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2019届人教版中考复习数学练习专题三：开放型探索专题含试卷分析答题技巧专题三开放型探索专题【考纲与命题规律】考纲要求 开放型比一般综合题更能考查学生的分析、探索能力以及思维的发散、综合运用知识的能力，难度适中，从而深受命题者的青睐，中考题型以填空题、解答题为主，难度一般不是很大．命题规律 解开放型问题时，一般先观察、试验、类比、归纳、猜测出结论或条件，然后严格证明，解题的过程中通常要结合分类讨论、数型结合、分析综合，归纳猜想等数型思想方法.【课堂精讲】例1如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E，F，连结BE，CF．（1）请你添加一个条件，使得△BEH≌△CFH，你添加的条件是，并证明．（2）在问题（1）中，当BH与EH满足什么关系时，四边形BFCE是矩形，请说明理由．分析：（1）根据全等三角形的判定方法，可得出当EH=FH，BE∥CF，∠EBH=∠FCH时，都可以证明△BEH≌△CFH，（2）由（1）可得出四边形BFCE是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形为矩形可得出BH=EH时，四边形BFCE是矩形．解答：（1）添加：EH=FH，证明：∵点H是BC的中点，∴BH=CH，在△△BEH和△CFH中，，∴△BEH≌△CFH（SAS）；（2）解：∵BH=CH，EH=FH，∴四边形BFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形为平行四边形），∵当BH=EH时，则BC=EF，∴平行四边形BFCE为矩形（对角线相等的平行四边形为矩形）．本题考查了全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定基础题，难度不大例2.如图2－1－3，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为θ(0°＜θ＜90°)，PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连结EF交OB于点G，则下列结论中正确的是____．①EF＝2OE；②S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4；③BE＋BF＝2OA；④在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝34；⑤OG·BD＝AE2＋CF2.图2－1－3第4题答图【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°，∠BOC＝90°，∴∠BOF＋∠COF＝90°，∵∠EOF＝90°，∴∠BOF＋∠BOE＝90°，∴∠BOE＝∠COF，∴△BOE≌△COF(ASA)，∴OE＝OF，BE＝CF，∴EF＝2OE.故①正确；∵S四边形OEBF＝S△BOE＋S△BOF＝S△BOF＋S△COF＝S△BOC＝14S正方形ABCD，∴S四边形OEBF∶S正方形ABCD＝1∶4.故②正确；∵BE＋BF＝BF＋CF＝BC＝2OA.故③正确；如答图，过点O作OH⊥BC交BC于点H，∵BC＝1，∴OH＝12BC＝12，设AE＝x，则BE＝CF＝1－x，BF＝x，∴S△BEF＋S△COF＝12BE·BF＋12CF·OH＝12x(1－x)＋12(1－x)×12＝－12x－142＋932，∵a＝－12＜0，∴当x＝14时，S△BEF＋S△COF最大，即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE＝14.故④错误；∵∠EOG＝∠BOE，∠OEG＝∠OBE＝45°，∴△OEG∽△OBE，∴OE∶OB＝OG∶OE，∴OG·OB＝OE2，∵OB＝12BD，OE＝22EF，∴OG·BD＝EF2，∵在△BEF中，EF2＝BE2＋BF2，∴EF2＝AE2＋CF2，∴OG·BD＝AE2＋CF2.故⑤正确．故答案为①②③⑤.【课堂提升】1.如图，直线a、b被直线c所截，若满足，则a、b平行．2.写出一个运算结果是a6的算式．3.如图2－1－5，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.21教育名师原创作品(1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题：①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE____CF；EF____|BE－AF|(选填"＞""＜"或"＝")；②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件____，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立．(2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．图2－1－54.如图2－1－6①，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.【版权所有：21教育】(1)求证：△BDF是等腰三角形；(2)如图②，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O.①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；②若AB＝6，AD＝8，求FG的长．5.如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G，(1)观察图形，写出图中所有与∠AED相等的角。(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角，并加以证明。【高效作业本】专题三开放型探索专题1.写出一个解集为x>1的一元一次不等式：___.2.对于二次函数y=?x2+2x.有下列四个结论：①它的对称轴是直线x=1;②设y1=?x21+2x1,y2=?x22+2x2,则当x2>x1时,有y2>y1;③它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0);④当0<x<2时,y>0.其中正确的结论的个数为()A.1B.2C.3D.43.证明命题"角的平分线上的点到角的两边的距离相等"，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证。已知：如图，∠AOC=∠BOC，点P在OC上，___求证：___.请你补全已知和求证，并写出证明过程。4.已知△ABC内接于O，过点A作直线EF.(1)如图①所示,若AB为O的直径,要使EF成为O的切线,还需要添加的一个条件是(至少说出两种):___或者___.(2)如图②所示，如果AB是不过圆心O的弦，且∠CAE=∠B，那么EF是O的切线吗?试证明你的判断。5.已知：如图，在?ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G，H，交BD于点O.(1)求证：△ABE≌△CDF；(2)连接DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什幺特殊四边形?请说明理由。【答案】专题三开放型探索专题答案1. 解：∵∠1=∠2，∴a∥b（同位角相等两直线平行），故答案为：∠1=∠2． 此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行．2.解：a2oa4=a6，本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的乘法底数不变指数相加．3.解：(1)①∵∠BCA＝90°，∠α＝90°，∴∠BCE＋∠CBE＝90°，∠BCE＋∠ACF＝90°，∴∠CBE＝∠ACF，∵CA＝CB，∠BEC＝∠CFA，∴△BCE≌△CAF，∴BE＝CF；EF＝|CF－CE|＝|BE－AF|.②∠α＋∠BCA＝180°.证明：在△BCE中，∠CBE＋∠BCE＝180°－∠BEC＝180°－∠α.∵∠BCA＝180°－∠α，∴∠CBE＋∠BCE＝∠BCA.又∵∠ACF＋∠BCE＝∠BCA，∴∠CBE＝∠ACF，又∵BC＝CA，∠BEC＝∠CFA，∴△BCE≌△CAF(AAS)，∴BE＝CF，CE＝AF，又∵EF＝CF－CE，∴EF＝|BE－AF|.(2)猜想：EF＝BE＋AF.证明：∵∠BEC＝∠CFA＝∠α，∠α＝∠BCA，∠BCA＋∠BCE＋∠ACF＝180°，∠CFA＋∠CAF＋∠ACF＝180°，21cnjyvvvvv∴∠BCE＝∠CAF，又∵BC＝CA，∴△BCE≌△CAF(AAS)．∴BE＝CF，EC＝FA，∴EF＝EC＋CF＝BE＋AF.4.解：(1)证明：根据折叠的性质，得∠DBC＝∠DBE，又∵AD∥BC，∴∠DBC＝∠BDA，∴∠DBE＝∠BDA，∴BF＝DF，[来源:学#科#网]∴△BDF是等腰三角形；(2)①菱形．理由：∵DG∥BE，DF∥BG，∴四边形BFDG是平行四边形，又∵BF＝DF，∴四边形BFDG是菱形；②在Rt△ABD中，AB＝6，AD＝8，则BD＝10，设DF＝BF＝x，则AF＝8－x，在Rt△ABF中，AB2＋AF2＝BF2，即62＋(8－x)2＝x2，解得x＝254，∴DF＝254，由S菱形BFDG＝DF·AB＝12FG·BD，得254×6＝12FG×10，解得FG＝7.5.5.解(1)由图可知，∠DAG，∠AFB，∠CDE与∠AED相等；(2)选择∠DAG=∠AED，证明如下：∵正方形ABCD，∴∠DAB=∠B=90?，AD=AB，∵AF=DE，在△DAE与△ABF中，AD=AB，∠DAE=∠B=90?，DE=AF，∴△DAE≌△ABF(SAS)，∴∠ADE=∠BAF，∵∠DAG+∠BAF=90?,∠GDA+∠AED=90?，∴∠DAG=∠AED.【高效作业本】1.解：移项,得x?1>0(答案不唯一).故答案为x?1>0.2.解：y=?x2+2x=?(x?1)2+1，故①它的对称轴是直线x=1，正确；∵二次函数在直线x=1两侧增减性不一样,∴设y1=?x21+2x1,y2=?x22+2x2,则当x2>x1时,有y2>y1或y2<y1，②错误；③当y=0,则x(?x+2)=0,解得：x1=0,x2=2，故它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0)，正确；④∵a=?1<0，∴抛物线开口向下，∵它的图象与x轴的两个交点是(0,0)和(2,0)，∴当0<x<2时，y>0，正确。故选：C.[来源:Zxxk.Com]3.解答：已知：PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D.E；求证：PD=PE.故答案为：PD=PE.∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴∠PDO=∠PEO=90?，在△PDO和△PEO中，∠PDO=∠PEO，∠AOC=∠BOC，OP=OP，∴△PDO≌△PEO(AAS)，∴PD=PE.4.解答：(1)①∠BAE=90?，②∠EAC=∠ABC，理由是：①∵∠BAE=90?，∴AE⊥AB，∵AB是直径，∴EF是O的切线；②∵AB是直径，[来源:学科网ZXXK]∴∠ACB=90?，∴∠ABC+∠BAC=90?，∵∠EAC=∠ABC，∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=∠BAC+∠ABC=90?，即AE⊥AB，[来源:学科网]∵AB是直径，∴EF是O的切线；(2)EF是O的切线.证明：作直径AM，连接CM，则∠ACM=90?，∠M=∠B，∴∠M+∠CAM=∠B+∠CAM=90?，∵∠CAE=∠B，∴∠CAM+∠CAE=90?，∴AE⊥AM，∵AM为直径，∴EF是O的切线。5.解答：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中,AB=CD，∠BAE=∠DCF，AE=CF，∴△ABE≌△CDF(SAS);(2)四边形BEDF是菱形；理由如下：如图所示：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∵AE=CF，∴DE=BF，∴四边形BEDF是平行四边形，∴OB=OD，∵DG=BG，∴EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形。