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免费3.6二次函数的实际应用教材知识梳理中考数学教案学案网第六节二次函数的实际应用,河北8年中考命题规律)年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分2014 9 二次函数的实际应用 以正方形板材面积与成本关系为背景，利用二次函数关系求板材边长 3 32013 25 二次函数的实际应用 以运输为背景，给出几组数据，(1)求二次函数解析式；(2)(3)问通过二次函数解析式求某一点的值；(4)求使二次函数值保持不变的条件 12 122012 24(2) 一次函数、二次函数结合的实际应用 以工厂生产薄板为背景，(2)①求满足关系的二次函数解析式；②求最大利润 5 52011 8 二次函数的实际应用 以抛小球为背景，已知函数解析式求最大高度 2 22010 26(1)(2)(3) 一次函数、二次函数的实际应用 以销售节能产品为背景，(1)代入函数解析式求值；(2)求满足关系的二次函数解析式；(3)求利润最大时x的值及a的值 9 92009 9 二次函数的实际应用 以刹车为背景，已知刹车距离与刹车速度的二次函数解析式，求开始刹车时的速度 2 2命题规律 二次函数的实际应用为河北近8年中考每年的必考考点，题型一般为选择、解答题，分值为2－12分，在选择中考查比较简单，解答中综合性较强．纵观河北8年考查内容可以看出，常考类型有：(1)单纯二次函数的实际应用，其中在选择题中考查了3次，在解答题中考查了2次；(2)二次函数与一次函数结合，其中在解答题中考查了2次．近两年没考．    命题预测 预计2017年会以考查一次函数与二次函数结合的实际应用问题为主．一般设问求函数的解析式，然后通过解析式求最值问题，题型以解答题为主.    ,河北8年中考真题及模拟)二次函数的实际应用(6次)1．(2014河北9题3分)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为(A)A．6cmB．12cmC．24cmD．36cm2．(2009河北9题2分)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝120x2(x>0)．若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为(C)A．40m/sB．20m/sC．10m/sD．5m/s3．(2011河北8题2分)一个小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足下面函数关系式：h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(C)A．1mB．5mC．6mD．7m4．(2012河北24题9分)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间．每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例．每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长(cm) 20 30出厂价(元/张) 50 70(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润是26元(利润＝出厂价－成本价)．①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是－b2a，4ac－b24a]解：(1)设一张薄板的边长为xcm，出厂价为y元，则y＝2x＋10；(2)①设一张薄板的利润为w元，则w＝－125x2＋2x＋10；②出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．5．(2013河北25题12分)某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q＝W＋100，而W的大小与运输次数n及平均速度x(km/h)有关(不考虑其他因素)，W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．次数n 2 1速度x 40 60指数Q 420 100(1)用含x和n的式子表示Q；(2)当x＝70，Q＝450时，求n的值；(3)若n＝3，要使Q最大，确定x的值；(4)设n＝2，x＝40，能否在n增加m%(m>0)同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．[参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标是－b2a，4ac－b24a]解：(1)∴Q＝－110x2＋6nx＋100；(2)将x＝70，Q＝450代入Q＝－110x2＋6nx＋100中，得450＝－110×702＋6×70n＋100，解得n＝2；(3)当n＝3时，Q＝－110x2＋18x＋100＝－110(x－90)2＋910.∵－110<0，∴函数图象开口向下，有最大值，则当x＝90时，Q有最大值，即要使Q最大，x＝90；(4)由题意，得420＝－110[40(1－m%)]2＋6×2(1＋m%)×40(1－m%)＋100，即2(m%)2－m%＝0，解得m1＝50，m2＝0(舍去)，∴m＝50.,中考考点清单)二次函数的实际应用二次函数的实际应用为每年的必考点，题型多为选择、解答题，有以下两种常考类型：(1)单纯二次函数的实际应用；(2)与一次函数结合的实际应用．出题形式有三种：(1)以某种产品的销售为背景；(2)以公司的工作业绩为背景；(3)以某公司装修所需材料为背景．设问方式主要有：(1)列函数关系式并求值；(2)求最优解；(3)求最大利润及利润最大时自变量的值；(4)求最小值；(5)选择最优方案．解二次函数应用题步骤及关键点步骤 关键点(1)分析问题 明确题中的常量与变量及其它们之间的关系，确定自变量及函数(2)建立模型，确定函数解析式 根据题意确定合适的解析式或建立恰当的坐标系(3)求函数解析式 变量间的数量关系表示及自变量的取值范围续表(4)应用性质，解决问题 熟记顶点坐标公式或配方法，注意a的正负及自变量的取值范围【方法技巧】(1)利用二次函数解决实际生活中的利润问题，应理清变量所表示的实际意义，注意隐含条件的使用，同时考虑问题要周全，此类问题一般是运用"总利润＝总售价－总成本"或"总利润＝每件商品所获利润×销售数量"，建立利润与价格之间的函数关系式；(2)最值：若函数的对称轴在自变量的取值范围内，顶点坐标即为其最值，若顶点坐标不是其最值，那么最值可能为自变量两端点的函数值；若函数的对称轴不在自变量的取值范围内，可根据函数的增减性求解，再结合两端点的函数值对比，从而求解出最值．中考重难点突破)二次函数的实际应用【例】(2016石家庄二十八中二模)为满足市场需求，某超市在五月初五"端午节"来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元，超市规定每盒售价不得少于45元．根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒．(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？(3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？【解析】(1)根据"当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒"即可得出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式；(2)根据利润＝1盒粽子所获利的利润×销售量列式整理，再根据二次函数的最值问题解答；(3)先由(2)中所求得的P与x的函数关系式，根据这种粽子的每盒售价不得高于58元，且每天销售粽子的利润不低于6000元，求出x的取值范围，再根据(1)中，所求得的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式即可求解．【学生解答】解：(1)y＝700－20(x－45)＝－20x＋1600；(2)P＝(x－40)(－20x＋1600)＝－20x2＋2400x－64000＝－20(x－60)2＋8000.∵x≥45，a＝－20<0，∴当x＝60时，P最大＝8000.即当每盒售价定为60元时，每天销售的利润最大，最大利润为8000元；(3)由题意，得－20(x－60)2＋8000＝6000.解得x1＝50，x2＝70.∵抛物线P＝－20(x－60)2＋8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元．又∵x≤58，∴50≤x≤58.∵在y＝－20x＋1600中，k＝－20<0，∴y随x的增大而减小．∴当x＝58时，y最小＝－20×58＋1600＝440.即超市每天至少销售粽子440盒．(2016唐山九中二模)某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放，某日从上午7点至10点，每个普通售票窗口售出的车票数y1(张)与售票时间x(h)的变化趋势如图①，每个无人售票窗口售出的车票数y2(张)与售票时间x(h)的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图②.若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．(1)求图②中所确定抛物线的解析式；(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？解：(1)设y2＝ax2，当x＝2时，y2＝y1＝40.把(2，40)代入y2＝ax2，得a＝10.∴y2＝10x2；(2)设y1＝kx＋b(1≤x≤3)，把(1，0)，(2，40)分别代入y1＝kx＋b，得0＝k＋b，40＝2k＋b，解得k＝40，b＝－40，∴y1＝40x－40.当x＝3时，y1＝80，y2＝90.设需要开放m个普通售票窗口，∴80m＋90×5≥900，∴m≥558.∵m为整数，∴m≥6.答：至少需要开放6个普通售票窗口．,中考备考方略)1．(2016葫芦岛中考)小明开了一家网店，进行社会实践，计划经销甲、乙两种商品．若甲商品每件利润10元，乙商品每件利润20元，则每周能卖出甲商品40件，乙商品20件．经调查，甲、乙两种商品零售单价分别每降价1元，这两种商品每周可各多销售10件．为了提高销售量，小明决定把甲、乙两种商品的零售单价都降价x元．(1)直接写出甲、乙两种商品每周的销售量y(件)与降价x(元)之间的函数关系式：y甲＝__10x＋40__，y乙＝__10x＋20__；(2)求出小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润W(元)与降价x(元)之间的函数关系式．如果每周甲商品的销售量不低于乙商品的销售量的32，那么当x定为多少元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大？解：由题意得W＝(10－x)(10x＋40)＋(20－x)(10x＋20)＝－20x2＋240x＋800，由题意得10x＋40≥32(10x＋20)，解得x≤2，W＝－20x2＋240x＋800＝－20(x－6)2＋1520.∵a＝－20<0，∴当x<6时，W随x的增大而增大．∴当x＝2时，W的值最大．答：当x定为2元时，才能使小明每周销售甲、乙两种商品获得的总利润最大．2．(2016沧州九中模拟)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m，宽是4m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－16x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3m，到地面OA的距离为172m.(1)求该抛物线的关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6m，宽为4m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？解：(1)y＝－16x2＋2x＋4.∴当x＝－b2a＝6时，y最大＝10，即拱顶D到地面OA的距离为10m；(2)由题知车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，当x＝2或x＝10时，y＝223>6，∴能安全通过；(3)令y＝8，即－16x2＋2x＋4＝8，可得x2－12x＋24＝0，解得x1＝6＋23，x2＝6－23，x1－x2＝43.答：两排灯的水平距离最小是43m.3．(2016鄂州中考)鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y(kg)是销售单价x(元)的一次函数，且当x＝60时，y＝80；x＝50时，y＝100.在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．(1)求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求该公司销售该原料日获利W(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(3)当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，根据题意，得80＝60k＋b，100＝50k＋b，解得k＝－2，b＝200.∴y＝－2x＋200(30≤x≤60)；(2)由题意，得W＝(x－30)(－2x＋200)－450＝－2x2＋260x－6450，∴所求函数的关系式为W＝－2x2＋260x－6450(30≤x≤60)；(3)W＝－2(x－65)2＋2000.∵－2<0，∴当30≤x≤60时，y随x的增大而增大．∴当x＝60时，W有最大值为1950，∴当销售单价为60元时，该公司日获利最大，最大利润为1950元．4．(2016泉州中考)某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69m的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3m的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两位学生争议的情境：请根据上面的信息，解决问题：(1)设AB＝xm(x>0)，试用含x的代数式表示BC的长；(2)请你判断谁的说法正确，为什么？解：(1)72－2x；(2)小英说法正确．矩形面积S＝x(72－2x)＝－2(x－18)2＋648.∵72－2x>0，∴x<36，∴0<x<36，∴当x＝18时，S取得最大值．此时，x≠72－2x，∴面积最大的不是正方形．5．(2016保定八中二模)某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)、销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式；(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元；(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数解析式y1＝k1x＋b1.因为y1＝k1x＋b1的图象过点(0，60)与(90，42)，所以b1＝60，90k1＋b1＝42.解得k1＝－0.2，b1＝60.这个一次函数的解析式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)；(3)设y2与x之间的函数解析式为y2＝k2x＋b2.因为y2＝k2x＋b2的图象过点(0，120)与(130，42)，所以b2＝120，130k2＋b2＝42.解得k2＝－0.6，b2＝120.这个一次函数的解析式为y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．设产量为xkg时，获得的利润为W元．当0≤x≤90时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2250，所以当x＝75时，W的值最大，最大值为2250.当90≤x≤130时，W＝x[(－0.6x＋120)－42]＝－0.6(x－65)2＋2535.当x＝90时，W＝－0.6×(90－65)2＋2535＝2160.由－0.6<0知，当x>65时，W随x的增大而减小，所以90≤x≤130时，W≤2160.因此，当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大利润是2250元．6．(2016张家口九中二模)某企业接到一批粽子生产任务，按要求在15天内完成，约定这批粽子的出厂价为每只6元．为按时完成任务，该企业招收了新工人．设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只，y与x满足如下关系式：y＝54x，（0≤x≤5）30x＋120.（5<x≤15）(1)李明第几天生产的粽子数量为420只？(2)如图，设第x天每只粽子的成本是p元，p与x之间的关系可用图中的函数图象来刻画．若李明第x天创造的利润为W元，求W与x之间的函数解析式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？(利润＝出厂价－成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值，若要使第(m＋1)天的利润比第m天的利润至少多48元，则第(m＋1)天每只粽子至少应提价几元？解：(1)设李明第n天生产的粽子数量为420只，当0≤x≤5时，y最大＝270<420，∴30n＋120＝420，解得n＝10.[来源:学_科_网]答：李明第10天生产的粽子数量为420只；(2)由图象可知，当0≤x<9时，p＝4.1；当9≤x≤15时，设p＝kx＋b，把(9，4.1)，(15，4.7)代入，得9k＋b＝4.1，15k＋b＝4.7，解得k＝0.1，b＝3.2.∴p＝0.1x＋3.2.①当0≤x≤5时，W＝(6－4.1)·54x＝102.6x，当x＝5时，W最大＝513；②当5<x<9时，W＝(6－4.1)·(30x＋120)＝57x＋228，∵x是整数，∴当x＝8时，W最大＝684；③当9≤x≤15时，W＝(6－0.1x－3.2)·(30x＋120)＝－3x2＋72x＋336＝－3(x－12)2＋768.∵－3<0，∴当x＝12时，W最大＝768.综上所述，W与x之间的函数解析式为w＝102.6x（0≤x≤5），57x＋228（5<x<9），－3x2＋72x＋336（9≤x≤15）.第12天的利润最大，最大利润是768元；(3)由(2)知，m＝12，m＋1＝13，设第13天提价z元．由题意，得W13＝(6＋z－p)(30×13＋120)＝510(z＋1.5)，∴510(z＋1.5)－768≥48，解得z≥0.1.答：第13天至少应提价0.1元．