一、　数学哲学研究的黄金时代

从1890年到1940年的这50年被称为是"数学哲学研究的黄金时代"。在这一时期中,数学基础问题取代传统的数学本体论问题和认识论问题成为数学哲学研究的中心问题,一些著名的学者,如弗雷格(G.Frege)、罗素(B.Russell)、布劳维尔(L.E.J.Brouwer)和希尔伯特(D.Hilbert)等,更围绕基础问题进行了系统和深入的研究,从而发展起了逻辑主义、直觉主义和形式主义等具有广泛和深远影响的数学哲学理论。(Benacerraf&Putnam,1983;Fraenkel&Bar-Hill,1958;夏基松、郑毓信,1986) 　　对数学基础研究与早期的数学哲学研究进行比较,不难发现,除中心问题的转移以外,数学基础研究并有着以下的重要特点,即逻辑主义等学派都提出了十分明确的研究规划,从而就在相当程度上将哲学的分析与具体的技术性研究很好地结合了起来。

例如,尽管莱布尼兹即已明确提出了数学真理就是逻辑真理的思想,但是,又只有在弗雷格和罗素那里,这一思想才得到了更为明确的阐述(即所谓的"逻辑主义宗旨")。更为重要的是,弗雷格和罗素并将这一抽象的论题发展成了具体的研究规划,著名的《数学原理》就是后者的直接结果--它"包括一个从符号逻辑的前提出发,经有限和无限的算术,而达到几何的演绎的序列"。(夏基松、郑毓信,1986,第58、53页)

而以布劳维尔为主要代表的直觉主义者更以十几年的时间和精力积极从事了发展新的直觉主义数学的工作,特别是,布劳威尔创造性解决了如何依据可构造性的标准来建立实数理论的问题(这就是所谓的"展形"),从而事实上也就将一个一般性的哲学主张发展成了一个具体的数学研究规划。希尔伯特则将希望寄托于他所提出的"希尔伯特规划",即能用有限的方法证明由古典数学抽象而成的形式数学理论的无矛盾性(和完备性),从而一劳永逸地解决数学的基础问题。

综上可见,数学基础研究在整体上就表现出了由纯粹的哲学分析向技术性研究的重要转变:尽管正是前者为相应的研究规划提供了必要的基础,或者说,所说的研究规划即可被看成各个学派在基础问题上基本主张的具体体现,但是,这些学派的主要工作又都是一种技术性的研究,他们并都希望能通过各自研究规划的成功实施证明自己哲学主张的正确性。

从历史的角度看,上述的转变应当说有着重要的意义,特别是,这就在很大程度上标志着数学哲学已经脱离一般哲学而成为了一门相对独立的学科:它不仅具有自己特殊的研究问题,而且也具有与一般哲学研究完全不同的研究方法(对此可特称为"数学-逻辑方法")。另外,也正由于数学基础中所采用的主要是技术性的研究方法,因此,数学家和逻辑学家就逐渐取代哲学家而成为数学基础研究的主要力量;对于基础研究人们并采取了与一般哲学研究不很相同的评价标准--例如,在对基础研究工作进行评价时,人们所关注的主要是相应的研究规划是否获得了成功,而不是其基本立场的正确与错误。正如著名逻辑学家弗兰克尔(A.Fraenkel)和巴-希勒尔(Y.Bar-Hillel)所指出的,"弗雷格和罗素的理论的唯一真正严重的缺陷在于无穷公理的令人怀疑的状态。"(Fraenkel&Bar-Hill,1958,P.166)这就是说,作为对于逻辑主义基础研究工作的评价,人们所关注的主要是其所采用的各个公理的状态,也即其能否被看成属于纯逻辑的范围。另外,在对希尔伯特的基础研究工作进行评价时,人们通常突出地强调哥德尔不完备性定理的影响,而后者事实上也只是从技术上证明了(原始意义上的)"希尔伯特规划"是不可能获得成功的。

最后,从总体上说,由于逻辑主义等学派的基础研究规划都没有能获得成功,在经历了所说的"黄金时代"以后,数学哲学在20世纪40年代以后就陷入了困境。

二、　数学哲学现代研究的不同范式

　从专业化的角度看,数学哲学脱离一般哲学成为一门相对独立的学科应当说是一个进步。但是,作为一种回顾,我们又应看到,高度的专业化也为数学哲学的未来发展埋下了隐患,特别是,如果数学哲学的研究与实际数学活动表现出了越来越大的距离,从而事实上成为了一个封闭的"小圈子",那么,其最终就可能由于缺乏动力而表现出发展的停滞。

事实上,后者也正是数学哲学在20世纪50-60年代所呈现出的真实图景。对此匈牙利学者卡尔玛(L.Kalmar)曾形象地说,"数学基础现在看来进入了一个悲观的、停滞的时期"。另外,由上面的分析我们则可看出,为了突破所说的困境,重要的一环就在于打破基础研究的封闭圈子。

具体地说,新的发展所可能采取的途径之一就是重新建立与一般哲学的紧密联系。例如,数学哲学现代研究中所出现的向数学哲学早期传统的"回归"事实上就可看成这一方向上的发展。这就是说,现代的一些数学哲学家又重新回到了那些自柏拉图和亚里士多德的时代起就曾吸引过无数哲学家的那些问题,即数学的本体论问题和认识论问题(真理性问题)。从而,这也就如埃斯帕瑞(W.Asprey)和基切尔(P.Kitcher)在对这一方向上的发展进行总结时所指出的,"这些问题正是认识论和形而上学这样一些(哲学)基本问题在20世纪的延续"。(Benacerraf&Putnam,1983;Maddy,1991)

例如,英国数学哲学家赖特(C.Wright)就曾提出,现代数学哲学即是围绕以下六个问题展开的:

(1)　　　　　　　　纯粹数学的命题是否应当用"真"和"假"这样两个概念去进行评价?如果是的话,这又是一种什么样的"真"和"假"的概念?

(2)　　　　　　　　如果认为真理性的概念为纯粹数学命题的评价提供了实质性的标准,那么,这种命题在这种标准下是否为真?

(3)　　　　　　　　如果对问题(1)和(2)作肯定的答复,那么,是什么使得数学命题成为真的?

(4)　　　　　　　　我们是怎样获得关于真的数学命题的认识的?

(5)　　　　　　　　在纯粹数学中,真理能否超出可证明的范围?

(6)　　　　　　　　数学为什么能应用于普通的事物?数学命题由证明而获得的可靠性是怎样转移到它的应用之中的?

另外,按照伯纳塞洛夫(P.Benacerraf)的分析,这正是数学哲学研究的主要困难所在,即我们无法发展出一个在本体论上和认识论上都能令人满意的数学哲学理论,从而陷入了一种两难的处境。

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