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2016年中考数学真题汇编详解7：一元二次方程及应用一、选择题1.（2015四川省巴中市，6，3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（）A． B．C． D．【答案】B．2.（2015重庆B卷，8，4分）已知一元二次方程，则该方程根的情况是A．有两个不相等的实数根   B．有两个相等的实数根 C．两个根都是自然数    D．无实数根【答案】A【解析】解：△＝-4×2×3＝1>0，所以方程有两个不相等的实数根.故选A.3.（2015四川省泸州市）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则一次函数的大致图象可能是【答案】B4.（2015浙江省金华市，5，3分）一元二次方程x?＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值时(   ) A.4    B.－4     C.3    D.－3【答案】D5.（2015山东省德州市，7，3分）若一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，则a的取值范围是A.a<1B.a≤4C.a≤1D.a≥1【答案】C6.（2015四川省达州市，8，3分）方程有两个实数根，则m的取值范围（）A．  B．且m≠2  C．m≥3  D．m≤3且m≠2【答案】B【解析】因为方程有两个实数根，所以，解得且．故选B．7.（2015四川省凉山州市，7，4分）关于x的一元二次方程(m﹣2)x2+2x+1=0有实数根，则m的取值范围是（  ）A.m≤3   B.m＜3   C.m＜3且m≠2  D.m≤3且m≠2【答案】D.【解析】∵方程有实数根，∴22﹣4×(m﹣2)×1≥0且m﹣2≠0，则m≤3且m≠2，故选D.8.(2015广东省广州市，10，3分)已知2是关于的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为()A．10B．14C．10或14D．8或10【答案】B【解析】9.（2015安徽，6，3分）我省2013年的快递业务量为1.4亿件,受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业迅猛发展，2014年增速位居全国第一.若2015年的快递业务量达到4.5亿件，设2014年与2015年这两年的年平均增长率为x,则下列方程正确的是A.1.4(1+x)=4.5B.1.4(1＋2x)=4.5C.1.4(1＋x)2=4.5D.1.4(1+x)＋1.4(1＋x)2=4.5【答案】C【解析】解:设平均增长率为x,2014年则为1.4(1+x),2015年则为1.4(1＋x)2根据题意列方程得1.4(1＋x)2=4.5.故选C10.(2015贵州省安顺市,5,3分)若一元二次方程x2-2x-m=0无实数根，则一次函数y=(m+1)x+m-1的图像不经过第（）象限。A.四  B.三  C.二  D.一【答案】D11.(2015贵州省安顺市,7,3分)已知三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长是（）A.14  B.12  C.12或14  D.以上都不对【答案】B12.（2015浙江省温州市，6，4分）若关于x的一元二次方程4x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是（）A.-1B.1C.-4D.4【答案】B13.（2015四川南充，10，3分）关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③．其中正确结论的个数是（）（A）0个（B）1个（C）2个（D）3个【答案】D【解析】解法一：因为关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，由韦达定理得，所以同号；同理为同号。根据得均为负整数，因此结论①正确；又由题意得，，则，，故结论②正确；因为均为负整数，则它们均小于等于。设，，则分别为的二次函数，其图象开口向上，与横轴的交点坐标均小于或等于且为整数，因此当时，。当时，，即，故结论③正确。应选D。解法二：设的两个整数根为、，的两个整数根为、，则，，由题意得：，，∴，，∴，，，，∴①正确；∵的两个整数根为、，∴，即，∴，同理：。∴，∴②正确；∵、为负整数，∴、，∴，∵，，∴，∴，∴，同理：，即，∴，∴③正确；故选D.14.（2015四川省广安市，8，3分）一个等腰三角形的两边长分别是方程x2-7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（）A.12B.9C.13.12或9【答案】A.15.(2015年山东省济宁市)三角形两边长分别为3和6，第三边是方程的根，则三角形的周长为（）A.13B.15C.18D.13或18【答案】A16.（2015山东济南，12，3分）将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为A.10cmB.13cmC.14cmD.16cm【答案】C【解析】设原铁皮的边长为xcm由题意得17.（2015山东烟台，6，3分）如果x2－x－1=(x+1)0，那么x的值为（）A.2或－1B.0或1C.2D.－1【答案】C18.（2015山东烟台，9，3分）等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x+n－1=0的两根，则n的值为（）A.9B.10C.9或10D.8或10【答案】B19.（2015湖南株洲，8，3分）有两个一元二次方程：M：N：，其中，以下列四个结论中，错误的是…….（）A、如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根；B、如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同；C、如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根；D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是【答案】D【解析】解：A、∵M有两个不相等的实数根∴△＞0即而此时N的判别式△＝，故它也有两个不相等的实数根；B、M的两根符号相同：即，而N的两根之积＝＞0也大于0，故N的两个根也是同号的。C、如果5是M的一个根，则有：①，我们只需要考虑将代入N方程看是否成立，代入得：②，比较①与②，可知②式是由①式两边同时除以25得到，故②式成立。D、比较方程M与N可得：M-N得：故可知，它们如果有根相同的根可是1或-1,故选D20.（2015山东日照市，9，3分）某县为了大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全县学校的设施和设备进行全面改造和更新。2014年县政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为（）（A）20﹪,-220﹪(B)40﹪(C)-220﹪(D)20﹪【答案】D【解析】解：设每年投资的增长率为，右题意可得方程：，∴20﹪，-220﹪，＞0，∴=20﹪。故选D.21.（2015贵州省铜仁市，4，4分）已知关于x的一元二次方程，下列说法正确的是()A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根C.没有实数根D.无法确定【答案】B22.m（2015四川省南充市，10，3分）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正.给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m-1)2+(n-1)2≥2；③-1≤2m-2n≤1.其中正确结论的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】D【解析】根据根与系数的关系，关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根积为2n，而两个整数根且乘积为正，得n＞0，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根和为-2n且两根是同号，故关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0的两根都是负数.同理关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0的两根也都是负数.故①正确.∵两根方程都有两个整数根∴△≥0即4m2-8n≥04n2-8m≥0的m2-2n≥0，n2-2m≥0∴(m-1)2+(n-1)2=m2-2m+1+n2-2n+1=m2-2n+1+n2-2m+1≥2故②正确.设x1、x2是方程x2+2mx+2n=0的两根，根据根与系数的关系得x1+x2=-2m，x1x2=2n∵方程的两个根都是负数且为整数，∴x1≤-1，x2≤-1（x1+1）（x2+1）≥0得x1x2+x1+x2+1≥0，2n-2m+1≥02m-2n≤1同理设y1、y2是方程y2+2ny+2m=0的两根,得y1y2+y1+y2+1≥02m-2n+1≥02m-2n≥-1故③正确故选D.23.（2015成都市，1，3分）关于工的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（D）A．B．C．D．【答案】：D【解析】：解：这是一道一元二次方程的题，首先要是一元二次，则，然后有两个不想等的实数根，则，则有，所以且，因此选择。24.(2015年湖南衡阳，8，3分)若关于x的方程+３x+a＝0有一个根为-1，则另一个根为A.-2B.2C.4D.-3【答案】A【解析】解：设另一个根为x，根据根与系数关系，得-1+x＝-3，x＝-2.故选A.二、填空题1.（2015浙江省丽水市，14，4分）解一元二次方程＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程________．【答案】＝0（或＝0）2.（2015年四川省宜宾市，13，3分）某楼盘2013年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2015年房价为7600元。设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为。【答案】8100（1-x）2=7600【解析】先根据题意将每个量用代数式表示，然后利用等量关系建立等式即可。3.（2015年四川省宜宾市，11，3分）关于x的一元二次方程没有实数根，则m的取值范围是。【答案】【解析】由题意得解之即可。4.设、是一元二次方程的两实数根，则的值为.【答案】275.(2015浙江台州，15，5分)关于x的方程，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）．【答案】①③6.（2015山东省聊城市，13，3分）一元二次方程的解是。【答案】0或2【解析】用因式分解法解一元二次方程7.（2015四川省达州市，13，3分）新世纪百货大楼"宝乐"牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接"六一"儿童节，商场觉得采取适当的降价措施．经调查，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2间．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，则可列方程____________________．【答案】（40－x）（20＋2x）＝1200【解析】总利润＝利润×销售量．设每件童装降价x元，则可得每天的销售量为（20＋2x）件，每件的利润为（40－x）元，因此可列方程：（40－x）（20＋2x）＝1200．8.（2015省市，12，分）已知方程的一个根是1，则它的另一个根是▲，m的值是▲．【答案】3；-4【解析】9.（2015浙江省台州市，15，5）关于x的方程，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是______（填序号）．【答案】①，③【解答】解：m=0时，x=m－1；m≠0时，△=，当m=时，方程有两个相等的实数解，故②错误，③当m=0时，方程的解为，当m≠0时，若<0，则两解中必定有一个负数解，满足题意，，若=>0，则，则<0，=<0，也必有负数解，所以③正确10.（2015上海市，10，4分）如果关于x的一元二次方程没有实数根，那么m的取值范围是________.【答案】【解析】11.（2015四川省绵阳市，17，3分）关于m的一元二次方程的一个根为2，则=______________．【答案】26【解析】又：m=2时，，则方程两边同时除以n得：整理变形得：∴将代入得：故答案为26．12.（2015贵州遵义，15，4分）2015年1月20日遵义市政府工作报告公布：2013年全市生产总值约为1585亿元，经过连续两年增长后，预计2015年将达到2180亿元．设平均每年增长的百分率为x，可列方程为．【答案】1585(1+x)2=2180【解析】解：根据2013年的生产总值为1585亿元，而年平均增长率为x，则2015年的生产总值为1585(1+x)2．故答案为1585(1+x)2=2180．13.（2015山东日照市，15，4分）如果、是两个不相等的实数，且满足，，那么代数式=【答案】2020【解析】解：如果、是两个不相等的实数，且满足，，则、是关于的一元二次方程的两根，∴，，＝＝＝202014.（2015江西省，第11题，3分）已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝．【答案】25【解析】由一元二次方程根与系数关系得m+n=4,mn=﹣3，又∴原式==25.故答案为2515.（2015娄底市，14，分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是。【答案】m≤1.【解析】解：关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则△≥0，即：22-4×1·m≥0，解得：m≤1.三、解答题1.（2015四川省巴中市，28，8分）如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路．要使种植面积为1140m2，求小路的宽．【答案】解：设小路的宽为xm．图中的小路平移到矩形边上时，种植面积是不改变的．∴（40－x）（32－x）=1140．解得x1=2，x2=70（不合题意，舍去）．∴小路的宽为2m．答：小路的宽为2m．2.（2015福建省福州市，20，8分）已知关于x的方程有两个相等的实数根，求m的值.【答案】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴△，∴，∴或.3.（2015四川省遂宁市，21，9分）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：令＝t，则原式＝．(1)计算：(2)解方程(x2＋5x＋1)(x2＋5x＋7)＝7．【答案】(1)；(2)x1＝－6，x2＝1，x3＝0，x4＝－5．【解析】此题考查整体的思想、字母代数的思想，用换元法解．解：(1)设＝t，则原式＝＝＝．(2)设x2＋5x＋1＝t，原方程可化为：t(t＋6)＝7，t2＋6t－7＝0，(t＋7)(t－1)＝0，得t1＝－7，t2＝1，当t＝－7时，x2＋5x＋1＝7，解得x1＝－6，x2＝1；当t＝1时，x2＋5x＋1＝1，解得x3＝0，x4＝－5．所以原方程的解为：x1＝－6，x2＝1，x3＝0，x4＝－5．4.（2015年四川省宜宾市，20，8分）列方程或方程组解应用题：近年来，我国逐步完善养老金保险制度，甲、乙两人计划用相同的年数分别缴纳养老保险金15万元和10万元，甲计划比乙每年多缴纳养老保险金0.2万元，求甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金多少万元？【答案】甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元和0.4万元。【解析】解：设乙每年缴纳养老保险金x万元，则甲每年缴纳的养老保险金为（x+0.2）万元，两人缴纳的年数为y年由题意得：，解得：，x+0.2=0.4+0.2=0.6（万元）答：甲、乙两人计划每年分别缴纳养老保险金0.6万元和0.4万元。5.（2015四川省自贡市，20，10分）利用－面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成－个面积为200m2的矩形场地，求矩形的长和宽．【答案】解：设垂直于墙的－边为米，得：＝200．解得：＝25，＝4．∴另－边为8米或50米．答：矩形长为25米宽为8米或矩形长为50米宽为4米．6.（2015山东省青岛市，16，8分）(1)化简：；(2)关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围.【答案】解：(1).(2)∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴△=，∴即m的取值范围是.7.（2015四川省泸州市）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A、B两种花草，第一次分别购进A、B两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进A、B两种花草12棵和5棵。两次共花费940元（两次购进的A、B两种花草价格均分别相同）。21cnjyvvvvv（1）A、B两种花草每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A、B两种花草共31棵，且B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用。2-1-c-n-j-y【答案】解：（1）设A、B花草的价格分别为x元,y元，根据题意得解得∴A种花草价格为20元，B中花草价格为5元（2）设A中花草为x棵，则B花草为（31-x）棵，根据题意有2x＞31-x,∴x＞∵购31棵花草的费用=20x+5（31-x）=155+15x∴费用随x增大而增多，∴当x取最小值时费用最少∴当x=11时，费用最少，费用为155+15×11=320（元）∴购A中花草为11棵，则B花草为20棵时，费用最少，费用为320元.8.（2015四川省泸州市）如图，一次函数的图象经过点C(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3.（1）求该一次函数的解析式；（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且AC=2BC，求的值。【答案】解：（1）设直线AC解析式为y=kx+b，与y轴交点坐标为（a,0）∴，解得a=2∴，解得b=2,k=∴直线AC的解析式为：（2）设A点横坐标为，B点横坐标为，则、为方程，即方程的解，∴+=3，·=∵AC=2BC∴3－=2（－3），即2+=9∴=6，=﹣3∴=﹣3×6∴m=﹣129.（2015湖南省长沙市，23，9分）现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，长沙市某家小型"大学生自主创业"的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．（1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；（2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【答案】（1）10%（2）不能，至少需要增加2名业务员。【解析】解：（1）解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为，由题意，得，解得，；（舍）答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%．（2）6月：（万件），∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．∵∴至少还需增加2名业务员．10.(2015广东省广州市，21，12分)(本小题满分12分)某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．(1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．【答案】解：(1)设2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为x，由题意得22500(1＋x)2＝3025解得，x1＝0.1，x2＝－2.1(舍去)所以，增长率为0.1＝10%答：2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%．(2)由题意得22500(1＋10%)2＝3327.5(万元)答：2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．【解析】增长率公式a(1＋x)n＝b．a是增长基数，n是增长次数，b是最后总数．11.（2015四川南充，20，8分）已知关于x的一元二次方程，p为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根．（2）p为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）【答案】（1）略；（2）0，2，-2.【解析】解：（1）化简方程，得：△=P为实数，≥0，∴＞0即△＞0，∴方程有两个不相等的实数根（2）当p为0,2，-2时，方程有整数解。12.（2015山东省菏泽市，17①，7分）已知m是方程x2-x-1=0的一个根，求m（m+1）2-m2（m+3）+4的值.【考点解剖】本题考查了一元二次方程根的根、代数式求值问题，解题的关键是根据一元二次方程根的概念．【解题思路】先将代数式化简，然后根据m是方程x2-x-1=0的一个根【解答过程】解：原式=m（m2+2m+1）-m2（m+3）+4=m3+2m2+m-m3-3m2+4=-m2+m+4=-(m2-m)+4∵m是方程x2-x-1=0的一个根，∴m2-m-1=0，∴-(m2-m)+4=-1+4=3【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能将已知相关的参数转化所需的代数式.【方法规律】已知含参数的方程的根，则可根据方程根的定义直接代入方程，得到一个关于参数的新方程，从而确定参数值，但要注意问题中的隐含条件，如一元二次方程二次项系数不能为0．【试题难度】★★★【关键词】代数式；一元二次方程的根；整体思想13.（2015江苏泰州，18，8分）（本题满分8分）已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1=0（1）不解方程，判别方程的根的情况；（2）若方程有一个根为3，求m的值。解：（1）∵b2－4ac=(2m)2－4×1×(m2－1)=4＞0，∴方程有两个不相等的实数根；（2）将x=3代入原方程，得9＋6m＋m2－1=0，解之，得m1=－2，m2=－4.14.（2015湖南省永州市，22，8分）已知关于x的一元二次方程x2＋x＋m2-2m＝0有一个实根为一1，求m的值及方程的另一个实根.【答案】m的值为0或2，方程的另一个实根为0.【解析】解：把x＝－1代入方程，得1－1＋m2-2m＝0.解得m1＝0,m2＝2.设方程的另一个根为x2,则由一元二次方程根与系数的关系可得－1＋x2＝－1.∴x2＝0.15.（2015成都市）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为"倍根方程"，以下关于倍根方程的说法，正确的是.（写出所有正确说法的序号）①方程是倍根方程；②若是倍根方程，则；③若点在反比例函数的图像上，则关于的方程是倍根方程；④若方程是倍根方程，且相异两点，都在抛物线上，则方程的一个根为.【答案】②③【解析】：解：研究一元二次方程是倍根方程的一般性结论，设其中一根为，则另一个根为，因此，所以有；我们记，即时，方程为倍根方程；下面我们根据此结论来解决问题：对于①，，因此本选项错误；对于②，，而，因此本选项正确；对于③，显然，而，因此本选项正确；对于④，由，知，由倍根方程的结论知，从而有，所以方程变为，，因此本选项错误。综上可知，正确的选项有：②③。