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安徽省2019年中考数学二轮复习填空压轴题之几何图形多解问题含试卷分析答题技巧题型三填空压轴之几何图形多解问题1.已知正方形ABCD的边长为42，如果P是正方形对角线BD上一点，满足△ABP≌△CBP，若△PCB为直角三角形，则BP的长为________．2.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E为AB边上一点，将△BEC沿CE翻折，点B落在点F处，当△AEF为直角三角形时，BE＝________．第2题图第4题图3.在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连接PB、PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为________．4.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P、Q分别为直线AB、BC上的点，满足PD⊥PQ，则当△PDQ为等腰三角形时，AP的长为________．5.已知△ABC中，tanB＝23，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积的所有可能值为________．6.如图，有一张面积为10的三角形纸片，其中一边AB为4，把它剪开两次拼成一个矩形(无缝隙、无重叠)，且矩形的一边与AB平行，则矩形的周长为________．第6题图第7题图7.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，MN为对角线BD的垂直平分线，以BD为底边作等腰三角形BPD，使得点P落在直线MN上，且PD＝5，则AP＝________．8.在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2＋2，D是边AC上的动点，满足BD的垂直平分线交BC于点E，若△CDE为直角三角形，则BE的长为________．9.如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝1，BC＝3，E是边CD的中点，连接BE并延长交AD的延长线于点F，若△BCD是等腰三角形，则四边形BDFC的面积为________．第9题图第10题图10.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝23，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A′，当点E、A′、C三点在一条直线上时，DF的长度为________．11.已知在Rt△ABC中，斜边AB＝5，BC＝3，以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，那么当点C′落在直线AB上时，BB′＝________12.△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，使得B′C＝4，连接A′C，则△A′B′C的周长为________．13.如图，在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点E、F分别为AD、BC的中点，沿EF折叠平行四边形，使CD落在直线AB上，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′，若BD′＝1，则AD的长为__________．第13题图第14题图14.定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形．如图，在互补四边形纸片ABCD中，BA＝BC，AD＝CD，∠A＝∠C＝90°，∠ADC＝30°.将纸片先沿直线BD对折，再将对折后的纸片从一个顶点出发的直线裁剪，把剪开的纸片打开后铺平，若铺平后的纸片中有一个面积为4的平行四边形，则CD的长为________．15.如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，当△EDC旋转到A，D，E三点共线时，线段BD的长为________．第15题图1.4或8【解析】由题可知，∵△ABP≌△CBP，∴点P一定处于正方形对角线BD上，∴共存在两种情况使△PBC为直角三角形，(1)如解图①，当CP⊥PB时，有PC2＋PB2＝BC2.又∵∠CBP＝45°，∴PB＝PC，∴BP＝4；(2)如解图②，当P点与D点重合时△PBC为直角三角形，BP＝2BC＝8.第1题解图2.3或6【解析】如解图①，当∠AFE＝90°时，设BE＝x，则EF＝x，AE＝8－x，FC＝BC＝6，由勾股定理得AC＝AB2＋BC2＝10，∴AF＝10－6＝4，在Rt△AEF中，42＋x2＝(8－x)2，解得x＝3，∴BE＝3；如解图②，当∠AEF＝90°时，四边形BCFE是正方形，BE＝BC＝6.综上所述，BE＝3或6.第2题解图3.5或6【解析】如解图①，当PB＝PC时，点P是BC的中垂线与AD的交点，则AP＝DP＝12AD＝3，在Rt△ABP中，由勾股定理可得PB＝AP2＋AB2＝32＋42＝5；如解图②，当PB＝BC＝6时，△BPC也是以PB为腰的等腰三角形．综上所述，PB的长度为5或6.第3题解图4.1或7【解析】∵△PDQ是等腰三角形，∴分三种情况：①如解图①，若点P在线段AB上，∠DPQ＝90°，∴PD＝PQ，∠APD＋∠BPQ＝90°，∵在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∴∠APD＋∠ADP＝90°，∴∠ADP＝∠BPQ，∴△DAP≌△PBQ(AAS)，∴PB＝AD＝3，∴AP＝4－3＝1；②如解图②，若点P在线段AB的延长线上，PQ交CB的延长线于点Q，PD＝PQ，同理可证△ADP≌△BPQ，∴AD＝PB，∴AP＝AB＋AD＝3＋4＝7；③当P在线段BA的延长线上时，显然不成立，故AP的长为1或7.第4题解图5.8或24【解析】如解图①，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝4，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝4×23＝83，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×83＝8；如解图②，∵BC＝6，BD∶CD＝2∶1，∴BD＝12，在Rt△ABD中，AD＝BD·tanB＝12×23＝8，∴S△ABC＝12BC·AD＝12×6×8＝24.∴△ABC面积的所有可能值为8或24.第5题解图6.13或14【解析】分为两种情况：①如解图①，沿MN剪开，再沿CQ剪开(CD⊥AB于点D，MN为△ABC的中位线，CD交MN于点Q)，将△CQN放在△BFN的位置上，△CQM放在△AEM的位置上，由三角形面积公式得10＝12×4×CD，解得CD＝5，∵MN为△ABC的中位线，∴CQ＝DQ＝12CD＝2.5，∴矩形AEFB的周长为(2.5＋4)×2＝13；②如解图②，沿NQ、MT剪开(N、M分别为AC、BC中点，EQ⊥BA于点Q，FT⊥AB于点T，CD⊥AB于点D)，将△AQN放在△CEN的位置上，△BTM放在△CFM的位置上，由三角形面积公式得10＝12×4×CD，解得CD＝5，∵N为AC中点，CD∥EQ，∴AQ＝DQ，同理BT＝DT，∴QT＝12AB＝2，∴矩形EQTF的周长为(5＋2)×2＝14.故答案为13或14.第6题解图7.3或41【解析】如解图，连接BM，DN，AN，得到四边形BNDM为菱形，∴BM＝MD，AM＋MD＝AM＋BM＝AD＝8，在Rt△ABM中，设AM＝x，则BM＝8－x，AB＝4，根据勾股定理得：x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，∴AM＝3，MD＝5.当PB和PD在BD上方时，点P与点M重合，则AP＝AM＝3；当PB和PD在BD下方时，点P与点N重合，由对称性得到PD＝ND＝BN＝MD＝5，在Rt△ABN中，AB＝4，BN＝5，根据勾股定理得：AN＝AB2＋BN2＝42＋52＝41，此时AP＝AN＝41.综上所述，AP的长为3或41.第7题解图8.2＋1或2【解析】①当∠CED＝90°时，点D与点A重合，E是BC的中点，如解图①.∵BC＝2AB＝2(2＋2)＝2(2＋1)，∴BE＝12BC＝12×2(2＋1)＝2＋1；②当∠CDE＝90°时，如解图②，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE＝2DE，易得BE＝DE，∴CE＝2BE，∴CE＋BE＝2BE＋BE＝2(2＋1)．∴BE＝2.综上所述，若△CDE为直角三角形，则BE的长为2＋1或2.第8题解图9.62或35【解析】∵∠A＝∠ABC＝90°，∴BC∥AD，∴∠CBE＝∠DFE，∵∠BEC＝∠FED，CE＝DE，∴△BEC≌△FED(AAS)，∴BE＝FE，∴四边形BDFC是平行四边形，①当BC＝BD＝3时，在Rt△ABD中，AB＝32－12＝22，S四边形BDFC＝3×22＝62；②当BC＝CD＝3时，如解图，过点C作CG⊥AF于点G，则四边形ABCG是矩形，∴AG＝BC＝3，∴DG＝AG－AD＝3－1＝2，在Rt△CDG中，CG＝32－22＝5，∴S四边形BDFC＝3×5＝35；③BD＝CD时，BC边上的中线应与BC垂直，从而BC＝2AD＝2，矛盾，此时不成立．故四边形BDFC面积为62或35.第9题解图10.6＋27或6－27【解析】如解图①，F是线段CD上一动点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠AEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝BC2＋EB2＝（23）2＋42＝27，∴CF＝CE＝27，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD－CF＝6－27；如解图②，F是DC延长线上一点，由翻折可知，∠FEA＝∠FEA′，∵CD∥AB，∴∠CFE＝∠BEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，在Rt△BCE中，EC＝BC2＋EB2＝（23）2＋42＝27，∴CF＝CE＝27，∵AB＝CD＝6，∴DF＝CD＋CF＝6＋27，故答案为6＋27或6－27.图①图②第10题解图11.10或310【解析】①如解图①，当点C′在线段AB上时，∵AB＝5，BC＝3，∴在Rt△ABC中，AC＝AB2－BC2＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴AC′＝4，BC′＝1，B′C′＝3，∴BB′＝（B′C′）2＋（BC′）2＝10；②如解图②，当点C′在线段BA的延长线上时，∵AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∵以点A为旋转中心，旋转这个三角形至△AB′C′的位置，∴BC′＝9，B′C′＝3，∴BB′＝（BC′）2＋（B′C′）2＝310.故长BB′长为10或310.图①图②第11题解图12.12或8＋43【解析】当点B′在线段BC上，如解图①，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，BC＝B′C′＝6，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴△A′B′C为等边三角形，∴△A′B′C的周长为12；当点B′在线段BC的延长线上，如解图②，作B′H⊥A′C，∵△ABC沿射线BC方向平移得到△A′B′C′，∴AB＝A′B′＝4，∠ABC＝∠A′B′C′＝60°，∵B′C＝4，∴A′B′＝B′C，∴∠B′CA＝∠B′A′C，CH＝A′H，而∠A′B′C′＝∠B′CA′＋∠B′A′C，∴∠B′CA′＝30°，在Rt△B′CH中，∵∠B′CH＝30°，∴B′H＝12CB′＝2，∴CH＝3B′H＝23，∴A′C＝2CH＝43，∴△A′B′C的周长＝4＋4＋43＝8＋43.故答案为12或8＋43.第12题解图13.4或8【解析】如解图①，当点D′在线段AB上时，AD′＝AB－BD′＝3－1＝2，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，由折叠的性质得ED′＝ED，∴ED′＝AE，∵∠A＝60°，∴△AED′是等边三角形，∴AE＝AD′＝2，∴AD＝4.如解图②，当点D′在AB的延长线上时，AD′＝AB＋BD′＝4.同理可知△AED′是等边三角形，∴AE＝AD′＝4，∴AD＝8.图①图②第13题解图14.22＋6或42＋26【解析】如解图①，作CE∥AB交BD于点E，延长CE交AD于点F，连接AE，过点B作BG⊥AE于点G，∵BA＝BC，∴此时的平行四边形ABCE为菱形，∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝30°，AB∥CF，∴∠CFD＝90°，∠BCE＝∠BAE＝∠AEF＝30°，设BG＝m，则BA＝2m，∵菱形ABCE的面积为4，∴2m×m＝4，解得m＝2(负值舍去)，∴AE＝CE＝BA＝22，EF＝AE·cos30°＝6，∴CF＝22＋6，在Rt△CFD中，CD＝2CF＝42＋26；如解图②，作BE∥AD交CD于点E，作BF∥CD交AD于点F，根据折叠与裁剪可知BE＝BF，此时的平行四边形BEDF也是菱形，∴BE∥FD，∴∠BEC＝∠ADC＝30°，∵∠A＝∠C＝90°，设BC＝n，则BE＝2n，CE＝3n，∵菱形BEDF的面积为4，∴2n×n＝4，解得n＝2(负值舍去)，∴BC＝2，DE＝BE＝22，CE＝6，∴CD＝CE＋DE＝22＋6，综上所述，CD的长为22＋6或42＋26.第14题解图15.45或1255【解析】如解图①，易得AC＝AB2＋BC2＝45，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC2－CD2＝（45）2－42＝80－16＝8，∴AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝45；如解图②，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，∵AC＝45，CD＝4，CD⊥AD，∴AD＝AC2－CD2＝（45）2－42＝8，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE＝12AB＝2，∴AE＝AD－DE＝8－2＝6，CE＝ED2＋CD2＝25，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵ECDC＝ACBC，∴△ECA∽△DCB，∴AEBD＝ECDC＝52，∴BD＝652＝1255，综上所述，BD的长为45或1255.第15题解图①第15题解图②