求异面直线距离的常用方法

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来源：人民教育出版社作者：佚名更新时间：2006-06-01 03:50:02

　　求异面直线的距离是立体几何的一个难点，其主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们学好这一内容，本文系统地介绍一些求异面直线距离的常用方法，望能达到开拓思路、扩大视野的目的。

　　一、直接法

　　直接法就是根据两条异面直线间距离的定义，直接找出其公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

　　例1：如图1，已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，点E在棱D₁D上，截面EAC∥D₁B，且面EAC与底面ABCD所成的角为45°，AB=a。求异面直线A₁B₁与AC之间的距离。

（图1）

　　解：连结DB，设DB∩AC于点O，由题设ABCD-A₁B₁C₁D₁是正四棱柱，可知A₁A⊥底面ABCD。

　　∴A₁A⊥AC。

　　又∵A₁A⊥A₁B₁，

　　∴A₁A是异面直线A₁B₁与AC的公垂线段。

　　由面EAC与底面ABCD所成的角为45°，易知∠DOE=45°。

　　又∵截面EAC∥D1B，且面D1BD与面EAC的交线为EO，

　　∴D₁B∥EO。

　　∴∠DOE=∠DBD₁=45°。

　　∴D₁D=DB=a。

　　∵D₁D=AA₁，

　　∴异面直线A₁B₁与AC之间的距离为a。

　　其次，若两条异面直线a、b互相垂直，则可通过一条(如a)作另一条(如b)的垂面α，得垂足，然后可过垂足在α内作出公垂线段。

　　例2：如图2，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，求异面直线DB₁与AC间的距离。

（图2）

　　解：由三垂线定理可知，AC⊥DB₁。连结DB，则平面DBB₁为过DB₁且与AC垂直的平面，交点为O。过点O作OH⊥DB₁，垂足为H，于是线段OH为异面直线DB₁与AC的公垂线段。

　　由Rt△DBB₁∽Rt△DHO，得OH／B₁B=DO／DB₁。

　　∴OH=DO·B₁B／DB₁=6。

　　所以异面直线DB₁与AC间的距离为6。

　　二、间接法

　　间接法就是当直接法不便于求解时，利用已知条件进行间接求解或证明的方法。

　　(1)线面距离法

　　线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平面的距离即为所求异面直线间的距离。　　

　　例3：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2，AD=3，AA₁=4，求异面直践AB与A₁C间的距离。

　　解法1：如图3，连结A₁D，由AB∥DC，得AB∥面A₁DC。故AB到A₁DC的距离即为AB与A₁C间的距离。由面A₁D⊥面A₁DC及面A₁D⊥AB，故可在面A₁D内从A作AE⊥A₁D于点E，则AE即为AB到面A₁DC的距离，也即为异面直线AB与A₁C间的距离。由AD·AA₁=A₁D·AE，可得AE=12／5。