数学开放题及其教学

     数学开放题是70年代在国际上引起人们重视的一种新题型,80年代我国开始有些杂志介绍国外一些研究开放题研究的文章,此后,我国有一批学者开始研究数学开放题,逐步成为数学改革及研究的热点,关于开放题的研究被列为国家教育科学“九五”规划重点课题，课题的负责人是浙江教育学院戴再平教授，目前，课题已有不少研究成果今年五月已由上海教育出版社出版了一套“中小学数学开放题丛书”。下面结合有关资料和个人的学习，谈谈有关开放题教学方面的一些肤浅认识，供各位教师参考。
   一、数学开放题的概念
    关于开放题的概念，现在国内还没有统一的认识，主要有下列几种描述：
   （1） 凡是具有完备的条件和固定答案的习题称为封闭题，而答案不固定或者条件不完备的习题成为开放题。
   （2） 具有多种不同的解法或有多种可能的解答的问题称为开放题。
   （3） 数学习题是由条件y、结论z、解法p及解题依据o四个元素组成，即R={y,o,p,z},四个元素齐备的题,为“封闭题”;缺少o或p的题为“半封闭题”,有三个元素是未知的题称为问题性题,有二个是未知的习题称为探索性题,问题性题或探索性题统称为开放性题.
   （4） 开放题是条件多余需选择,条件不足需补充或答案不固定的问题称为开放题。
   （5） 答案不唯一的问题称为开放题。
   二、 开放题分类
   数学命题一般可以根据思维形式分成假设—推理—判断三部分。
   若开放题未知的要素是假设称为条件开放题；
   1.为使下列各式可以分解因式(整数范围内) 可以取哪些整数?试分别写出 几个值.
   1. (1) (2)
   （答案a的所有可能的值为 ;b有无穷多个值:6、10、12、-8、-18、Ln(7-n), L其中n为整数,且n不为0和7）
   2. 写出一个方程使它的解为
   （答案X-1=0; ， L）
   3.如图,D,E是三角形ABC中BC边上的两点,AD=AE,要证明 ,还应满足什么条件
   答案：(1) (2)
   (3) (4)EC=BD
   (5)BE=CD(6)AB=AC
   
    若未知的元素是判断则称为结论开放题。
   1. CD是 的斜边AB上的高,尽可能找出图形的形状和大小之间存在的各种关系.
   2. 经过点(0,3)的一条抛物线的解析式为 (广州2000年中考题)
   3. 已知点P在第二象限,其横坐标与纵坐标之和为1,P点坐
   标可以是 (只要求写出符合条件的一个即可)(2000年广州中考题)
   若其未知的要素是推理则为策略开放题
   1. 有一块长4米,宽3米的园地,现要在园地上辟一个花圃,使花圃的面积是园地的一半,问如何设计?给出你设计的图案并作出有关的计算.
   2. 试用几种不同的方案将三角形ABC分成面积相等的五个部分,并指出面积相等的是哪五个部分(保留分割痕迹和必要的标注,不写做法)
   有的问题只给出情景,其条件、解题策略与结论都要主体自行设定与寻找,这类题称为综合开放题。
   三、开放题教学
    在平时的教学中应渗透开放题，要循序渐进，要根据学生的身心特点，符合学生的认知规律，由封闭一步一步走向开放，在引入开放题的基础上逐渐进行开放式的教学。
   （1） 选材要合适,难度要适当;可改造课本上的题为开放题(包括定理发现探索和例习题改编) ，也可适当引入一些有一定研究性的实际问题让学生研究，可激发学生的积极性，对于一些好的例子的教学，不断可以提高基础差的学生的学习数学的兴趣，也可以激励优生向更高层探索。如在平行四边形的定义讲完后或者在讲完平行四边形后复习（根据学生基础而定）时要学生研究平行四边形ABCD具有以下性质:
    (1) AB//CD (2)BC//AD
    (3)AB=CD (4)BC=AD
    (5) A= C (6) B= D 若满足上述两个条件,能否保证ABCD为平行四边形？
    以上一共应有15个命题，其中不能保证ABCD为平行四边形的有:一组对边平行,另一组对边相等;（如梯形）及一组对边相等,一组对角相等;（反例的构造略）
   （2） 开放题和常规题互为补充,缺一不可,提倡让开放题进入课堂,并不是要取代常规题,在教学中仍以常规题练习为主体训练的前提下,必须引进开放题,以弥补封闭性练习题的不足。
   （3） 开放题教学应循序渐进,适当穿插,不要仅靠搞几个专题来完成，应渗透在平时的教学中。
   四、 数学开放题的编制方法
   1. 弱化成题的条件,使其结论多样化。
   如求经过三点的抛物线解析式的题,可改为给出两点或一点,写出一个或几个解析式;
   又如：几何第二册233页例5可以将三角形
    改为两三角形ACP、ABC何时相似。
   2. 隐去成题的结论，使其指向多样化。
    如相交弦定理的教学，可以先不给出结论，让学生观察圆内的两条相交弦，作适当的辅助线，探索一些结论（如角相等、三角形相似等），教师顺着学生思维或由学生自己探索，由此得出相交弦定理；再进一步展开：若两条弦的交点在圆外及有一条弦变为切线的情况有如何？可由学生研究。
   3. 在既定的条件或关系下，探讨多种结论。
    如前面在结论开放题中所举例1即是，对于一些较为典型的例题或习题应让学生继续探讨其更多的结论出来。（当然，要把握好“度”的问题）
   4. 给出结论，寻求使结论成立的充分条件.
    已知梯形ABCD中，AB//CD，若添加一个条件如“BC=AD”，则可判定ABCD为等腰梯形，请问除“BC=AD”外，还可以添加一个什么条件,使梯形ABCD为等腰梯形?(至少写出两种)
   5. 比较某些对象的异同点
    试比较下列两个单项式的异同： ，
   相同点：（1）都是单项式（2）都有三个字母（3）系数都是正整数（4）都含有字母a，（5）最高公因式为 （6）都是5次多项式；不同点：（1）所含字母不同（2）系数不同（3）不是同类项（4）尽管都含有a，但字母a的次数不同。
   6. 设计解决某些实际问题方案或在实际问题中寻求多种解法与结论.
    如策略开放题中所举两例。