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免费3.5二次函数的图象及性质教材知识梳理中考数学教案学案网第五节二次函数的图象及性质,河北8年中考命题规律)年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分2016 26 二次函数的图象和性质 以二次函数反比例函数图象为背景以动线动点形式确定交点的取值范围 12 122015 25 二次函数解析式的确定及性质 给出抛物线经过三点坐标:(1)求二次函数解析式;(2)比较两点函数值的大小;(3)给出线段被分的比,求顶点的横坐标 11 112014 24 二次函数解析式的确定及图象的平移规律 以平面直角坐标系中的格点图为背景,(1)求二次函数解析式及顶点坐标;(2)求二次函数解析式并判断点是否在函数图象上;(3)写出满足经过九个格点中的三个的所有抛物线条数 11 112013 20 二次函数的图象及性质 以二次函数图象旋转为背景,求某段函数图象上点的纵坐标 3 32012 12 二次函数的图象及性质 给出平面直角从坐标系中两个相交的二次函数图象,根据图形性质判断结论的正确性 3 32010 11 二次函数的图象及性质 根据二次函数的对称性,求某一点关于对称轴对称的点坐标 3 32009 22(1)(3) 二次函数的图象及性质 结合含有两个未知系数的抛物线解析式及抛物线上的两点,(1)求二次函数最小值及t的值;(3)直接写出满足条件的t的值 5 5 22(2) 二次函数的图象及性质 结合含有两个未知系数的抛物线解析式及抛物线上的两点,(2)求二次函数系数的值及开口方向 4 4 命题规律 二次函数的图象及性质在中考中一般设置1道题,分值为2~11分,在选择、填空和解答题中均有涉及.分析近8年河北中考试题可以看出,本课时常考类型有:(1)二次函数解析式的确定(在解答题中考查了3次);(2)二次函数图象的分析与判断(在选择题中考查了2次);(3)以二次函数图象及性质的相关计算(在选择题中考查了2次,在填空题中考查了1次,在解答题中考查了1次);(4)以二次函数、反比例函数为背景,涉及动线动点问题.(2016年) 命题预测 预计2017年中考,对于二次函数的考查以增减性、最值、函数图象判断以动点的坐标变化. ,河北8年中考真题及模拟)二次函数的图象及性质(6次)1.(2010河北11题3分)如图,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2,点A,B均在抛物线上,且AB与x轴平行,其中点A的坐标为(0,3),则点B的坐标为(D)A.(2,3)B.(3,2)C.(3,3)D.(4,3)(第1题图)(第2题图)2.(2012河北12题3分)如图,抛物线y1=a(x+2)2-3与y2=12(x-3)2+1交于点A(1,3),过点A作x轴的平行线,分别交两条抛物线于点B,C.则以下结论:①无论x取何值,y2的值总是正数;②a=1;③当x=0时,y2-y1=4;④2AB=3AC.其中正确结论是(D)A.①②B.②③C.③④D.①④3.(2014河北24题11分)如图,2×2网格(每个小正方形的边长为1)中有A,B,C,D,E,F,G,H,O九个格点.抛物线l的解析式为y=(-1)nx2+bx+c(n为整数).(1)n为奇数,且l经过点H(0,1)和C(2,1),求b,c的值,并直接写出哪个格点是该抛物线的顶点;(2)n为偶数,且l经过点A(1,0)和B(2,0),通过计算说明点F(0,2)和H(0,1)是否在该抛物线上;(3)若l经过这九个格点中的三个,直接写出所有满足这样条件的抛物线条数.解:(1)b=2,c=1,E(1,2)是抛物线l的顶点;(2)点F(0,2)在抛物线y=x2-3x+2的图象上,点H(0,1)不在抛物线y=x2-3x+2的图象上;(3)所有满足条件的抛物线共有8条.二次函数解析式的确定(2次)4.(2016保定十七中模拟)如图,正方形ABCD的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直.若小正方形的边长为x,且0<x≤10,阴影部分的面积为y,则能反映y与x之间函数关系的大致图象是(D),A),B),C),D)5.(2016河北沧州十四中一模)已知二次函数y=x2-4x+5,函数的顶点坐标为(B)A.(-2,-1)B.(2,1)C.(2,-1)D.(-2,1)6.(2016河北石家庄二十八中一模)如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的解析式是(C)A.y=(x-1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=x2+1D.y=x2+37.(2016河北石家庄四十一中一模)将二次函数y=x2-2x+3化为y=(x-h)2+k的形式,结果为(D)A.y=(x+1)2+4B.y=(x+1)2+2C.y=(x-1)2+4D.y=(x-1)2+28.(2016河北保定十三中一模)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则在同一坐标系中,一次函数y=ax+c和反比例函数y=ax的图象大致是(D),A),B),C),D)9.(2016河北石家庄四十三中一模)已知二次函数y=2(x-3)2+1.下列说法:①其图象的开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③其图象顶点坐标为(3,-1);④当x<3时,y随x的增大而减小.其中说法正确的有(A)A.1个B.2个C.3个D.4个10.(2016河北邯郸二十三中二模)二次函数y=ax2+bx+1(a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(-1,0).设t=a+b+1,则t值的变化范围是(B)A.0<t<1B.0<t<2C.1<t<2D.-1<t<111.(2016河北保定十七中一模)已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为(m,0),则代数式m2-m+2015的值为__2__016__.12.(2016河北唐山五十四中二模)抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x … -2 -1 0 1 2 …y … 0 4 6 6 4 …由上表可知,下列说法中正确的有__①③④__.(填序号)①抛物线与x轴的一个交点为(3,0);②函数y=ax2+bx+c的最大值为6;③抛物线的对称轴是直线x=12;④在对称轴左侧,y随x增大而增大.13.(2016石家庄二十八中一模)已知抛物线y=ax2+bx经过点A(-3,-3)和点P(t,0),且t≠0.(1)若该抛物线的对称轴经过点A,如图,请通过观察图象,指出此时y的最小值,并写出t的值;(2)若t=-4,求a,b的值,并指出此时抛物线的开口方向;(3)直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值.解:(1)-3;-6;(2)a=1,b=4,开口向上;(3)-1.(答案不唯一,写出t>-3且t≠0或其中任意一个数均可)14.(2015河北25题11分)如图,已知点O(0,0),A(-5,0),B(2,1),抛物线l:y=-(x-h)2+1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B,求它的解析式,并写出此时l的对称轴及顶点坐标;(2)设点C的纵坐标为yC,求yC的最大值,此时l上有两点(x1,y1),(x2,y2),其中x1>x2≥0,比较y1与y2的大小;(3)当线段OA被l只分为两部分,且这两部分的比是1∶4时,求h的值.解:(1)把x=2,y=1代入y=-(x-h)2+1,得h=2.∴解析式为y=-(x-2)2+1(或y=-x2+4x-3).对称轴为直线x=2,顶点B(2,1);(2)点C的横坐标为0,则yC=-h2+1,∴当h=0时,yC有最大值为1.此时,l为y=-x2+1,对称轴为y轴,当x≥0时,y随着x的增大而减小,∴x1>x2≥0时,y1<y2;(3)把OA分1∶4两部分的点为(-1,0)或(-4,0).把x=-1,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=0或h=-2.但h=-2时,OA被分为三部分,不合题意,舍去.同样,把x=-4,y=0代入y=-(x-h)2+1,得h=-5或h=-3(舍去).∴h的值为0或-5.,中考考点清单)二次函数的概念及解析式1.定义:一般地,如果两个变量x和y之间的函数关系,可以表示成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,且a≠0),那么称y是x的二次函数,其中,a叫做二次项系数,b叫作一次项系数,c叫做常数项.2.三种表示方法:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k);(3)交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.3.三种解析式之间的关系顶点式――→确定一般式――→因式分解两点式4.二次函数解析式的确定(1)求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法,根据所给条件的不同,要灵活选用函数解析式;A.当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c形式;B.当已知抛物线的顶点或对称轴时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k形式;C.当已知抛物线与x轴的交点或交点横坐标时,通常设为两点式y=a(x-x1)(x-x2).(2)步骤:①设二次函数的解析式;②根据已知条件,得到关于待定系数的方程组;③解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的解析式.二次函数的图象及其性质(高频考点)二次函数的图象及其性质近8年考查了6次(除动态问题),三大题型均有涉及.结合的背景有:(1)与规律探索结合的旋转抛物线;(2)以两个抛物线结合为背景;(3)与正方形结合.设问方式有:(1)求点坐标;(2)判断结论的正误;(3)判断不符合条件的函数图象;(4)求解析式;(5)求最值.5.图象性质函数 二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 图象
对称轴 直线x=①__-b2a__直线x=-b2a
顶点坐标 (-b2a,4ac-b24a)(-b2a,4ac-b24a)
增减性 在对称轴的左侧,即x<-b2a时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>-b2a时,y随x的增大而增大,简记为左减右增 在对称轴的左侧,即当x<-b2a时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>-b2a时,y随x的增大而减小,简记为左增右减最值 抛物线有最低点,当②__x=-b2a__时,y有最小值,y最小值=4ac-b24a抛物线有最高点,当x=-b2a时,y有最大值,y最大值=③__4ac-b24a__
6.系数a,b,c与二次函数的图象关系项目字母 字母的符号 图象的特征a a>0 开口向上 a<0 ④__开口向下__ b b=0 对称轴为y轴 ab>0(b与a同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(b与a异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 ⑤__经过原点__ c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点(顶点) b2-4ac>0 与x轴有两个不同交点 b2-4ac<0 与x轴没有交点 特殊关系 当x=1时,y=a+b+c 当x=-1时,y=a-b+c 若a+b+c>0,即x=1时,y>0 若a-b+c>0,即x=-1时,y>0 二次函数图象的平移7.平移步骤:(1)将抛物线解析式转化为顶点式y=a(x-h)2+k,确定其顶点坐标;(2)保持抛物线的形状不变,平移顶点坐标(h,k)即可.8.平移规律:移动方向 平移前的解析式 平移后的解析式 规律向左平移m个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h+m)2+k 左加向右平移m个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h-m)2+k 右减向上平移m个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2+k+m 上加向下平移m个单位 y=a(x-h)2+k y=a(x-h)2+k-m 下减口诀:左加右减、上加下减 二次函数与一元二次方程的关系9.当抛物线与x轴有两个交点时,两交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个不相等的实数根.10.当抛物线与x轴只有一个交点时,该交点的横坐标就是对应的一元二次方程的两个相等的实数根.11.当抛物线与x轴没有交点时,对应的一元二次方程无实数根.,中考重难点突破)二次函数的图象及性质【例1】(2016泰安中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么一次函数y=ax+b的图象大致是(),A),B),C),D)【解析】∵y=ax2+bx+c的图象的开口向上,∴a>0,∵对称轴在y轴的左侧,∴b>0,∴一次函数y=ax+b的图象经过一,二,三象限.故选A.【学生解答】A1.(2016益阳中考)关于抛物线y=x2-2x+1,下列说法错误的是(D)A.开口向上B.与x轴有两个重合的交点C.对称轴是直线x=1D.当x>1时,y随x的增大而减小抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与a,b,c的关系【例2】(2016达州中考)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=1,下列结论:①abc>0;②4a+2b+c>0;③4ac-b2<8a;④13<a<23;⑤b>c.其中含所有正确结论的选项是()A.①③B.①③④C.②④⑤D.①③④⑤【解析】①∵函数开口方向向上,∴a>0;∵对称轴在原点右侧,∴ab异号,∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴,∴c<0,∴abc>0,故①正确;②∵图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,∴图象与x轴的另一个交点为(3,0),∴当x=2时,y<0,∴4a+2b+c<0,故②错误;③∵图象与x轴交于点A(-1,0),∴当x=-1时,y=(-1)2a+b×(-1)+c=0,∴a-b+c=0,即a=b-c,c=b-a,∵对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,即b=-2a,∴c=b-a=(-2a)-a=-3a,∴4ac-b2=4·a·(-3a)-(-2a)2=-16a2<0,∵8a>0,∴4ac-b2<8a.故③正确;④∵图象与y轴的交点B在(0,-2)和(0,-1)之间,∴-2<c<-1,∴-2<-3a<-1,∴23>a>13;故④正确;⑤∵a>0,∴b-c>0,即b>c;故⑤正确;故选D.【学生解答】D2.(2016烟台中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②a+c>b;③2a+b>0.其中正确的有(B)A.①②B.①③C.②③D.①②③(第2题图)(第3题图)3.(2016兰州中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,对称轴是直线x=-1,有以下结论:①abc>0;②4ac<b2;③2a+b=0;④a-b+c>2.其中正确的结论的个数是(C)A.1个B.2个C.3个D.4个二次函数解析式的确定【例3】(2016承德二中模拟)如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点.(1)求二次函数的解析式;(2)设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D,求点D的坐标;(3)在同一坐标系中画出直线y=x+1,并写出当x在什么范围内时,一次函数的值大于二次函数的值.【解析】(1)根据二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,代入得出关于a,b,c的三元一次方程组,求得a,b,c,从而得出二次函数的解析式;(2)令y=0,解一元二次方程,求得x的值,从而得出与x轴的另一个交点坐标;(3)画出图象,再根据图象直接得出答案.【学生解答】(1)∵二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(2,0),B(0,-1)和C(4,5)三点,∴4a+2b+c=0,c=-1,16a+4b+c=5,∴a=12,b=-12,c=-1,∴二次函数的解析式为y=12x2-12x-1;(2)当y=0时,得12x2-12x-1=0,解得x1=2,x2=-1,∵点A的坐标为(2,0),∴点D坐标为(-1,0);(3)图象如图,当一次函数的值大于二次函数的值时,x的取值范围是-1<x<4.4.(2016邯郸二十三中模拟)已知二次函数y=x2-4x+3.(1)用配方法求其函数图象的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而增减的情况;(2)求函数图象与x轴的交点A,B的坐标,及△ABC的面积.解:(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1.∴其函数的顶点C的坐标为(2,-1).∴当x<2时,y随x的增大而减小;当x>2时,y随x的增大而增大.(2)令y=0,则x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.∴当点A在点B左侧时,A(1,0),B(3,0);当点A在点B右侧时,A(3,0),B(1,0).∴AB=|1-3|=2.过点C作CD⊥x轴于D,则△ABC的面积=12AB·CD=12×2×1=1.,中考备考方略)1.(2015兰州中考)在下列二次函数中,其图象的对称轴为直线x=-2的是(A)A.y=(x+2)2B.y=2x2-2C.y=-2x2-2D.y=2(x-2)22.(2016成都中考)二次函数y=2x2-3的图象是一条抛物线,下列关于该抛物线的说法,正确的是(D)A.抛物线开口向下B.抛物线经过点(2,3)C.抛物线的对称轴是直线x=1D.抛物线与x轴有两个交点3.(2016石家庄二十八中二模)二次函数y=x2-2x+4化为y=a(x-h)2+k的形式,下列正确的是(B)A.y=(x-1)2+2B.y=(x-1)2+3C.y=(x-2)2+2D.y=(x-2)2+44.(2016滨州中考)抛物线y=2x2-22x+1与坐标轴的交点个数是(C)A.0个B.1个C.2个D.3个5.(2016天津中考)已知二次函数y=(x-h)2+1(h为常数),在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下,与其对应的函数值y的最小值为5,则h的值为(B)A.1或-5B.-1或5C.1或-3D.1或36.(2016黄石中考)以x为自变量的二次函数y=x2-2(b-2)x+b2-1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围是(A)A.b≥54B.b≥1或b≤-1C.b≥2D.1≤b≤27.(2016河南中考)已知A(0,3),B(2,3)是抛物线y=-x2+bx+c上两点,该抛物线的顶点坐标是__(1,4)__.8.(2016龙东中考)如图,二次函数y=(x+2)2+m的图象与y轴交于点C,点B在抛物线上,且与点C关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(-1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围.解:(1)由题意,得(-1+2)2+m=0.∴m=-1.二次函数的解析式为y=(x+2)2-1,即y=x2+4x+3.∴C(0,3),∴B(-4,3).∵y=kx+b经过点A,B.∴-4k+b=3,-k+b=0,解得k=-1,b=-1,∴一次函数解析式为y=-x-1;(2)满足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范围为x≤-4或x≥-1.9.(2016滨州中考)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点旋转180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式是(A)A.y=-x-522-114B.y=-x+522-114C.y=-x-522-14D.y=-x+522+1410.(2016龙岩中考)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a-b+c|+|2a+b|=(D)A.a+bB.a-2bC.a-bD.3a11.(2016随州中考)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④若点A(-3,y1),点B-12,y2,点C72,y3在该函数图象上,则y1<y3<y2;⑤若方程a(x+1)(x-5)=-3的两根为x1和x2,且x1<x2,则x1<-1<5<x2,其中正确的结论有(B)A.2个B.3个C.4个D.5个12.(2016石家庄四十一中一模)如图,将抛物线l:y=ax2-2x+a2-4(a为常数)向左并向上平移,使顶点Q的对应点Q′,抛物线l与x轴的右交点P的对应点P′分别在两坐标轴上,则抛物线l与x轴的左交点E的对应点的坐标为(A)A.(-1,12)B.(0,0)C.(-12,1)D.(-12,0)13.(2016秦皇岛二模)如图,在等腰△ABC中,AB=AC=4cm,∠B=30°,点P从点B出发,以3cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止,同时点Q从点B出发,以1cm/s的速度沿BA-AC方向运动到点C停止,若△BPQ的面积为y(cm2),运动时间为x(s),则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是(D),A),B),C),D)14.(2016原创)如图为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,则下列说法:①a>0;②2a+b=0;③a+b+c>0;④当-1<x<3时,y>0.其中正确结论的个数为(C)A.1个B.2个C.3个D.4个15.(2016菏泽中考)如图,一段抛物线:y=-x(x-2)(0≤x≤2)记为C1,它与x轴交于两点O,A1;将C1绕A1旋转180°得到C2,交x轴于A2;将C2绕A2旋转180°得到C3,交x轴于A3;…如此进行下去,直至得到C6,若点P(11,m)在第6段抛物线C6上,则m=__-1__.16.(2016安顺中考)如图,抛物线y=ax2+bx+52与直线AB交于点A(-1,0),B(4,52).点D是抛物线A,B两点间部分上的一个动点(不与点A,B重合),直线CD与y轴平行,交直线AB于点C,连接AD,BD.(1)求抛物线的解析式;(2)设点D的横坐标为m,△ADB的面积为S,求S关于m的函数关系式,并求出当S取最大值时的点C的坐标.解:(1)y=-12x2+2x+52;(2)设直线AB为:y=kx+b,则有-k+b=0,4k+b=52.解得k=12,b=12.∴y=12x+12.则:D(m,-12m2+2m+52),C(m,12m+12),CD=(-12m2+2m+52)-(12m+12)=-12m2+32m+2.∴S=12(m+1)·CD+12(4-m)·CD=12×5×CD=12×5×(-12m2+32m+2)=-54m2+154m+5.∵-54<0,∴当m=32时,S有最大值.当m=32时,12m+12=12×32+12=54.∴点C(32,54).
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