为偶数，所以α必然也是偶数，因为任一奇数的平方必是奇数（任一奇数可表示为 2n+1，于是，这仍是一个奇数。但是α：β是既约的，因此，β必然不是偶数而是奇数，α既然是偶数，故可设α=2γ。于是。因此，，这里，是个偶数，于是β也是偶数，但是β同时又是个奇数，这就产生了矛盾。    关于对毕达哥拉斯定理的证明，现在人类保存下来的最早的文字资料是欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”。其证明是用面积来进行的。

    如下图，可证

图1

                    　△ABD ≌△FBC，
            　　　矩形 BL=2△ABD，
            　　　正方形 GB= 2△凸FBC。
　　于是        矩形 BL=正方形GB。
　　同样有      矩形CL=正方形AK。
　　所以        正方形GB+正方形AK=正方形BE。

　　毕达哥拉斯学派对勾股定理的研究及其收获由此可见一般。实际上，毕达哥拉斯学派关心得更多的是数学问题本身的研究；以毕达哥拉斯学派为代表的古希腊数学是以空间形式为主要研究对象，以逻辑上的演绎推理为主要的理论形式。而毕达哥拉斯定理的发现（关于可公度比与不可公度比的研究、讨论），实际上导致了无理数的发现，尽管毕达哥拉斯学派不愿意接受这样的数，并因此造成了数学史上所谓的第一次数学危机，但是毕达哥拉斯学派的探索仍然是功不可没的。