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免费连云港市中考数学一模试卷含答案解析中考数学试题试卷网2016年江苏省连云港市灌云县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．﹣2016的绝对值是（）A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣2．下列图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．2015年，第六次人口普查数据显示，全国跨县市区居住半年以上的人口达1.7056亿．1.7056亿用科学记数法表示为（）人．A．1.7056×104 B．0.17056×105 C．1.7056×108 D．17056×1044．cos60°的值等于（）A． B． C．1 D．5．下列运算正确的是（）A．﹣22+（π﹣3.14）0=5 B．C．x2ox3=x5 D．ab2+a2b=a3b36．如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm27．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是（）A． B． C． D．8．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2+bx+c的图象，则下列式子能成立的是（）A．abc＞0 B．a+b+c＜0 C．b＜a+c D．4a+2b+c＞0二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）9．计算：=．10．因式分解：a2b+ab2=．11．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（1，c）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则用"＜"连接a，b，c的大小关系为．12．若分式有意义，则实数x的取值范围是．13．已知x+y=﹣5，xy=6，则x2+y2=．14．"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于．15．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于度．16．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°，则∠2=度．三、解答题（本题共11小题，共102分）17．计算：2﹣2﹣（﹣π）0+2tan45°．18．．19．当x为何值时，分式的值比分式的值大3？20．（8分）如图，ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）求证：DE=EF+FB．21．典典同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）典典同学共调查了名居民的年龄，扇形统计图中a=，b=；（2）补全条形统计图；（3）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有3500人，请估计年龄在15～59岁的居民的人数．22．一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个小球是白球的概率；（2）摸出1个小球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个小球．求两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．（要求画树状图或列表）23．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2010年年底拥有家庭轿车64辆，2012年年底家庭轿车的拥有量达到100辆．（1）若该小区2010年年底到2013年年底家庭轿车拥有量的平均增长率都相同，求该小区到2013年年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个，试写出所有可能的方案．24．我市在城市建设中，要折除旧烟囱AB（如图所示），在烟囱正西方向的楼CD的顶端C，测得烟囱的顶端A的仰角为45°，底端B的俯角为30°，已量得DB=21m．（1）在原图上画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小；（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱正东35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．（≈1.732）25．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．26．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．27．如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．（1）当PQ∥AD时，x的值等于；（2）如图2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE=y，求y关于x的函数关系式；（3）在问题（2）中，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？2016年江苏省连云港市灌云县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分）1．﹣2016的绝对值是（）A．2016 B．﹣2016 C． D．﹣【考点】绝对值．【分析】根据正数的绝对值是本身，0的绝对值为0，负数的绝对值是其相反数．【解答】解：∵﹣2016的绝对值等于其相反数，∴﹣2016的绝对值是2016．故选A．【点评】本题考查了绝对值，解决本题的关键是明确绝对值的定义．2．下列图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、是中心对称图形，故本选项正确；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选C．【点评】本题考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．3．2015年，第六次人口普查数据显示，全国跨县市区居住半年以上的人口达1.7056亿．1.7056亿用科学记数法表示为（）人．A．1.7056×104 B．0.17056×105 C．1.7056×108 D．17056×104【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：1.7056亿用科学记数法表示为：1.7056×108．故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．cos60°的值等于（）A． B． C．1 D．【考点】特殊角的三角函数值．【专题】计算题．【分析】直接根据特殊角的三角函数值进行计算即可．【解答】解：cos60°=．故选A．【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各角的三角函数值是解答此题的关键．5．下列运算正确的是（）A．﹣22+（π﹣3.14）0=5 B．C．x2ox3=x5 D．ab2+a2b=a3b3【考点】负整数指数幂；同底数幂的乘法；零指数幂．【分析】利用同底数幂的乘法法则计算．【解答】解：A、﹣22+（π﹣3.14）0=﹣4+1=﹣3，故不对；B、，故不对；C、运用同底数幂的乘法法则，底数不变指数相加，故正确，D、不是同类项，不能合并，故错误；故选C．【点评】一个非0数的负指数次幂应是正指数次幂的倒数，它的0次幂是1．注意不是同类项一定不能合并．6．如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（）A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2【考点】圆锥的计算．【专题】压轴题．【分析】扇形的面积公式=，把相应数值代入求解即可．【解答】解：圆锥的侧面积==12πcm2，故选D．【点评】本题利用了扇形的面积公式求解．7．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是（）A． B． C． D．【考点】几何概率．【专题】计算题．【分析】根据几何概率的定义，分别求出两圆中2所占的面积，即可求出针头扎在阴影区域内的概率．【解答】解：指针指向（1）中2的概率是，指针指向（2）中2的概率是，指针所指区域内的数字之和为4的概率是×=．故选B．【点评】此题考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．两步完成的事件的概率=第一步事件的概率与第二步事件的概率的积．8．如图，坐标系中抛物线是函数y=ax2+bx+c的图象，则下列式子能成立的是（）A．abc＞0 B．a+b+c＜0 C．b＜a+c D．4a+2b+c＞0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】推理填空题．【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x=1或﹣1或2进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由函数图象开口向下可知，a＜0，由图象与y轴的交点在y轴正半轴可知，c＞0，由对称轴x=﹣=1，a＜0，可知b＞0，所以abc＜0，故A选项错误；②当x=﹣1时，对应得到a﹣b+c＜0，a+c＜b，故C选项错误；③当x=1时，对应得到a+b+c＞0，故B选项错误；④当x=2时，对应得到4a+2b+c＞0，故D选项正确．故选：D．【点评】本题主要考二次函数图象与系数之间的关系，解决问题的关键是利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数特殊值的运用．二、填空题（本大题8个小题，每小题3分，共24分）9．计算：=．【考点】二次根式的加减法．【专题】计算题．【分析】先化简=2，再合并同类二次根式即可．【解答】解：=2﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了二次根式的加减，属于基础题型．10．因式分解：a2b+ab2=ab（a+b）．【考点】因式分解-提公因式法．【分析】观察发现多项式的各项有公因式ab，直接提取公因式ab即可．【解答】解：a2b+ab2=aboa+abob=ab（a+b），故答案为：ab（a+b）．【点评】此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是掌握找公因式的方法：①系数应取各项系数的最大公约数；②字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；③取相同的多项式，多项式的次数取最低的．11．若点A（﹣2，a），B（﹣1，b），C（1，c）都在反比例函数y=（k＜0）的图象上，则用"＜"连接a，b，c的大小关系为c＜a＜b．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．【专题】函数思想．【分析】反比例函数y=﹣（k≠0，k为常数）中，当k＞0时，双曲线在第一，三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时，双曲线在第二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据这个判定则可．【解答】解：因为k＜0，点A，B同象限，y随x的增大而增大，﹣2＜﹣1，所以0＜a＜b，又因为c＜0，所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查了由反比例函数图象的性质判断函数图象上点的坐标特征，同学们应重点掌握．12．若分式有意义，则实数x的取值范围是x≠5．【考点】分式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】由于分式的分母不能为0，x﹣5为分母，因此x﹣5≠0，解得x．【解答】解：∵分式有意义，∴x﹣5≠0，即x≠5．故答案为：x≠5．【点评】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．13．已知x+y=﹣5，xy=6，则x2+y2=13．【考点】完全平方公式．【分析】把x+y=﹣5两边平方，根据完全平方公式和已知条件即可求出x2+y2的值．【解答】解：∵x+y=﹣5，∴（x+y）2=25，∴x2+2xy+y2=25，∵xy=6，∴x2+y2=25﹣2xy=25﹣12=13．故答案为：13．【点评】本题考查了完全平方公式，完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2倍；其符号与左边的运算符号相同．14．"赵爽弦图"是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα的值等于．【考点】解直角三角形．【分析】由题意知小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2=102，解方程求得x=6，从而求出较长边的长度．运用正切函数定义求解．【解答】解：由题意知，小正方形的边长为2，大正方形的边长为10．设直角三角形中较小边长为x，则有（x+2）2+x2=102，解得，x=6．∴较长边的边长为x+2=8．∴tanα=短边：长边=6：8=．【点评】此题首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和锐角三角函数的概念解题．15．若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于1800度．【考点】多边形内角与外角．【专题】计算题．【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）o180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．【解答】解：多边形的边数：360°÷30°=12，正多边形的内角和：（12﹣2）o180°=1800°．【点评】根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．16．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=32°，则∠2=58度．【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】根据直角三角形的性质及直尺的两边相互平行解答即可．【解答】解：如图，∵AB∥CD，∴∠2=∠3，∵∠1+∠3=90°，∠1=32°，∴∠2=∠3=90°﹣32°=58°．【点评】本题重点考查了平行线及直角板的性质，是一道较为简单的题目．三、解答题（本题共11小题，共102分）17．计算：2﹣2﹣（﹣π）0+2tan45°．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】首先分别计算负整数指数幂、零次幂和特殊角的三角函数，然后再计算有理数的乘法和加减即可．【解答】解：原式=﹣1+2×1=．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】先进行除法运算，再减法．【解答】解：原式==1﹣==．故答案为．【点评】本题主要考查分式的混合运算的知识点，分式的混合运算要注意运算顺序，把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后进行减法运算．19．当x为何值时，分式的值比分式的值大3？【考点】解分式方程．【分析】首先根据题意可得分式方程﹣=3，解此分式方程即可求得答案，注意分式方程需检验．【解答】解：根据题意得：﹣=3，方程两边同乘以2﹣x，得：3﹣x+1=3（2﹣x），解得x=1．检验：当x=1时，2﹣x=1≠0，即x=1是原方程的解，即当x=1时，分式的值比分式的值大3．【点评】此题考查了分式方程的应用．此题比较简单，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根．20．如图，ABCD是正方形，G是BC上的一点，DE⊥AG于E，BF⊥AG于F．（1）求证：△ABF≌△DAE；（2）求证：DE=EF+FB．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）ABCD是正方形得到∠BAF+∠DAE=90°又∠ADE+∠DAE=90°，∴∠BAF=∠ADE，加上AB=DA，∠AFB=∠DEA，就可以证明△ABF≌△DAE；（2）由△ABF≌△DAE?DE=AF=EF+AE，所以FB=AE，所以DE=EF+FB．【解答】证明：（1）∵DE⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠AFB=90°．（1分）∵ABCD是正方形，DE⊥AG，∴∠BAF+∠DAE=90°，∠ADE+∠DAE=90°．∴∠BAF=∠ADE．（2分）又在正方形ABCD中，AB=AD，在△ABF与△DAE中，∠AFB=∠DEA=90°，∠BAF=∠ADE，AB=DA，∴△ABF≌△DAE．（5分）（2）∵△ABF≌△DAE，∴AE=BF，DE=AF．又AF=AE+EF，∴AF=EF+FB．∴DE=EF+FB．（7分）【点评】本题考查了正方形的性质和全等三角形的性质，多次转换线段，难度中等．21．（2008o武汉）典典同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）典典同学共调查了500名居民的年龄，扇形统计图中a=20%，b=12%；（2）补全条形统计图；（3）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有3500人，请估计年龄在15～59岁的居民的人数．【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．【专题】图表型．【分析】（1）根据"15～40"的百分比和频数可求总数，进而求出b的值，最后求出a；（2）利用总数和百分比求出频数再补全条形图；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）根据"15到40"的百分比为46%，频数为230人，可求总数为230÷46%=500，a=×100%=20%，b=×100%=12%；故答案为：20%；12%；（2）；（3）在扇形图中，0～14岁的居民占20%，有3500人，则年龄在15～59岁的居民占（1﹣20%﹣12%）=68%，人数为3500×=11900．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图中各部分占总体的百分比之和为1，直接反映部分占总体的百分比大小．22．一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，它们除颜色外其余都相同．（1）求摸出1个小球是白球的概率；（2）摸出1个小球，记下颜色后放回，并搅均，再摸出1个小球．求两次摸出的小球恰好颜色不同的概率．（要求画树状图或列表）【考点】列表法与树状图法；概率公式．【分析】（1）由一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次摸出的小球恰好颜色不同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）∵一个不透明的布袋里装有3个小球，其中2个红球，1个白球，∴P（摸出1个小球是白球）=；（2）列表得： 红1 红2 白红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白）红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白）白 （白，红1） （白，红2） （白，白）∵所有等可能情况一共有9种，其中颜色恰好不同有4种，∴P（两次摸出的小球恰好颜色不同）=．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．23．随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2010年年底拥有家庭轿车64辆，2012年年底家庭轿车的拥有量达到100辆．（1）若该小区2010年年底到2013年年底家庭轿车拥有量的平均增长率都相同，求该小区到2013年年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个，试写出所有可能的方案．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】增长率问题．【分析】（1）增长率的问题，用解增长率问题的模型解答；（2）根据两种车位数量是未知数，建立等式和不等式两种关系，而车位数为整数，变无数解为有限解．【解答】解：（1）设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x，则64（1+x）2=100解得x==25%，或x=﹣（不合题意，舍去）∴100（1+25%）=125答：该小区到2009年底家庭轿车将达到125辆；（2）设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则，由①得b=150﹣5a代入②得20≤a≤，∵a是正整数∴a=20或21当a=20时b=50，当a=21时b=45．∴方案一：建室内车位20个，露天车位50个；方案二：室内车位21个，露天车位45个．【点评】考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式组的应用，解答综合题，需要由浅入深，认真读题，理解题意，合理设未知数，分步解答．24．我市在城市建设中，要折除旧烟囱AB（如图所示），在烟囱正西方向的楼CD的顶端C，测得烟囱的顶端A的仰角为45°，底端B的俯角为30°，已量得DB=21m．（1）在原图上画出点C望点A的仰角和点C望点B的俯角，并分别标出仰角和俯角的大小；（2）拆除时若让烟囱向正东倒下，试问：距离烟囱正东35m远的一棵大树是否被歪倒的烟囱砸着？请说明理由．（≈1.732）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）向上的视线与水平线的夹角为仰角；向下的视线与水平线的夹角为俯角．（2）过点C作CG⊥AB于点G．把求AB的问题转化求AG与BG的长，从而可以在△ACG和△BCG中利用三角函数求解．【解答】解：（1）如图所示．（2）这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．∵在RT△AGC中，∠ACG=45°．∴AG=CG=DB=21（m）．在Rt△BCG中，BG=CG×tan30°=DB×tan30°=21×=7．（m）∴烟囱的高度AB=21+7≈33.124（m）．∵33.124m＜35m．∴这棵大树不会被歪倒的烟囱砸着．【点评】解决一般三角形的问题，可以转化为直角三角形的问题，转化的方法是作高线．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题；压轴题．【分析】（1）根据正方形的性质得出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求函数解析式解答；（2）令y=0求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再根据y＞0，二次函数图象在x轴的上方写出x的取值范围即可．【解答】解：（1）∵正方形OABC的边长为2，∴点B、C的坐标分别为（2，2），（0，2），∴，解得，∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+2；（2）令y=0，则﹣x2+x+2=0，整理得，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，∴二次函数与x轴的交点坐标为（﹣1，0）、（3，0），∴当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．【点评】本题综合考查了二次函数，正方形的性质，待定系数法求函数解析式，根据正方形的性质求出点B、C的坐标是解题的关键，也是本题的突破口，本题在此类题目中比较简单．26．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AE=8，⊙O的半径为5，求DE的长．【考点】切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】（1）直线DE与圆O相切，理由为：连接OD，由AD为角平分线得到一对角相等，再由OA=OD，根据等边对等角得到一对角相等，等量代换可得出一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行得出OD平行于AE，由∠AED为直角，得到∠ODE为直角，即DE垂直于OD，可得出DE为圆O的切线；（2）法1：过D作DF垂直于AB，交AB于点F，又AE垂直于ED，得到一对直角相等，再由AD为角平分线得到一对角相等，且AD为公共边，利用AAS三角形ADE与三角形ADF全等，根据全等三角形的对应边相等可得出AE=AF，DE=DF，由AF﹣OA求出OF的长，在直角三角形PDF中，由OD及OF的长，利用勾股定理求出DF的长，即为DE的长；法2：连接DB，由AB为圆O的直径，根据直径所对的角为直角得到一个直角，再由AE垂直于ED得到两一个直角，两直角相等，再加上AD为角平分线得到一对角相等，利用两对对应角相等的两数三角形相似可得出三角形AED与三角形ABD相似，由相似得比例，将AE及AB的长代入求出AD的长，在直角三角形ADE中，由AD及AE的长，利用勾股定理即可求出DE的长；法3：过O作OF垂直于AD，根据垂径定理得到F为AD的中点，且得到一个角为直角，再由DE垂直于AE得到另一个角为直角，进而得到两直角相等，再由AD为角平分线得到的一对角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形AED与三角形AOF相似，根据相似得比例，将AE及OA的长代入，得到关于AD的方程，求出方程的解得到AD的长，在直角三角形AED中，由AE及AD的长，利用勾股定理即可求出ED的长．【解答】解：（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：连接OD，如图所示：∵AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠OAD，∵OA=OD，∴∠ODA=∠OAD，∴∠ODA=∠EAD，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切；（2）法1：如图，作DF⊥AB，垂足为F，∴∠DFA=∠DEA=90°，∵AD为角平分线，∴∠EAD=∠FAD，在△EAD和△FAD中，∵，∴△EAD≌△FAD（AAS），又AE=8，∴AF=AE=8，DF=DE，∵OA=OD=5，∴OF=AF﹣OA=8﹣5=3，在Rt△DOF中，OD=5，OF=3，根据勾股定理得：DF==4，则DE=DF=4；法2：如图，连接DB，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∠AED=90°，∴∠ADB=∠AED，又∠EAD=∠DAB，∴△EAD∽△DAB，又AE=8，BA=2OA=10，∴=，即=，解得：DA=4，在Rt△ADE中，AE=8，AD=4，DE==4；法3：如图，作OF⊥AD，垂足为F，∴AF=AD，∠AFO=∠AED=90°，∵∠EAD=∠FAO，∴△EAD∽△FAO，∴=，又AE=8，OA=5，AF=AD，∴=，解得：DA=4，在Rt△ADE中，AE=8，AD=4，根据勾股定理得：DE==4．【点评】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键，同时本题第二问利用了三种方法求解，注意运用一题多解的方法解题．27．如图1，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点P、Q分别是AB边和CD边上的动点，点P从点A向点B运动，点Q从点C向点D运动，且保持AP=CQ．设AP=x．（1）当PQ∥AD时，x的值等于4；（2）如图2，线段PQ的垂直平分线EF与BC边相交于点E，连接EP、EQ，设BE=y，求y关于x的函数关系式；（3）在问题（2）中，设△EPQ的面积为S，求S关于x的函数关系式，并求当x取何值时，S的值最小，最小值是多少？【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据矩形的性质可以求出AB=CD及AB∥CD，再有AD∥PQ可以得出四边形ADQP是平行四边形，由其性质就可以得出DQ=CQ，从而求出CQ的值而求出PA的值；（2）根据中垂线的性质可以得出EP=EQ，由勾股定理就可以表示出EP2=PB2+BE2，EQ2=EC2+CQ2，由AP=x，BE=y，就可以表示出BP=8﹣x，EC=6﹣y，从而可以得出y与x之间的函数关系式；（3）由条件可以得出S=S梯形BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ，再分别表示出S△BPE和S△ECQ及梯形的面积就可以得出结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD=8．∠A=∠D=∠C=∠B=90°．∵PQ∥AD，∴四边形ADQP是平行四边形，∴AP=DQ．∵AP=CQ，∴DQ=CQ∴DQ=CD=4，∴AP=4．（2）如图2，∵EF是线段PQ的垂直平分线，∴EP=EQ，在Rt△BPE和Rt△ECQ中，由勾股定理，得EP2=PB2+BE2，EQ2=EC2+CQ2，∵AP=x，BE=y，∴BP=8﹣x，EC=6﹣y．∴（8﹣x）2+y2=（6﹣y）2+x2，∴；（3）由题意，得S=S梯形BPQC﹣S△BPE﹣S△ECQ．∵，，∴S=S梯形BPQC﹣﹣．∵AP=CQ，∴．∴，∴，∴当x=4时，S有最小值12．故答案为：4．【点评】本题考查了矩形的性质的运用，平行四边形的性质的运用，中垂线的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用．解答时灵活运用勾股定理及三角形的面积公式是解答本题的关键