对一道课本习题的探讨

   题目 过抛物线y2 =2px 的焦点的一条直线和这抛物线相交，两个交点的纵坐标为y1、y2 ，求证：y1 y2 = -p2 。
    这是高中数学教材第二册（上）（试验修订本）第119页第7题。在教学中，笔者引导全班同学，对该题进行了深入地探讨，得到了一些更为有趣的性质。本文着重介绍这些性质及它们的应用。
    定理1 如果直线 过定点P(m ,0) (m > 0)且和抛物线y2 =2px (p>0)相交于两点A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ,那么 x1 x2 , y1 y2 均为定值。
   证明：（1）若直线AB与x轴垂直，易得x1 x2 = m 2 , y1 y2 = - 2pm,均为定值；
   （2）若直线AB与x轴不垂直，设其方程为y=k(x-m),代入y2 =2px，得k2 x2 –2(m k2 +p)x + m 2 k2 =0, ∴x1 x2 = m 2 , ∴y12 y2 2=2p x1 2p x2 =
   4 p2 m 2 , ∴y1 y2 = - 2pm (取负值)，均为定值。 由（1），（2）知命题成立。
    定理2 如果直线 过定点（2p ，0）且和抛物线y2 =2px (p>0) 相交于两点A、B，O为坐标原点，那么 OA 丄 OB。
   证明：（1）若直线AB与x轴垂直，则A（2p,2p）, B（2p,-2p）, kOA kOB = = -1， ∴OA 丄 OB；
    （2）若直线AB与x轴不垂直，设A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 )，由定理 1 知x1 x2 = 4P 2，y1 y2 = - 4P 2，∴kOAkOB= = -1，∴OA 丄 OB;由（1）、（2）知命题成立。
   
   注 逆命题也成立，证明略。
   
   定理3 若抛物线y2 =2px (p>0)的内接直角三角形的直角顶点固定，则其斜边所在的直线恒过定点。
   证明：如图 1，设P( x0, y0 )为直角顶点，
   A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), 则x1= ，x2 = ，
   AB的方程为y- y1=
   = ) ，
   整理得，2px-( y1 + y2)y+ y1 y2=0 ① 图 1
   ∵AP BP
    ∴kAP kBP= = = = -1.
   ∴y1 y2= -4 p2 - y0 (y1+ y2)-y , 代入①式，得AB的方程为2px-(y1+ y2) y
   - 4 p2- y0 (y1+ y2)-2p x0=0 , 即2p(x- x0-2p)-( y1+ y2)(y+ y0)=0 ，∴直线AB恒过定点（x0+2p,- y0）。
   定理4 若抛物线y2 =2px (p>0)的内接三角形的两条边所在的直线的斜率之积为定值，则另一边所在的直线恒过定点。
   设P( x0, y0 )，A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), kAP kBP =m ，同定理3可证明直线AB恒过定点（x0- ,- y0）若令m=-1，则是定理3 。
   注 定理3、定理4的逆命题均成立，证明略。
   下面举几个例子说明这几个性质的应用。
   例1 设直线l过点M(m,0)(m>0)，且与抛物线y2 =2px (p>0)交于两点A(x1 , y1 ), B(x2 ,y2 ) 。
   求：（1）| y1|+| y2|的最小值；
   （2）| AB|的最小值；
   （3）S△OAB的最小值。
   解（1）∵y1 y2=-2pm<0，不妨设y1>0，
   则| y1|+| y2|=| y1- y2|= y1+（- y2 ）
   ≥2 = 。
   ∴当AB与 x 轴垂直时，
   | y1|+| y2|的最小值为 。
   （2）设直线AB的斜率为k，则 | AB|= | y1- y2|
   = (| y1|+| y2|),当 k→+ 时，| AB|min=(| y1|+| y2|)min= 。
    注 若令m= , 则| AB|min=2p，正好是通径长。
    （3）S△OAB= m| y1|+ m| y2|= m(| y1|+| y2|)≥ m =m ，故由（1）知S△OAB的最小值为m 。
   例2 如图3，设点A和B为抛物线y2 =4x上原点O以外的两个动点，已知OA OB,求点M 的轨迹方程并说明它表示什么曲线。（2000年北京、安徽春季高考试题）
   解：由定理2的逆定理知直线AB恒过
   定点Q(4,0)，因而点M 的轨迹是以OQ
   为直径的圆（除去原点），其方程为(x-2)2
   +y2=4 (x 0 )。
   例3 已知A(1，2)，过点（5，-2）的直线
   与抛物线y2 =4x交于另外两点B、 C,那么ΔABC
   是（ ）
   A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
   C. 直角三角形 D. 答案不确定
   （1999年全国高中数学联赛试题）
   解 ∵A在抛物线y2 =4x上，x0=1, y0=2, 2p=4, ∴(x0+2p, - y0)就是（5，-2），由定理3的逆定理知ΔABC是直角三角形，故选C。
    可见，我们教师在平时的教学中，要注意深入钻研教材，研究课本例题、习题，引导学生对课本例、习题进行研究、探讨，充分发挥习题的功能，这对提高学生的解题能力，培养学生的创新意识和实践能力是大有好处的。