3）连结BQ，第（2）中的条件均不变，求sin∠CBQ．【考点】作图-复杂作图；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】作图题．【分析】（1）作∠BAC的平分线交BC于P点，然后以点P为圆心，PB为半径作圆即可；（2）连结PQ，如图，先计算出AC=5，设半径为r，BP=PQ=r，PC=4﹣r，再证明Rt△CPQ∽Rt△CAB，则可利用相似比计算出r即可；（3）先利用切线长定理得到AB=AQ，加上PB=PQ，则判定AP为BQ的垂直平分线，则利用等角的余角相等得到∠CBQ=∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦定义求出sin∠BAP，从而可得到sin∠CBQ的值．【解答】解：（1）如图，⊙P为所作；（2）连结PQ，如图，在Rt△ABC中，AC==5，设半径为r，BP=PQ=r，PC=4﹣r∵AB与⊙P相切于Q，∴PQ⊥AC，∵∠PCQ=∠ACP，∴Rt△CPQ∽Rt△CAB，∴=，即=，解得r=，即所作圆的半径为；（3）∵AB、AQ为⊙P的切线，∴AB=AQ，∵PB=PQ，∴AP为BQ的垂直平分线，∴∠BAP+∠ABQ=90°，∵∠CBQ+∠ABQ=90°，∴∠CBQ=∠BAP，在Rt△ABP中，AP==，∴sin∠BAP===，∴sin∠CBQ=．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质和三角函数的定义．22．已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），顶点为B，且抛物线不经过第三象限．（1）使用a、c表示b；（2）判断点B所在象限，并说明理由；（3）若直线y2=2x+m经过点B，且与该抛物线交于另一点C（），求当x≥1时y1的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）抛物线经过A（1，0），把点代入函数即可得到b=﹣a﹣c；（2）判断点在哪个象限，需要根据题意画图，由条件：图象不经过第三象限就可以推出开口向上，a＞0，只需要知道抛物线与x轴有几个交点即可解决，判断与x轴有两个交点，一个可以考虑△，由△就可以判断出与x轴有两个交点，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由两个不同的解，进而得出点B所在象限；（3）当x≥1时，y1的取值范围，只要把图象画出来就清晰了，难点在于要观察出是抛物线与x轴的另一个交点，理由是，由这里可以发现，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，还可以发现C在A的右侧；可以确定直线经过B、C两点，看图象可以得到，x≥1时，y1大于等于最小值，此时算出二次函数最小值即可，即求出即可，已经知道b=﹣8，a+c=8，算出a，c即可，即可得出y1的取值范围．【解答】解：（1）∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c），经过A（1，0），把点代入函数即可得到：b=﹣a﹣c；（2）B在第四象限．理由如下：∵抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0，a≠c）过点A（1，0），∵x1ox2=，∴，所以抛物线与x轴有两个交点，又∵抛物线不经过第三象限，∴a＞0，且顶点在第四象限；（3）∵，且在抛物线上，当b+8=0时，解得b=﹣8，∵a+c=﹣b，∴a+c=8，把B（﹣，）、C（，b+8）两点代入直线解析式得：，解得：或（a≠c，舍去）如图所示，C在A的右侧，∴当x≥1时，．【点评】此题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点问题等知识，根据数形结合得出是解题关键．23．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，且AC=80，BD=60．动点M、N分别以每秒1个单位的速度从点A、D同时出发，分别沿A→O→D和D→A运动，当点N到达点A时，M、N同时停止运动．设运动时间为t秒．（1）求菱形ABCD的周长；（2）记△DMN的面积为S，求S关于t的解析式，并求S的最大值；（3）当t=30秒时，在线段OD的垂直平分线上是否存在点P，使得∠DPO=∠DON？若存在，这样的点P有几个？并求出点P到线段OD的距离；若不存在，请说明理由．【考点】相似形综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）根据勾股定理及菱形的性质，求出菱形的周长；（2）在动点M、N运动过程中：①当0＜t≤40时，如答图1所示，②当40＜t≤50时，如答图2所示．分别求出S的关系式，然后利用二次函数的性质求出最大值；（3）如答图3所示，在Rt△PKD中，DK长可求出，则只有求出tan∠DPK即可．为此，在△ODM中，作辅助线，构造Rt△OND，作∠NOD平分线OG，则∠GOF=∠DPK．在Rt△OGF中，求出tan∠GOF的值，从而问题解决．解答中提供另外一种解法，请参考．【解答】解：（1）在菱形ABCD中，∵AC⊥BD∴AD==50．∴菱形ABCD的周长为200．（2）过点M作MP⊥AD，垂足为点P．①当0＜t≤40时，如答图1，∵sin∠OAD===，∴MP=AMosin∠OAD=t．S=DNoMP=×t×t=t2；②当40＜t≤50时，如答图2，MD=70﹣t，∵sin∠ADO===，∴MP=（70﹣t）．∴S△DMN=DNoMP=×t×（70﹣t）=t2+28t=（t﹣35）2+490．∴S=当0＜t≤40时，S随t的增大而增大，当t=40时，最大值为480．当40＜t≤50时，S随t的增大而减小，当t=40时，最大值为480．综上所述，S的最大值为480．（3）存在2个点P，使得∠DPO=∠DON．方法一：如答图3所示，过点N作NF⊥OD于点F，则NF=NDosin∠ODA=30×=24，DF=NDocos∠ODA=30×=18．∴OF=12，∴tan∠NOD===2．作∠NOD的平分线交NF于点G，过点G作GH⊥ON于点H，则FG=GH．∴S△ONF=OFoNF=S△OGF+S△OGN=OFoFG+ONoGH=（OF+ON）oFG．∴FG===，∴tan∠GOF===．设OD中垂线与OD的交点为K，由对称性可知：∠DPK=∠DPO=∠DON=∠FOG∴tan∠DPK===，∴PK=．根据菱形的对称性可知，在线段OD的下方存在与点P关于OD轴对称的点P′．∴存在两个点P到OD的距离都是．方法二：答图4所示，作ON的垂直平分线，交OD的垂直平分线EF于点I，连结OI，IN．过点N作NG⊥OD，NH⊥EF，垂足分别为G，H．当t=30时，DN=OD=30，易知△DNG∽△DAO，∴，即．∴NG=24，DG=18．∵EF垂直平分OD，∴OE=ED=15，EG=NH=3．设OI=R，EI=x，则在Rt△OEI中，有R2=152+x2①在Rt△NIH中，有R2=32+（24﹣x）2②由①、②可得：∴PE=PI+IE=．根据对称性可得，在BD下方还存在一个点P′也满足条件．∴存在两个点P，到OD的距离都是．（注：只求出一个点P并计算正确的扣．）【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、菱形、等腰三角形、中垂线、勾股定理、解直角三角形、二次函数极值等知识点，涉及考点较多，有一定的难度．第（2）问中，动点M在线段AO和OD上运动时，是两种不同的情形，需要分类讨论；第（3）问中，满足条件的点有2个，注意不要漏解．