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河南省南阳市卧龙区2017年中考数学一模试卷含答案解析2016年河南省南阳市卧龙区中考数学一模试卷一、选择题（每题3分）1．的倒数是（）A． B． C．﹣3 D．2．下列运算正确的是（）A．aoa2=a2 B．（a2）3=a6 C．a2+a3=a6 D．a6÷a2=a33．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．4．用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．5．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C=140°，则∠AHC的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．40°6．在2016年3月12日植树节到来之际，某学校教师分为四个植树小组参加了"大美南阳"的植树节活动，其中三个小组植树的棵数分别为：8，10，12，另一个小组的植树棵数与它们中的一组相同，且这四个数据的众数与平均数相等，则这四个数据的中位数是（）A．8 B．10 C．12 D．10或127．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．斜边AB的垂直平分线交边BC于点D．若BD=5，CD=3，则△ACD的周长是（）A．7 B．8 C．12 D．138．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y=（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A． B． C． D．二、填空题（每题3分）9．化简：﹣=．10．不解方程，判断方程2x2+3x﹣2=0的根的情况是．11．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（1，m）在△AOB的形内（不包含边界），则m的取值范围是．13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为．14．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小是度．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．三、解答题16．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2．17．2016年3月22日是第二十四届"世界水日"，我国纪念2016年"世界水日"和"中国水周"活动的宣传主题为"落实五大发展理念，推进最严格水资源管理"，小明同学为了解本校同学对"世界水日"的了解情况，从本校七、八、九年级学生中各随机抽取100人进行问卷调查，这些同学都交回了调查问卷，并都对"了解"和"不了解"这两个选项做了唯一的选择，小明根据所得数据绘制了统计图如下，根据相关信息，解答下列问题．（1）求抽取的学生中了解"世界水日"的人数；（2）求抽取的八年级学生中了解"世界水日"的人数，并补全条形统计图；（3）本校七、八、九年级各有学生500名，估计全校学生了解"世界水日"的人数．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD、BC分别交于点E、F，设直线EF与BC的夹角为α（如图）（1）当α的度数是时，四边形AFCE为菱形？（2）当α的度数是时，四边形AFCE为矩形？（3）四边形AFCE能否为正方形？为什么？19．如图是某城市一座立交桥的引桥部分，桥面截面AB可以近似地看做Rt△ABC的斜边，桥面AB上路灯DE的高度为5m，已知坡角∠ABC为14°．（1）求路灯DE的顶端D点到桥面AB的垂直距离DF的长；（2）若BG=8，且BG=BC，求点C处桥的高度AC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）20．某市政工程队承担着1200米长的道路维修任务．为了减少对交通的影响，在维修了240米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的4倍，结果共用了6小时就完成了任务．求原来每小时维修多少米？21．某森林公园从正门到侧门有一条公路供游客运动，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走．乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的路程y（km）与甲出发时间x（h）之间的函数关系图象．根据图象信息解答下列问题．（1）求甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式．（2）求甲、乙第一次相遇的时间．（3）直接写出乙回到侧门时，甲到侧门的路程．22．（1）问题发现：如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．则①四边形AFMG的形状是②△DFM和△MGE之间的关系是（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，①试判断△DEF和△MGE之间的关系，并加以说明．②若AD=5，AB=6，△DFM的面积为32，求△MGE的面积．23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B（﹣2，0）、C（8，0）两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC、AB．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断△ABC的形状，并加以说明；（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若点P是抛物线上的动点，则能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有个．2016年河南省南阳市卧龙区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．的倒数是（）A． B． C．﹣3 D．【考点】分母有理化．【分析】利用倒数定义得到结果，化简即可．【解答】解：的倒数为=．故选D2．下列运算正确的是（）A．aoa2=a2 B．（a2）3=a6 C．a2+a3=a6 D．a6÷a2=a3【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．【分析】A、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；C、原式不能合并，错误；D、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可做出判断．【解答】解：A、原式=a3，错误；B、原式=a6，正确；C、原式不能合并，错误；D、原式=a4，错误，故选B．3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可．【解答】解：，由①得，x＞﹣1；由②得，x≤2，故此不等式组的解集为：﹣1＜x≤2．在数轴上表示为：4．用两块完全相同的长方体搭成如图所示的几何体，这个几何体的主视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据主视图的定义，找到从正面看所得到的图形即可．【解答】解：从物体正面看，左边1列、右边1列上下各一个正方形，且左右正方形中间是虚线，故选：C．5．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB、AC于E、F两点；再分别以E、F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点G，作射线AG交CD于点H．若∠C=140°，则∠AHC的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．40°【考点】作图-基本作图．【分析】根据题意可得AH平分∠CAB，再根据平行线的性质可得∠CAB的度数，再根据角平分线的性质可得答案．【解答】解：由题意可得：AH平分∠CAB，∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠ACD=140°，∴∠CAB=40°，∵AH平分∠CAB，∴∠HAB=20°，∴∠AHC=20°．故选A．6．在2016年3月12日植树节到来之际，某学校教师分为四个植树小组参加了"大美南阳"的植树节活动，其中三个小组植树的棵数分别为：8，10，12，另一个小组的植树棵数与它们中的一组相同，且这四个数据的众数与平均数相等，则这四个数据的中位数是（）A．8 B．10 C．12 D．10或12【考点】众数；算术平均数；中位数．【分析】设另一个小组的植树棵数为x，根据这四个数据的众数与平均数相等列出方程x=（x+8+10+12），求出x的值，再根据中位数的定义求解即可．【解答】解：设另一个小组的植树棵数为x，由题意得x=（x+8+10+12），解得x=10；将这组数据从小到大的顺序排列8，10，10，12，处于中间位置的是10，10，所以这组数据的中位数是（10+10）÷2=10．故选B．7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＜BC．斜边AB的垂直平分线交边BC于点D．若BD=5，CD=3，则△ACD的周长是（）A．7 B．8 C．12 D．13【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到AD=BD，根据勾股定理求出AC的长，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD=5，又CD=3，由勾股定理得，AC==4，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=12，故选：C．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y=（x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（）A． B． C． D．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．【分析】先求出A点坐标，再根据图形平移的性质得出A1点的坐标，故可得出反比例函数的解析式，把O1点的横坐标代入即可得出结论．【解答】解：∵OB=1，AB⊥OB，点A在函数y=﹣（x＜0）的图象上，∴当x=﹣1时，y=2，∴A（﹣1，2）．∵此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，∴B1（2，0），∴A1（2，2）．∵点A1在函数y=（x＞0）的图象上，∴k=4，∴反比例函数的解析式为y=，O1（3，0），∵C1O1⊥x轴，∴当x=3时，y=，∴P（3，）．故选C．二、填空题（每题3分）9．化简：﹣=．【考点】二次根式的加减法．【分析】先把各根式化为最简二次根式，再根据二次根式的减法进行计算即可．【解答】解：原式=2﹣=．故答案为：．10．不解方程，判断方程2x2+3x﹣2=0的根的情况是有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式．【分析】先求一元二次方程的判别式，由△与0的大小关系来判断方程根的情况．【解答】解：∵a=2，b=3，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=9+16=25＞0，∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．11．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．【考点】概率公式．【分析】随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数，据此用黄灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多少即可．【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为．故答案为：．12．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+2分别交x轴、y轴于A、B两点，点P（1，m）在△AOB的形内（不包含边界），则m的取值范围是0＜m＜．【考点】一次函数的性质．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域，先确定点P（1，m）在△AOB的形内（不包含边界），对应的不等式，然后根据点的位置确定条件即可求a的取值范围．【解答】解：因为点P（1，m）在△AOB的形内（不包含边界），可得：，解得：0＜m＜，故答案为：0＜m＜13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B=130°，则∠AOC的大小为100°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D的度数，根据圆周角定理计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D=180°，∴∠D=180°﹣130°=50°，由圆周角定理得，∠AOC=2∠D=100°，故答案为：100°．14．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，得到△AB1C1，若点B1在线段BC的延长线上，则∠BB1C1的大小是80度．【考点】旋转的性质．【分析】由旋转的性质可知∠B=∠AB1C1，AB=AB1，由等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠B=∠BB1A=∠AB1C1=40°，从而可求得∠BB1C1=80°．【解答】解：由旋转的性质可知：∠B=∠AB1C1，AB=AB1，∠BAB1=100°．∵AB=AB1，∠BAB1=100°，∴∠B=∠BB1A=40°．∴∠AB1C1=40°．∴∠BB1C1=∠BB1A+∠AB1C1=40°+40°=80°．故答案为：80．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是60度，阴影部分的面积为．【考点】旋转的性质；扇形面积的计算．【分析】连接CA′，证明三角形AA′C是等边三角形即可得到旋转角α的度数，再利用旋转的性质求出扇形圆心角以及△CDB′的两直角边长，进而得出图形面积即可．【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=CB′=CB=×2=1，∴B′D==，∴S△CDB′=×CD×DB′=×1×=，S扇形B′CB==，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．三、解答题16．先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=﹣2．【考点】分式的化简求值．【分析】首先将括号里面通分，进而分解因式化简求出即可．【解答】解：（1﹣）÷，=×=，将x=﹣2代入得：原式==．17．2016年3月22日是第二十四届"世界水日"，我国纪念2016年"世界水日"和"中国水周"活动的宣传主题为"落实五大发展理念，推进最严格水资源管理"，小明同学为了解本校同学对"世界水日"的了解情况，从本校七、八、九年级学生中各随机抽取100人进行问卷调查，这些同学都交回了调查问卷，并都对"了解"和"不了解"这两个选项做了唯一的选择，小明根据所得数据绘制了统计图如下，根据相关信息，解答下列问题．（1）求抽取的学生中了解"世界水日"的人数；（2）求抽取的八年级学生中了解"世界水日"的人数，并补全条形统计图；（3）本校七、八、九年级各有学生500名，估计全校学生了解"世界水日"的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据扇形统计图和题意可以得到抽取的学生中了解"世界水日"的人数；（2）根据第一问的结果可以求得八年级学生中了解"世界水日"的人数，（3）根据扇形统计图可以求得本校七、八、九年级各有学生500名，全校学生了解"世界水日"的人数．【解答】解：（1）100×3×40%=120人，抽取的学生中了解"世界水日"的人数是120；（2）由题意可得，抽取的八年级学生中了解"世界水日"的人数是：120﹣60﹣20=40人，补全的条形统计图如下图所示，（3）由题意可得，500×3×40%=600人．即本校七、八、九年级各有学生500名，估计全校学生了解"世界水日"的人数是600．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，BC=8，∠B=60°，过平行四边形的对称中心点O的一条直线与边AD、BC分别交于点E、F，设直线EF与BC的夹角为α（如图）（1）当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形？（2）当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形？（3）四边形AFCE能否为正方形？为什么？【考点】正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．【分析】（1）当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形，首先证明四边形AFCE、四边形AFEB是平行四边形，再证明△ABE是等边三角形即可解决问题．（2）当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形，取BC中点M，连接AM，首先证明△ABE是等边三角形，推出∠OCE=30°即可解决问题．（3）不可能，只要证明AE≠AF即可解决问题．【解答】解：（1）当α的度数是60°时，四边形AFCE为菱形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE=OF，∵OA=OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∴AF=CE，AF∥BC，∴AF∥BE，∵∠α=∠ABC=60°，∴AB∥EF，∴四边形AFEB是平行四边形，∴AF=BE=CE，∵BC=8，AB=4，∴AB=BE=4，∵∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=CE，∵四边形AFCE是平行四边形，∴四边形AFCE是菱形，故答案为：60°；（2）当α的度数是30°时，四边形AFCE为矩形，理由如下：同（1）得：四边形AFCE是平行四边形，取BC中点M，连接AM，∵AB=BM=4，∠B=60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠AMB=60°，AM=BM=AB=CM，∴∠ACM=∠MAC=30°，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，∵OE=OF，OA=OC，∴AC=EF，∴四边形AECF是矩形．故答案为30°．（3）四边形AECF不可能是正方形．理由如下：如图四边形AFCE是矩形，∵AB=4，BC=8，∠B=60°，∴在RT△ABF中，AF=ABosin∠B=2，BF=ABocos60°=2，∴CF=BC﹣BF=8﹣2=6，∵AF≠FC，∴四边形AFCE不是正方形．19．如图是某城市一座立交桥的引桥部分，桥面截面AB可以近似地看做Rt△ABC的斜边，桥面AB上路灯DE的高度为5m，已知坡角∠ABC为14°．（1）求路灯DE的顶端D点到桥面AB的垂直距离DF的长；（2）若BG=8，且BG=BC，求点C处桥的高度AC．（结果精确到0.1m，参考数据：sin14°≈0.24，cos14°≈0.97，tan14°≈0.25）【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】（1）首先得到∠EDF=∠ABC=14°，然后在Rt△DEF中利用余弦的定义得到DF=DEcos∠EDF即可；（2）利用已知求出BC的长，再利用tan∠ABC=，求出AC的长．【解答】解：（1）在Rt△BEG和Rt△DEF中，∵∠BEG=∠DEF，∴∠EDF=∠ABC=14°，在Rt△DEF中，∵cos∠EDF=，∴DF=DEcos∠EDF=5×cos14°=5×0.97=4.85≈4.9m．答：路灯DE的顶端D点到桥面AB的垂直距离为4.9米；（2）∵BG=BC，BG=8，∴BC=×BG=，在Rt△ABC中，∵tan∠ABC=，∴AC=BCotan∠ABC=×tan14°≈×0.25≈6.7（m），答：点C处桥的高度AC约为6.7m．20．某市政工程队承担着1200米长的道路维修任务．为了减少对交通的影响，在维修了240米后通过增加人数和设备提高了工程进度，工作效率是原来的4倍，结果共用了6小时就完成了任务．求原来每小时维修多少米？【考点】分式方程的应用．【分析】设原来每小时维修x米，则后来每小时维修4x米，等量关系是：原来维修240米所用时间+后来维修米所用时间=6小时，依此列出方程求解即可．【解答】解：设原来每小时维修x米．根据题意得+=6，解得x=80，经检验，x=80是原方程的解，且符合题意．答：原来每小时维修80米．21．某森林公园从正门到侧门有一条公路供游客运动，甲徒步从正门出发匀速走向侧门，出发一段时间开始休息，休息了0.6小时后仍按原速继续行走．乙与甲同时出发，骑自行车从侧门匀速前往正门，到达正门后休息0.2小时，然后按原路原速匀速返回侧门．图中折线分别表示甲、乙到侧门的路程y（km）与甲出发时间x（h）之间的函数关系图象．根据图象信息解答下列问题．（1）求甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式．（2）求甲、乙第一次相遇的时间．（3）直接写出乙回到侧门时，甲到侧门的路程．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据函数图象可知点（0，15）和点（1，10）在甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数图象上，从而可以解答本题；（2）根据函数图象可以分别求得甲乙刚开始两端对应的函数解析式，联立方程组即可求得第一次相遇的时间；（3）根据函数图象可以得到在最后一段甲对应的函数解析式，乙到侧门时时间为2.2h，从而可以得到乙回到侧门时，甲到侧门的路程．【解答】解：（1）设甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式为：y=kx+b，∵点（0，15）和点（1，10）在此函数的图象上，∴，解得k=﹣5，b=15．∴y=﹣5x+15．即甲在休息前到侧门的路程y（km）与出发时间x（h）之间的函数关系式为：y=﹣5x+15．（2）设乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y=kx，将（1，15）代入可得k=15，∴乙骑自行车从侧门匀速前往正门对应的函数关系式y=15x，∴解得x=0.75．即第一次相遇时间为0.75h．（3）乙回到侧门时，甲到侧门的路程是7km．设甲休息了0.6小时后仍按原速继续行走对应的函数解析式为：y=kx+b．将x=1.2代入y=﹣5x+15得，y=9．∵点（1.8，9），（3.6，0）在y=kx+b上，∴，解得k=﹣5，b=18．∴y=﹣5x+18．将x=2.2代入y=﹣5x+18，得y=7．即乙回到侧门时，甲到侧门的路程是7km．22．（1）问题发现：如图①，在△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为D、E，点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点．则①四边形AFMG的形状是平行四边形②△DFM和△MGE之间的关系是全等（2）拓展探究：如图②，在△ABC中，分别以AB、AC为底边，向△ABC的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为D、E，且∠BAD+∠CAE=90°．点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，①试判断△DEF和△MGE之间的关系，并加以说明．②若AD=5，AB=6，△DFM的面积为32，求△MGE的面积．【考点】三角形综合题．【分析】（1）①依据三角形的中位线的性质证明FM∥AC，MG∥AB，从而可知四边形AFMG的形状；②先依据直角三角形斜边上中线的性质和平行四边形的性质证明DF=MG、FM=EG，然后依据等腰三角形三线合一的性质和平行线的性质证明∠DFM=∠EGM，依据SAS可证明两个三角形全等；（2）①先证明∠DFM=∠MGE，然后再证明∠1=∠3，依据锐角三角函数的定义可得到，最后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似可证明△DFM∽△MGE；②先依据勾股定理求得DF=4．然后可求得△DFM与△MGE的相似比，然后依据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：（1）①∵BF=AF，BM=MC，∴FM∥AC，同理MG∥AB，∴四边形AFMG是平行四边形，②∵∠BDA=90°，DF是AB边上的中线，∴DF=AF．∵四边形AFMG是平行四边形，∴MG=AF，∠AFM=∠AGM．∴DF=MG，∠BFM=∠MGC．∵∠AEC=90°，EG是AC边上的中线，∴GE=AG．∵四边形AFMG是平行四边形，∴AG=FM．∴GE=FM．∵DA=DB，F为AB的中点，∴∠DFB=90°．同理：∠EGC=90°．∴∠DFB+∠BFM=∠EGC+∠MGC，即∠DFM=∠EGM．在△DFM和△MGE中，，∴△DFM≌△MGE．故答案为：①平行四边形；②全等．（2）①∵△ADB和△ACE都是等腰三角形，且F、G为AB、AC的中点，∴∠DFB=∠EGC=90°．∵点F、M、G分别为AB、BC、AC边的中点，∴FM∥AC，MG∥AB，FM=AC=AG，MG=AB=AF．∴∠BFM=∠BAC=∠MGC．∴∠BFM+90°=∠MGC+90°，即∠DFM=∠MGE．∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3．∴tan∠1=tan∠3．∴，即．又∵∠DFM=∠MGE，∴△DFM∽△MGE．②∵AD=5，AB=6，∴AF=3，MG=3，MG=AF=3．∴在Rt△ADF中，DF===4．∵由①知△DFM∽△MGE，且△DFM的面积为32，∴=（）2=（）2=．∴S△MGE=32×=18．23．如图，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与y轴交于点A，与x轴交于B（﹣2，0）、C（8，0）两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC、AB．（1）求该二次函数的表达式；（2）判断△ABC的形状，并加以说明；（3）线段AC上是否存在点E，使得△EDC为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．（4）若点P是抛物线上的动点，则能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有5个．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据解析式求得A的坐标，根据勾股定理求得AB、AC、BC的长，再根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形；（3）分类讨论：当CD=DE时，当EC=DE时，当CD=CE时，根据等腰三角形的定义，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．（4）分三种情况讨论即可求得．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于B（﹣2，0）、C（8，0）两点，∴解得，∴该二次函数的解析式为y=﹣x2+x+4；（2）令x=0，则y=﹣x2+x+4=4，∴A（0，4），∵B（﹣2，0）、C（8，0），∴AB2=42+22=20，AC2=82+42=80，BC2=（8+2）2=100，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC是直角三角形；（3）在线段BC上是存在点E，使得△CDE为等腰三角形，由二次函数y=﹣x2+x+4知对称轴x=3，∴D（3，0）．∵C（8，0），∴CD=5．设AC的解析式为y=kx+b，将A、C点坐标代入，得，解得，AC的解析式为y=﹣x+4．E在线段AC上，设E点坐标为（m，﹣m+4）．①当CD=DE时，即（m﹣3）2+（﹣m+4）2=25，解得m1=0，m2=8（不符合题意舍去），当m=0时，﹣m+4=4，∴E1（0，4）；②当EC=DE时，（m﹣8）2+（﹣m+4）2=（m﹣3）2+（﹣m+4）2，解得m3=，当m=时，﹣m+4=，∴E2（，）；③当CD=CE时，（m﹣8）2+（﹣m+4）2=25，解得m4=8+2，m5=8﹣2（不符合题意舍），当m=8+2时，﹣m+4=﹣，即E3（8+2，﹣）；综上所述：所有符合条件的点E的坐标为E1（0，﹣4）；E2（，）；E3（8+2，﹣）．（4）①当CD是等腰三角形的底时，线段CD的垂直平分线与抛物线的一个交点即为P点；②当CP为底时，以D为圆心，以5为半径的圆与抛物线的4个交点中的2个（除去B、C点）即为所求的P点；③当PD为底时，以C为圆心，以5为半径的圆与抛物线的2个交点即为P点；故能使△PDC称为等腰三角形的点P的个数有5个．故答案为5．2016年6月27日