旧题新意

    [前言]
   作为新教材改革的一个重要特征，在高中数学引进了平面向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论在平面、立体、解析几何都有着大大拓宽解题思路与方法的重要作用。向量融“数”、“形”于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，因此不少中学平面几何问题总是往往可用向量的适当形式表示，转化并加以解决。笔者尝试运用向量的优越性解决中学阶段几个重要的定理与性质。
   
   [正文]
   根据平面向量基本定理，任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合，这样在证明几何命题时可以先把已知和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算，很容易得出结论。向量是有“形”的量，研究向量不能离开其图形。结合图形，比较直观地揭示其几何意义，这种分析判断是最重要的方法与技巧。本文着重谈谈向量在中学几何解题中的应用。本文着重谈谈向量在中学几何解题中的应用。
   
   一、根据向量用向量法来证明平面直角问题时，恰当使用向量的加、减法运算以及两垂直向量的数量积为零等性质，能达到化繁为简的目的。
   例1、 证明直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
   已知Rt△ABC，∠A= 。求证：
   证明：
    
   
   例2、 证明直角三角形的中线是斜边的一半。
   已知Rt△ABC，∠A= ，AD为斜边BC上的中线。
   求证AD= BC。
   证明：
    
   例3、已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点。求证：EF= (AD+BC)
   证明：
    
   注：用向量证明未必能达到简化解题过程的效果，但它却为我们的中学数学带来了无限生机，向量成了中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。
   
   二、根据两非零向量的数量积证明三角形的垂心、重心。
   例4、 如图：AD，BE，CF是△ABC的三条高。求证：AD、BE、CF相交于一点。
   证明：
   设AD与BE相交于O，下证点O在高CF上。
    
   例5、证明三角形的三条中线交于一点
   本题可用平面几何知识加以证明，但用平面向量的方法证明也会得到简洁的解题思路。
   已知：⊿ABC，AD，BE，CF分别是三角形的三条中线，求证：三中线交于一点G。
   证明：
    
   同理，设AD与CF相交于一点 ， 用同样的方法可证得
    
   ∴
   注：这里充分利用向量的共线、平面基本定理，证明了三角形的三条中线相交于一点，简洁巧妙。
   
   三、根据两非零向量的数量积巧证射影定理。
   例6、
    
    
   同理可证：
   下证
    
    评析：初中证明射影定理是主要用到两相似三角形对应边成比例这一性质。但向量的介入，却可以利用两向量垂直的数量积为零此性质，能够很好地融入初中几何有关直角问题的解题思维中。
   
   四、 向量的数量积体现了向量的长度与三角函数之间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题。例如新教材里，用向量积运算证明正弦定理、余弦定理，在这用向量也可巧证两角差的余弦。
   例7、求证：
   证明：如图，在单位圆上取点 ，使∠ = ，∠ = ，则∠ =
    
   
   评析：利用单位圆来研究三角函数的几何意义时，表示三角函数的三角函数线其实就是向量，由于用向量解决问题时常常从建立向量三角形入手，因此这使向量在三角里发挥了重要的作用。
   例8、已知△ABC中 ，
   分析：已知三角形两边与夹角求三角形面积可用 本题关键是将 用 表示出来。由于 ，可通过平方关系 来求解。
   证明：
   注：这个面积公式应用于已知三角形三个顶点求三角形面积的问题，计算量较小，较方便。
   
   五、 小结
   一般地，利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直等问题；运用实数与向量的积则可以证明共线、平行、长度等问题。毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到绝妙体现。