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免费山东省济南市历城区中考数学一模试卷含答案解析中考数学试题试卷网2016年山东省济南市历城区中考数学一模试卷一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．6÷（﹣3）的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣182．如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A．120° B．130° C．140° D．40°3．2015年济南生产总值（GDP）达6280亿元，在全国排第21名，在山东排第3名．6280用科学记数法表示为（）A．62.8×102 B．6.28×103 C．0.628×104 D．6.28×1024．下列事件为不可能事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．掷一次骰子，向上的一面是5点C．找到一个三角形，其内角和为360°D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯5．下列计算正确的是（）A．a2oa3=a6 B．a6÷a3=a2 C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2a2）3=﹣8a66．图中所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．7．化简（2x﹣3y）﹣3（4x﹣2y）结果为（）A．﹣10x﹣3y B．﹣10x+3y C．10x﹣9y D．10x+9y8．商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如表：领口尺寸（单位：cm） 38 39 40 41 42件数 1 5 3 3 2则这14件衬衫领口尺寸的众数与中位数分别是（）A．39cm、39cm B．39cm、39.5cm C．39cm、40cm D．40cm、40cm9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1） B．（2，3） C．（4，1） D．（0，2）10．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A． B． C． D．11．已知一次函数y=kx+b的图象（如图），当x＜0时，y的取值范围是（）A．y＞0 B．y＜0 C．﹣2＜y＜0 D．y＜﹣212．如图，点O是△ABC的内心，∠A=62°，则∠BOC=（）A．59° B．31° C．124° D．121°13．直线y=﹣x﹣1与反比例函数（x＜0）的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣814．如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB于点D，已知AB=10，AD=2，则AC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．815．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）16．分解因式：a2﹣2a+1=．17．化简：=．18．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．19．如图，在?ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AB=12，BC=5，则四边形BDFG的周长为．21．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为6，则cos∠BOE=．三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22．解方程组：（2）解方程：=．23．如图1，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．（2）如图2，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，求AD的长．24．（8分）我县实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调査了名同学，其中C类女生有名，D类男生有名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行"一帮一"互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．25．（8分）某学校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球如图，点A（3，2）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上．（1）求k的值，并求当m=4时，直线AM的解析式；（2）过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM交x轴于点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形；（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能否为菱形？若能，请求出m的值；若不是，请说明理由．27．（9分）已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1：：3，求∠AED的度数；（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．28．（9分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴负半轴交于点C．（1）若△ABD为等腰直角三角形，求此时抛物线的解析式；（2）a为何值时△ABC为等腰三角形？（3）在（1）的条件下，抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点（点M在点N的左侧），动点P从M点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点N，若使点P运动的总路径最短，求点P运动的总路径的长．2016年山东省济南市历城区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分）1．6÷（﹣3）的值是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣18【考点】有理数的除法．【分析】根据有理数的除法，即可解答．【解答】解：6÷（﹣3）=﹣2，故选：A．【点评】本题考查了有理数的除法，解决本题的关键是熟记有理数的除法法则．2．如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于（）A．120° B．130° C．140° D．40°【考点】平行线的判定与性质．【分析】首先根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，再根据平行线的性质可得∠3=∠5，再根据邻补角互补可得∠4的度数．【解答】解：∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠3=∠5，∵∠3=40°，∴∠5=40°，∴∠4=180°﹣40°=140°，故选：C．【点评】此题主要考查了平行线的性质与判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．3．2015年济南生产总值（GDP）达6280亿元，在全国排第21名，在山东排第3名．6280用科学记数法表示为（）A．62.8×102 B．6.28×103 C．0.628×104 D．6.28×102【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：6280=6.28×103，故选：B．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．下列事件为不可能事件的是（）A．某射击运动员射击一次，命中靶心B．掷一次骰子，向上的一面是5点C．找到一个三角形，其内角和为360°D．经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯【考点】随机事件．【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．依据定义即可解答．【解答】解：A、某射击运动员射击一次，命中靶心可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；B、掷一次骰子，向上的一面是5点可能发生，也可能不发生，属于随机事件，不符合题意；C、在找到一个三角形，其内角和为360°，是不可能发生的事件，符合题意；D、经过城市中某一有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，不符合题意．故选C．【点评】本题主要考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念．关键是理解不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．5．下列计算正确的是（）A．a2oa3=a6 B．a6÷a3=a2 C．4x2﹣3x2=1 D．（﹣2a2）3=﹣8a6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果，然后进行对照，即可得到哪个选项是正确的．【解答】解：∵a2oa3=a5，故选项A错误；∵a6÷a3=a3，故选项B错误；∵4x2﹣3x2=x2，故选项C错误；∵（﹣2a2）3=﹣8a6，故选项D正确；故选D．【点评】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方，解题的关键是明确它们各自的计算方法．6．图中所示的几何体的左视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【解答】解：从左边看第一层是一个小正方形，第二层是一个小正方形，故选：A．【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．7．化简（2x﹣3y）﹣3（4x﹣2y）结果为（）A．﹣10x﹣3y B．﹣10x+3y C．10x﹣9y D．10x+9y【考点】整式的加减．【分析】先按照去括号法则去掉整式中的小括号，再合并整式中的同类项即可．【解答】解：（2x﹣3y）﹣3（4x﹣2y）=2x﹣3y﹣12x+6y=﹣10x+3y．故选B．【点评】本题考查了整式的加减、去括号法则两个考点．解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．8．商店某天销售了14件衬衫，其领口尺寸统计如表：领口尺寸（单位：cm） 38 39 40 41 42件数 1 5 3 3 2则这14件衬衫领口尺寸的众数与中位数分别是（）A．39cm、39cm B．39cm、39.5cm C．39cm、40cm D．40cm、40cm【考点】众数；中位数．【分析】根据中位数的定义与众数的定义，结合图表信息解答．【解答】解：同一尺寸最多的是39cm，共有5件，所以，众数是39cm，14件衬衫按照尺寸从小到大排列，第7，8件的尺寸是40cm，所以中位数是40cm．故选C【点评】本题考查了中位数与众数，确定中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数，中位数有时不一定是这组数据的数；众数是出现次数最多的数据，众数有时不止一个．9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，1）．将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，则点B′的坐标为（）A．（2，1） B．（2，3） C．（4，1） D．（0，2）【考点】翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质．【分析】根据关于y轴对称的点的特点找到B'，结合直角坐标系可得出点B′的坐标．【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折得到△A′B′C′，∴点B与点B′关于y轴对称，∴B′（2，3），故选B．【点评】本题考查了翻折变换﹣折叠问题，坐标与图形的关系，熟记关于y轴对称的点的特点是解答本题的关键．10．把不等式组的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A． B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集．【分析】求得不等式组的解集为﹣1＜x≤1，所以B是正确的．【解答】解：由第一个不等式得：x＞﹣1；由x+2≤3得：x≤1．∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1．故选B．【点评】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时"≥"，"≤"要用实心圆点表示；"＜"，"＞"要用空心圆点表示．11．已知一次函数y=kx+b的图象（如图），当x＜0时，y的取值范围是（）A．y＞0 B．y＜0 C．﹣2＜y＜0 D．y＜﹣2【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】从图象上得到函数的增减性及与x轴的交点的横坐标，即能求得当x＜0时，y的取值范围．【解答】解：一次函数y=kx+b的图象经过点（0，﹣2），且函数值y随x的增大而增大，∴当x＜0时，y的取值范围是y＜﹣2．故选D．【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．12．如图，点O是△ABC的内心，∠A=62°，则∠BOC=（）A．59° B．31° C．124° D．121°【考点】三角形的内切圆与内心．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC，求出∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠BAC=62°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣62°=118°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×118°=59°，∴∠BOC=180°﹣59°=121°．故选D．【点评】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的内切圆与内心的应用，关键是求出∠OBC+∠OCB的度数，题目比较典型，难度适中．13．直线y=﹣x﹣1与反比例函数（x＜0）的图象交于点A，与x轴相交于点B，过点B作x轴垂线交双曲线于点C，若AB=AC，则k的值为（）A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】过A作AD⊥BC于D，先求出直线=﹣x﹣1与x轴交点B的坐标（﹣2，0），则得到C点的横坐标为﹣2，由于C点在反比例函数y=的图象上，可表示出C点坐标为（﹣2，﹣），利用等腰三角形的性质，由AC=AB，AD⊥BC，得到DC=DB，于是D点坐标为（﹣2，﹣），则可得到A点的纵坐标为﹣，利用点A在函数y=的图象上，可表示出点A的坐标为（﹣4，﹣），然后把A（﹣4，﹣）代入y=﹣x﹣1得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．【解答】解：过A作AD⊥BC于D，如图，对于y=﹣x﹣1，令y=0，则﹣x﹣1=0，解得x=﹣2，∴B点坐标为（﹣2，0），∵CB⊥x轴，∴C点的横坐标为﹣2，对于y=，令x=﹣2，则y=﹣，∴C点坐标为（﹣2，﹣），∵AC=AB，AD⊥BC，∴DC=DB，∴D点坐标为（﹣2，﹣），∴A点的纵坐标为﹣，而点A在函数y=的图象上，把y=﹣代入y=得x=﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，﹣），把A（﹣4，﹣）代入y=﹣x﹣1得﹣=﹣×（﹣4）﹣1，∴k=﹣4．故选B．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两个函数的解析式．也考查了与x轴垂直的直线上所有点的横坐标相同以及等腰三角形的性质．14．如图，△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB于点D，已知AB=10，AD=2，则AC的长为（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等腰三角形的判定与性质．【分析】作∠A的平分线，利用角平分线的性质可知：AF=AD，DE=EF，利用相似三角形的性质可知：CD=4ED，设EF=a，利用相似三角形的性质求出a的值．【解答】解：作∠A的平分线交CD于点E，过点E作EF⊥AC于点F，∴∠BAC=2∠DAE，∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠B，∴△ADE∽△BDC，∴，∴CD=4ED，∵AE平分∠DAC，ED⊥AB，EF⊥AC，∴AD=AF=2，DE=EF，设DE=a，∴CD=4a，EF=a，∴CE=3a，∴由勾股定理可求得：CF=2a，∵△CEF∽△CAD，∴，∴，∴a=，∴CF=4，∴AC=6，故选（B）【点评】本题考查角平分线的性质，涉及相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高．15．如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．4【考点】二次函数的最值；等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【分析】过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，则BF+CM是这两个二次函数的最大值之和，BF∥DE∥CM，求出AE=OE=2，DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，推出△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，得出=，=，代入求出BF和CM，相加即可求出答案．【解答】解：过B作BF⊥OA于F，过D作DE⊥OA于E，过C作CM⊥OA于M，∵BF⊥OA，DE⊥OA，CM⊥OA，∴BF∥DE∥CM，∵OD=AD=3，DE⊥OA，∴OE=EA=OA=2，由勾股定理得：DE=，设P（2x，0），根据二次函数的对称性得出OF=PF=x，∵BF∥DE∥CM，∴△OBF∽△ODE，△ACM∽△ADE，∴=，=，∵AM=PM=（OA﹣OP）=（4﹣2x）=2﹣x，即=，=，解得：BF=x，CM=﹣x，∴BF+CM=．故选A．【点评】本题考查了二次函数的最值，勾股定理，等腰三角形性质，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质和定理进行推理和计算的能力，题目比较好，但是有一定的难度．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）16．分解因式：a2﹣2a+1=（a﹣1）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】观察原式发现，此三项符合差的完全平方公式a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2，即可把原式化为积的形式．【解答】解：a2﹣2a+1=a2﹣2×1×a+12=（a﹣1）2．故答案为：（a﹣1）2．【点评】本题考查了完全平方公式分解因式，熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键．17．化简：=x+1．【考点】分式的加减法．【分析】本题考查了分式的加减运算．解决本题主要是因式分解，然后化简．【解答】解：原式=．故答案为x+1．【点评】此题的关键是运用平方差公式进行因式分解．分解后再化简，即x2﹣1=（x+1）（x﹣1）．18．如图所示，小区公园里有一块圆形地面被黑白石子铺成了面积相等的八部分，阴影部分是黑色石子，小华随意向其内部抛一个小球，则小球落在黑色石子区域内的概率是．【考点】几何概率．【分析】先确定黑色区域的面积与总圆面面积的比值，此比值即为所求的概率．【解答】解：观察这个图可知：黑白石子的面积相等，即其概率相等，各占．【点评】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．19．如图，在?ABCD中，BD为对角线，E、F分别是AD、BD的中点，连接EF．若EF=3，则CD的长为6．【考点】三角形中位线定理；平行四边形的性质．【分析】根据三角形中位线等于三角形第三边的一半可得AB长，进而根据平行四边形的对边相等可得CD=AB．【解答】解：∵EF是△ABD的中位线，∴AB=2EF=6，又∵AB=CD，∴CD=6．故答案为：6．【点评】本题考查了三角形中位线定理及平行四边形的性质，熟练掌握定理和性质是解题的关键．20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC边的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．若AB=12，BC=5，则四边形BDFG的周长为26．【考点】菱形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理．【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，根据勾股定理求出AC，求出BD，即可得出答案．【解答】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，∴BG=GF=DF=BD，∵在△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，由勾股定理得：AC=13，∵BD为△ACB的中线，∴BD=AC=，∴BG=GF=DF=BD=，故四边形BDFG的周长=4GF=26．故答案为：26．【点评】本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．21．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为6，则cos∠BOE=．【考点】矩形的性质；四点共圆．【分析】如图作OM∥BC交AB于M，连接EC，先利用四点共圆证明∠BOE=∠ECB，再根据△AOE面积求出AE，可以证明AE=EC，由cos∠BOE=cos∠ECB=即可解决问题．【解答】解：如图作OM∥BC交AB于M，连接EC．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AO=OC，∵EO⊥AC，∴EA=EC，∵∠EBC+∠EOC=180°，∴E、B、C、O四点共圆，∴∠BOE=∠ECB，∵OM∥BC，AO=OC，∴AM=BM．OM=BC=2，∠AMO=∠ABC=90°，∵S△AOE=6，∴oAEoOM=6，∴AE=EC=6，∴cos∠BOE=cos∠ECB===．故答案为．【点评】本题考查矩形的性质、四点共圆的判定和性质、三角形面积公式等知识，解题的关键是利用四点共圆证明∠BOE=∠ECB，学会转化的思想，属于中考常考题型．三、解答题（共7小题，共57分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）22．（1）解方程组：（2）解方程：=．【考点】解分式方程；解二元一次方程组．【分析】（1）方程组利用加减消元法求出解即可；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1），①+②得：3x=6，即x=2，把x=2代入①得：y=，则方程组的解为；（2）去分母得：2x=x+3，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．【点评】此题考查了解分式方程，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．23．（1）如图1，在△ABC中，AD是中线，分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F．求证：BE=CF．（2）如图2，在△ABC中，AB=2，AC=1，以AB为直径的圆与AC相切，与边BC交于点D，求AD的长．【考点】切线的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）求出△BED≌△CFD，根据全等三角形的性质得出即可；（2）求出△CAB是直角三角形和求出AD⊥BC，根据三角形面积公式求出即可．【解答】（1）证明：∵分别过点B、C作AD及其延长线的垂线BE、CF，垂足分别为点E、F，∴∠E=∠CFD=90°，∵AD是中线，∵BD=CD，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴BE=CF；（2）解：∵AC是圆的切线，∴∠BAC=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC==，∵AB为圆的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，由三角形面积公式得：BC×AD=AC×BC，××AD=×1×2，解得：AD=．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，切线的性质的应用，能求出△BED≌△CFD和△ABC是直角三角形是解此题的关键．24．我县实施新课程改革后，学生的自主字习、合作交流能力有很大提高．张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调査，并将调査结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调査结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调査了20名同学，其中C类女生有2名，D类男生有1名；（2）将上面的条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行"一帮一"互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．【分析】（1）由扇形统计图可知，特别好的占总数的15%，人数有条形图可知3人，所以调查的样本容量是：3÷15%，即可得出C类女生和D类男生人数；（2）根据（1）中所求数据得出条形图的高度即可；（3）根据被调査的A类和D类学生男女生人数列表即可得出答案．【解答】解：（1）3÷15%=20，20×25%=5．女生：5﹣3=2，1﹣25%﹣50%﹣15%=10%，20×10%=2，男生：2﹣1=1，故答案为：20，2，1；（2）如图所示：（3）根据张老师想从被调査的A类和D类学生中分别选取一位同学进行"一帮一"互助学习，可以将A类与D类学生分为以下几种情况： 男A 女A1 女A2男D 男A男D 女A1男D 女A2男D女D 女D男A 女A1女D 女A2女D∴共有6种结果，每种结果出现可能性相等，∴两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为：P（一男一女）==．【点评】此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．某学校为丰富学生的校园生活，准备从某体育用品商店一次性购买若干个足球和篮球（2016o历城区一模）如图，点A（3，2）和点M（m，n）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上．（1）求k的值，并求当m=4时，直线AM的解析式；（2）过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM交x轴于点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形；（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能否为菱形？若能，请求出m的值；若不是，请说明理由．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）把A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例解析式，把m=4代入反比例解析式求出n的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y=kx+b，把A与M代入求出k与b的值，即可确定出直线AM解析式；（2）根据题意表示出直线BP与AM解析式，得出两直线斜率相等，进而确定出AM与BP平行，再由AB与PQ平行，利用两对对应边平行的四边形为平行四边形即可得证；（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形，若四边形ABPQ为菱形，则有AB=BP=3，根据B与P坐标列出关于m的方程，求出方程的解即可得到这样的菱形存在．【解答】解：（1）把A（3，2）代入得：k=6，∴反比例函数的解析式为：y=；把m=4代入反比例解析式得：n==1.5，∴M（4，1.5），设直线AM的解析式为：y=kx+b；根据题意得：，解得：k=﹣0.5，b=3.5，∴直线AM的解析式为：y=﹣0.5x+3.5；（2）根据题意得：P（m，0），M（m，），B（0，2），设直线BP的解析式为：y=kx+b，把点B（0，2），P（m，0）代入得：，解得：k=﹣；设直线AM的解析式为：y=ax+c，把点A（3，2），M（m，）代入得：，解得a=﹣，∵k=a=﹣，∴直线BP与直线AM的位置关系是BP∥AM，∵AB∥PQ，∴四边形ABPQ是平行四边形；（3）在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形，理由为：若四边形ABPQ为菱形，则有AB=BP=3，∴m2+22=9，即m2=5，此时m=，则在（2）的条件下，四边形ABPQ能为菱形．【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求反比例解析式，待定系数法求一次函数解析式，平行四边形、菱形的判定，以及坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．27．已知：正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转．（1）当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；（2）在（1）的条件下，若DE：AE：CE=1：：3，求∠AED的度数；（3）若BC=4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时（如图2），若OF=，求CN的长．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由正方形额等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；（3）由AB∥CD，得出=，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到，求出DN即可．【解答】（1）CE=AF；证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°∴∠ADF=∠CDE，∴△ADF≌△CDE，∴CE=AF，（2）设DE=k，∵DE：AE：CE=1：：3∴AE=k，CE=AF=3k，∴EF=k，∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，即AE2+EF2=AF2∴△AEF为直角三角形，∴∠BEF=90°∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；（3）∵M是AB中点，∴MA=AB=AD，∵AB∥CD，∴=，在Rt△DAM中，DM===2，∴DO=，∵OF=，∴DF=，∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，∴△DFN∽△DCO，∴，∴，∴DN=，∴CN=CD﹣DN=4﹣=．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了正方形，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理及其勾股定理的逆定理，判断△AEF为直角三角形是解本题的关键，也是难点．28．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴负半轴交于点C．（1）若△ABD为等腰直角三角形，求此时抛物线的解析式；（2）a为何值时△ABC为等腰三角形？（3）在（1）的条件下，抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点（点M在点N的左侧），动点P从M点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点N，若使点P运动的总路径最短，求点P运动的总路径的长．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由△ABD是等腰直角三角形确定出D（1，﹣2），用待定系数法确定出函数关系式；（2）由△ABC为等腰三角形，利用勾股定理求出a即可；（3）由于抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点，先求出M，N的坐标，利用对称性求出点G，H的坐标即可．【解答】解：（1）如图1，∵△ABD是等腰直角三角形，∴过点D作直线l∥y轴，直线l与x轴交于点I．∴AI=ID=IB=AB=2，∴D（1，﹣2），∴设y=a（x+1）（x﹣3）=ax2﹣2ax﹣3a，∴a﹣2a﹣3a=﹣2，∴a=，∴y=x2﹣x﹣，（2）∵△ABC为等腰三角形，∴①AB=BC=4，∴OC==，∴﹣3a=﹣，∴a=，②AB=AC=4，∴OC==，∴C（0，﹣），∴﹣3a=﹣，∴a=．（3）如图2，∵抛物线与直线y=x﹣4交于M、N两点，∴，∴，，∴M（2，﹣），N（，﹣）．作点M关于对称轴l的对称点G，点N关于x轴的对称点H，连接GH交l于E，x轴于F，∴EM=EH，FN=FH∴点P运动的总路径为GH，∵G（0，﹣），H（，），∴GH=．【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，对称的特点．求图象的交点坐标的方法，解本题的关键是确定出点的坐标．