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关于幂级数的研究
作者：佚名 来源：本站整理 发布时间：2008-8-12 8:43:32
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增大字体 从级数作为研究函数的工具这个意义上讲，在各种有力的解析工具中按其简单.灵活.明确以及使用的方便而言，毫无疑问第一位应属于函数级数。这个最重要的解析工具的思想很简单：我们想要研究的函数可以表示为其它的更为简单的.容易研究的函数的系列（即表示此函数为级数的部分和的极限。如果这个部分和在整个所研究的区间上完全趋近于所研究的函数，则我们就有理由从整个近似的部分和的性质来估计所研究函数的一些性质——尽管只是近似的研究。特别地，会对自变量的某个值近似计算这些部分和的值，我们同时也有办法近似计算所研究函数的相应的值。
用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幂级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幂——首先是非整数次幂）。
我们称形如 ①的级数为幂级数；其中 是任意的给定的实数， ，n=0,1,2,3…………称为幂级数的系数。作变量X=x- ,则有上式得 ②，显然，级数②的性质研究清楚后，也就弄清楚级数①的性质。
可以先复习幂级数的一些分析性质：
定理1 （阿贝尔第一定理）
1） 若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在 都收敛。
2） 若幂级数①在x1发散，则幂级数①在 都发散。
定理2：有幂级数①，即 ，若
则幂级数①的收敛半径为
定理3（阿贝尔第二定理）
若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间 都一致收敛。
定理4 若幂级数 与 的收敛半径分别是正数 r1与r2，则r1= r2
定理5 若幂级数 的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间 连续。
定理6 若幂级数 的收敛半径r>0,则 它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即
定理7 若幂级数 的收敛半径r>0,则 则它的和函数在区间 (-r , r) 可导，且可逐项微分，即 ，有
我们知道,幂级数的收敛域总是某个区间(可以是开的\闭的或半开的),此区间以—r和r为端点.函数f(x)应当具有什么样的性质才能在该区间上有收敛的展开式:
f(x)= (1)
呢?我们知道,函数f(x)当然应当在开区间(--r,r)上连续,但这还远远不够,我们首先得证明当---r
它是由上面给出的级数通过逐项求导而得出的,并且它也是在开区间(—r , r)上收敛.在证明中需要始终注意到无论f(x)的导数存在性,或者级数(2)的收敛性,我们都没有预先给定,因此这两件事实都是应当在讨论过程中证明的.
这样一来,以幂级数来表出的函数应该不仅连续而且也应可微.但这还是小事.我们刚刚看到 是收敛于|x| < r的幂级数来表示的;根据刚刚证明的定理,在开区间(--r, r)上处处都应存在着二阶导数 继续讨论下去,我们就的出结论:在某个区间内以幂级数表示的函数应当在该区间的每一个内点处都有任意阶的导数;而且,每一个导数都可以表示成同一个开区间上的幂级数,此级数是从已知的级数重复进行相应次数的逐项求导而得到的.因此
f(x) = , =
且一般地有
在此式中令x=0,我们就得到
由此得
这样我们也就同时证明了函数的幂级数展开的唯一性,找出了该展开式的系数通过这个函数在x=0时的各阶导数值表达的式子.这也即是说一般地有:如果函数f(x)能够展开为幂级数,则此展开式的形状一定是
(3)
这即是所谓 Madaurin级数.令 并且把它们当作h的函数展开,我们就得到
再回到原来的记号,我们得到更一般的Taylor级数:
(4)
把所有这些事实同我们在导数知识中说到过的Taylor公式和Madaurin公式进行比较,问题就会变得特别地明了.在那里我们没有讲到无穷级数,我们把
称为已知的Madaurin公式的余式并研究了其当x为无穷小时的性质.现在我们看到了就是这个量的性质决定了函数f(x)展开为幂级数中我们假设n是固定的而让x趋于零,现在则相反地我们应当选定某一个x值并且固定它,而令数n无限增加.条件
很显然地是公式(4)成立的必要而且充分的条件.通常,一个函数是否可以展开为Madaurin级数,是要通过余项的研究才能证明的,而余项又有多种形式,从中又要选定某一种.这些余项形式中,有一些我们在导数中已经讲过.这些形式中的哪一个对此目的而言最为方便------这当然完全取决于我们想要展开的函数的性质.
正如我们在上面所看到的,想在某个给定区间上展开为幂级数的函数,应当在该区间的每一个内点处具有任何阶的导数.反之,因为具备这些性质的每一个函数在该区间的每一点a附近都可以形式地写出Taylor级数(4)来,则就产生 一个诱人的假设:各阶导数存在这一条件对于将某一函数展开为幂级数也会是充分的.但是,这是不对的.首先,可能有这样的情况:对于已知函数形式地写出的Maclaurin级数(3)对任何 都是发散的.但是更加有意思的是这样一种情况,对某个函数所建立的Maclaurin级数是收敛的,但它却不可能完全不是以比函数为和,而且是以另一个函数为和.这种情形的一个例子已经成立经典的例子,它就是函数
容易算出,当x=0时函数本身以及它的各阶导数都变为零,因此起Maclaurin级数的全部系数都等于零,所以这级数的和对x的任意值都为0,而不是如上式所表示的函数.
顺便说一下,由此的出,我们已经看到,已知函数展开为幂级数的方法只有一种,但反过来任何收敛的幂级数就决不只一个函数的Maclaurin级数,而是无穷多个函数的Maclaurin级数.实际上,设f(x)是某个幂级数的和,该级数正如我们看到的,是f(x)的Maclaurin级数,很显然地,这时函数族 中所有的函数都以这个级数为Maclaurin级数(其中 为任意实数,而 则是我们上面定义的函数)当然,这族函数中只有一个能用此级数 表示(即为该级数之和)
用什么样的函数作为我们的展开式的元素最方便.最适合呢？即选什么函数作为表示所研究函数级数的项，最便于帮助我们研究函数？对此问题，当然不指望有唯一的答案适用于所有情形。这几乎完全取决于所研究的函数的性质以及我们对函数所提出的问题的性质，只是必须指出，有一种最重要的函数级数类值得推荐起作用，因为每一步都可以应用它们，这样就自然地要求创立相应的一般理论。这种函数级数就是幂级数（其中展开式的元素是自变量的整数次数幂——首先是非整数次幂）。
我们称形如 ①的级数为幂级数；其中 是任意的给定的实数， ，n=0,1,2,3…………称为幂级数的系数。作变量X=x- ,则有上式得 ②，显然，级数②的性质研究清楚后，也就弄清楚级数①的性质。
可以先复习幂级数的一些分析性质：
定理1 （阿贝尔第一定理）
1） 若幂级数①在x0 0 收敛，则幂级数①在 都收敛。
2） 若幂级数①在x1发散，则幂级数①在 都发散。
定理2：有幂级数①，即 ，若
则幂级数①的收敛半径为
定理3（阿贝尔第二定理）
若幂级数①的收敛半径r>0，则幂级数①在任意闭区间 都一致收敛。
定理4 若幂级数 与 的收敛半径分别是正数 r1与r2，则r1= r2
定理5 若幂级数 的收敛半径r>0，则它的和函数S(x) 在区间 连续。
定理6 若幂级数 的收敛半径r>0,则 它的和函数S(x) 由0到x可积，且逐项积分，即
定理7 若幂级数 的收敛半径r>0,则 则它的和函数在区间 (-r , r) 可导，且可逐项微分，即 ，有
我们知道,幂级数的收敛域总是某个区间(可以是开的\闭的或半开的),此区间以—r和r为端点.函数f(x)应当具有什么样的性质才能在该区间上有收敛的展开式:
f(x)= (1)
呢?我们知道,函数f(x)当然应当在开区间(--r,r)上连续,但这还远远不够,我们首先得证明当---r
它是由上面给出的级数通过逐项求导而得出的,并且它也是在开区间(—r , r)上收敛.在证明中需要始终注意到无论f(x)的导数存在性,或者级数(2)的收敛性,我们都没有预先给定,因此这两件事实都是应当在讨论过程中证明的.
这样一来,以幂级数来表出的函数应该不仅连续而且也应可微.但这还是小事.我们刚刚看到 是收敛于|x| < r的幂级数来表示的;根据刚刚证明的定理,在开区间(--r, r)上处处都应存在着二阶导数 继续讨论下去,我们就的出结论:在某个区间内以幂级数表示的函数应当在该区间的每一个内点处都有任意阶的导数;而且,每一个导数都可以表示成同一个开区间上的幂级数,此级数是从已知的级数重复进行相应次数的逐项求导而得到的.因此
f(x) = , =
且一般地有
在此式中令x=0,我们就得到
由此得
这样我们也就同时证明了函数的幂级数展开的唯一性,找出了该展开式的系数通过这个函数在x=0时的各阶导数值表达的式子.这也即是说一般地有:如果函数f(x)能够展开为幂级数,则此展开式的形状一定是
(3)
这即是所谓 Madaurin级数.令 并且把它们当作h的函数展开,我们就得到
再回到原来的记号,我们得到更一般的Taylor级数:
(4)
把所有这些事实同我们在导数知识中说到过的Taylor公式和Madaurin公式进行比较,问题就会变得特别地明了.在那里我们没有讲到无穷级数,我们把
称为已知的Madaurin公式的余式并研究了其当x为无穷小时的性质.现在我们看到了就是这个量的性质决定了函数f(x)展开为幂级数中我们假设n是固定的而让x趋于零,现在则相反地我们应当选定某一个x值并且固定它,而令数n无限增加.条件
很显然地是公式(4)成立的必要而且充分的条件.通常,一个函数是否可以展开为Madaurin级数,是要通过余项的研究才能证明的,而余项又有多种形式,从中又要选定某一种.这些余项形式中,有一些我们在导数中已经讲过.这些形式中的哪一个对此目的而言最为方便------这当然完全取决于我们想要展开的函数的性质.
正如我们在上面所看到的,想在某个给定区间上展开为幂级数的函数,应当在该区间的每一个内点处具有任何阶的导数.反之,因为具备这些性质的每一个函数在该区间的每一点a附近都可以形式地写出Taylor级数(4)来,则就产生 一个诱人的假设:各阶导数存在这一条件对于将某一函数展开为幂级数也会是充分的.但是,这是不对的.首先,可能有这样的情况:对于已知函数形式地写出的Maclaurin级数(3)对任何 都是发散的.但是更加有意思的是这样一种情况,对某个函数所建立的Maclaurin级数是收敛的,但它却不可能完全不是以比函数为和,而且是以另一个函数为和.这种情形的一个例子已经成立经典的例子,它就是函数
容易算出,当x=0时函数本身以及它的各阶导数都变为零,因此起Maclaurin级数的全部系数都等于零,所以这级数的和对x的任意值都为0,而不是如上式所表示的函数.
顺便说一下,由此的出,我们已经看到,已知函数展开为幂级数的方法只有一种,但反过来任何收敛的幂级数就决不只一个函数的Maclaurin级数,而是无穷多个函数的Maclaurin级数.实际上,设f(x)是某个幂级数的和,该级数正如我们看到的,是f(x)的Maclaurin级数,很显然地,这时函数族 中所有的函数都以这个级数为Maclaurin级数(其中 为任意实数,而 则是我们上面定义的函数)当然,这族函数中只有一个能用此级数 表示(即为该级数之和)
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