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免费武汉市东西湖区中考数学模拟试卷含答案解析中考数学模拟试卷分析网2016年湖北省武汉市东西湖区中考数学模拟试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．实数的值在（）A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间2．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠13．运用乘法公式计算（m+2）（m﹣2）的结果是（）A．m2﹣2 B．m2﹣4 C．m2+4 D．m2+24．五名同学参加演讲比赛，以抽签的方式决定每个人的出场顺序．把背面完全相同，正面写有1、2、3、4、5的五张卡片洗均后正面向下放在桌子上，小军从中随机抽取一张，下列事件是随机事件的是（）A．抽到的数字是0 B．抽到的数字是7C．抽到的数字大于5 D．抽到的数字是15．下列计算正确的是（）A．2x+x=2x2 B．2x2﹣x2=2 C．2x2o3x2=6x4 D．2x6÷x2=2x36．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）7．如图，在一个长方体上放着一个小正方体，若这个组合体的俯视图如图所示，则这个组合体的左视图是（）A． B． C． D．8．某车间工人的日加工零件数如表：日加工的件数 3 4 5 6 7 8人数 4 5 8 9 6 4那么工人日加工零件数的中位数和众数分别是（）A．6和6 B．5和6 C．9和4 D．5.5和49．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1） C．6n D．6n（n+1）10．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为（）A． B．2 C．2 D．3二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．计算（﹣4）+6的结果为．12．荆楚网消息，今年"五一"小长假武汉接待游客4100000人次，数4100000用科学记数法表示为．13．一个不透明的袋子中装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．14．如图，在菱形ABCD中，对角线长AC=2，BD=2，点E、F在边AD、CD上，以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，则∠D′FC的度数为．15．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30°，CD⊥AB于D点，BC=1，点P是直线BC上一动点，连结AP．若点E是AP的中点，则DE的最小值是．16．直线y=x+b与函数y=x2+|2x2﹣1|的图象有且只有三个交点，则b的值为．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：2（x+3）=5x．18．如图，D在AB上，E在BC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE．19．国民体质监测中心等机构开展了青少年形体测评，专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况．我们对专家的测评数据作了适当处理（如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载），并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次形体测评中，一共抽查了名学生，请将条形统计图补充完整；（2）坐姿不良的扇形图的圆心角的度数是；（3）如果全市有8万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有．20．如图，已知A（4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解集；（3）若点M（t，y1）、N（1，y2）是反比例函数y=上两点，且y1＜y2，请你借助图象，直接写出t的取值范围．21．如图，直线AB经过⊙O上点C，并且OA=OB，CA=CB．（1）求证：直线AB是⊙O切线．（2）OA、OB分别交⊙O于D、E，延长线AO交⊙O于点F，连接EF、FC．若AB=4，tan∠CFE=，求AD的长．22．如图，某校园内有一块菱形的空地ABCD，为了美化环境，现要进行绿化，计划在中间建设一个面积为S的矩形绿地EFGH．其中，点E、F、G、H分别在菱形的四条边上，AB=a米，BE=BF=DG=DH=x米，∠A=60°（1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）若a=100，求S的最大值，并求出此时的值；（3）若S的最大值是10000，则a至少要多长？23．在△ABC中，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点．（1）如图1，若EF∥BC、DF∥AB，连CE、AD分别交DF、EF于N、M，且E为AB的中点，求证：EM=MF；（2）如图2，在（1）中，若E不是AB的中点，请写出与MN平行的直线，并证明；（3）若BD=DC，∠B=90°，且AE：AB：BC=1：3：2，AD与CE相交于点Q，直接写出tan∠CQD的值．24．已知抛物线y=x2上有两动点A（x1，y1），B（x2，y2），其中0＜x1＜x2），过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，OA的延长线交BD于点E．（1）如图1，若点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为．（2）如图2，过A作AF⊥BD于F．若BE=AE，试求BF的长；（3）如图3，延长CA交OB于点H．若S△OEH=S四边形OHED，试探究x1和x2之间的数量关系，并证明你的结论．2016年湖北省武汉市东西湖区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．实数的值在（）A．0与1之间 B．1与2之间 C．2与3之间 D．3与4之间【考点】估算无理数的大小．【分析】根据2＜＜3，即可解答．【解答】解：∵2＜＜3，∴在2和3之间．故选：C．【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是熟记2＜＜3．2．使分式有意义的x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≠1【考点】分式有意义的条件．【分析】分母不为零，分式有意义，依此求解．【解答】解：由题意得x﹣1≠0，解得x≠1．故选D．【点评】考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．3．运用乘法公式计算（m+2）（m﹣2）的结果是（）A．m2﹣2 B．m2﹣4 C．m2+4 D．m2+2【考点】平方差公式．【分析】将原式直接套用平方差公式展开即可得．【解答】解：（m+2）（m﹣2）=m2﹣22=m2﹣4．故选：B．【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2是关键．4．五名同学参加演讲比赛，以抽签的方式决定每个人的出场顺序．把背面完全相同，正面写有1、2、3、4、5的五张卡片洗均后正面向下放在桌子上，小军从中随机抽取一张，下列事件是随机事件的是（）A．抽到的数字是0 B．抽到的数字是7C．抽到的数字大于5 D．抽到的数字是1【考点】随机事件．【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【解答】解：抽到的数字是0是不可能事件，A错误；抽到的数字是7是不可能事件，A错误；抽到的数字大于5是不可能事件，A错误；抽到的数字是1是随机事件，D正确，故选：D．【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．下列计算正确的是（）A．2x+x=2x2 B．2x2﹣x2=2 C．2x2o3x2=6x4 D．2x6÷x2=2x3【考点】整式的除法；合并同类项；单项式乘单项式．【分析】分别利用合并同类项法则以及单项式与单项式的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解：A、2x+x=3x，故此选项错误；B、2x2﹣x2=x2，故此选项错误；C、2x2o3x2=6x4，故此选项正确；D、2x6÷x2=2x4，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了合并同类项以及单项式与单项式的乘除运算等知识，正确掌握运算法则是解题关键．6．在平面直角坐标系中，将点A（x，y）向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后与点B（﹣3，2）重合，则点A的坐标是（）A．（2，5） B．（﹣8，5） C．（﹣8，﹣1） D．（2，﹣1）【考点】坐标与图形变化﹣平移．【分析】逆向思考，把点（﹣3，2）先向右平移5个单位，再向下平移3个单位后可得到A点坐标．【解答】解：在坐标系中，点（﹣3，2）先向右平移5个单位得（2，2），再把（2，2）向下平移3个单位后的坐标为（2，﹣1），则A点的坐标为（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移：在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．7．如图，在一个长方体上放着一个小正方体，若这个组合体的俯视图如图所示，则这个组合体的左视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】先细心观察原立体图形和俯视图中长方体和正方体的位置关系，结合四个选项选出答案．【解答】解：由原立体图形和俯视图中长方体和正方体的位置关系，可排除A、C、D．故选B．【点评】本题考查了学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．8．某车间工人的日加工零件数如表：日加工的件数 3 4 5 6 7 8人数 4 5 8 9 6 4那么工人日加工零件数的中位数和众数分别是（）A．6和6 B．5和6 C．9和4 D．5.5和4【考点】众数；中位数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，可得答案．【解答】解：在这一组数据中日加工件数6件的最多，有9人，故众数是6件；排序后处于中间位置的那个数是6，6，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是6件；故选：A．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．9．根据如图所示的三个图所表示的规律，依次下去第n个图中平行四边形的个数是（）A．3n B．3n（n+1） C．6n D．6n（n+1）【考点】平行四边形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】从图中这三个图形中找出规律，可以先找出这三个图形中平行四边形的个数，分析三个数字之间的关系．从而求出第n个图中平行四边形的个数．【解答】解：从图中我们发现（1）中有6个平行四边形，6=1×6，（2）中有18个平行四边形，18=（1+2）×6，（3）中有36个平行四边形，36=（1+2+3）×6，∴第n个中有3n（n+1）个平行四边形．故选B．【点评】本题为找规律题，从前三个图形各自找出有多少个平行四边形，从中观察出规律，然后写出与n有关的代数式来表示第n个中的平行四边形的数目．10．如图，AB是⊙的直径，CD是∠ACB的平分线交⊙O于点D，过D作⊙O的切线交CB的延长线于点E．若AB=4，∠E=75°，则CD的长为（）A． B．2 C．2 D．3【考点】切线的性质．【分析】如图连接OC、OD，CD与AB交于点F．首先证明∠OFD=60°，再证明∠FOC=∠FCO=30°，求出DF、CF即可解决问题．【解答】解：如图连接OC、OD，CD与AB交于点F．∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CD平分∠ACB，∴=，∴OD⊥AB，∵DE是切⊙O切线，∴DE⊥OD，∴AB∥DE，∵∠E=75°，∴∠ABC=∠E=75°，∠CAB=15°，∴∠CFB=∠CAB+∠ACF=15°+45°=60°，∴∠OFD=∠CFB=60°，在RT△OFD中，∵∠DOF=90°，OD=2，∠ODF=30°，∴OF=ODotan30°=，DF=2OF=，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD=30°，∵∠COB=∠CAB+∠ACO=30°，∴∠FOC=∠FCO，∴CF=FO=，∴CD=CF+DF=2，故选C．【点评】本题考查了切线的性质，含30°角的直角三角形性质的应用，能求出DF、OF是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．计算（﹣4）+6的结果为2．【考点】有理数的加法．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用异号两数相加的法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=+（6﹣4）=2，故答案为：2【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12．荆楚网消息，今年"五一"小长假武汉接待游客4100000人次，数4100000用科学记数法表示为4.1×106．【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：数4100000用科学记数法表示为4.1×106，故答案为：4.1×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．13．一个不透明的袋子中装有5个红球和3个绿球，这些球除了颜色外都相同，从袋子中随机摸出一个球，它是红球的概率为．【考点】概率公式．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解；布袋中球的总数为：5+3=8，取到红球的概率为：．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．14．如图，在菱形ABCD中，对角线长AC=2，BD=2，点E、F在边AD、CD上，以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，则∠D′FC的度数为30°．【考点】菱形的性质．【分析】首先连接AC，BD，相较于点O，由在菱形ABCD中，对角线长AC=2，BD=2，可求得∠ADC=60°，又由以直线EF为折痕折叠，若ED⊥ED′，即可求得∠DEF的度数，继而求得答案．【解答】解：连接AC，BD，相较于点O，∵在菱形ABCD中，对角线长AC=2，BD=2，∴OA=1，0D=，AC⊥BD，∴tan∠ADO===，∴∠ADO=30°，∴∠ADC=2∠ADO=60°，∵ED⊥ED′，∴∠DEF=∠DED′=45°，∴∠DFE=180°﹣∠DEF﹣∠ADC=75°，∴∠D′FE=′DFE=75°，∴∠D′FC=180°﹣∠DFE﹣∠D′FE=30°．故答案为：30°．【点评】此题考查了菱形的性质、折叠的性质以及三角函数等知识．注意准确作出辅助线是解此题的关键．15．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=30°，CD⊥AB于D点，BC=1，点P是直线BC上一动点，连结AP．若点E是AP的中点，则DE的最小值是．【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题．【分析】连接CE，如图，先利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AC=BC=，再利用CD⊥AB得到∠ACD=60°，CD=AC=，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得CE=AE，利用三角形三边的关系得到DE≥CE﹣CD（当C、D、E共线时取等号），于是DE的值最小时，△ACE为等边三角形，所以CE=AC=，则DE=CE﹣CD=．【解答】解：连接CE，如图，在Rt△ABC中，∵∠CAB=30°，∴AC=BC=，∵CD⊥AB，∴∠ACD=60°，CD=AC=∵E点AP的中点，∴CE=AE，∵DE≥CE﹣CD（当C、D、E共线时取等号），∴当C、D、E共线时，DE的值最小，此时△ACE为等边三角形，CE=AC=，则DE=CE﹣CD=，∴DE的最小值为．故答案为．【点评】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和直角三角形斜边上的中线性质．16．直线y=x+b与函数y=x2+|2x2﹣1|的图象有且只有三个交点，则b的值为或．【考点】二次函数的性质．【分析】首先作出函数y=x2+|2x2﹣1|的图象，根据函数的图象即可确定b的取值．【解答】解：当2x2﹣1≤0时，即﹣≤x≤，y=x2+|2x2﹣1|=﹣x2+1；当2x2﹣1＞0时，即x＜﹣或x＞，y=x2+|2x2﹣1|=3x2﹣1；作出函数的图象如图：故要使函数y=x+b与函数y=x2+|2x2﹣1|的图象有且只有三个交点，则×（﹣）+b=0，解得b=；或x+b=﹣x2+1，即x2+x+b﹣1=0，△=﹣4（b﹣1）=0，解得b=．故b的值为或．故答案为：或．【点评】本题考查了二次函数的图象及一次函数的图象，首先作出分段函数的图象是解决本题的关键，采用数形结合的方法确定答案是数学上常用的方法之一．三、解答题（共8题，共72分）17．解方程：2（x+3）=5x．【考点】解一元一次方程．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：去括号得：2x+6=5x，移项合并得：3x=6，解得：x=2．【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．18．如图，D在AB上，E在BC上，AB=AC，∠B=∠C，求证：BD=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】要证BD=CE只要证明AD=AE即可，而证明△ABE≌△ACD，则可得AD=AE．【解答】证明：∵AB=AC，∠B=∠C，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD．∴AD=AE．∴BD=CE．【点评】考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．本题得出三角形全等后，再根据全等三角形的性质可得线段相等．19．国民体质监测中心等机构开展了青少年形体测评，专家组随机抽查了某市若干名初中学生坐姿、站姿、走姿的好坏情况．我们对专家的测评数据作了适当处理（如果一个学生有一种以上不良姿势，我们以他最突出的一种作记载），并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中所给信息解答下列问题：（1）在这次形体测评中，一共抽查了500名学生，请将条形统计图补充完整；（2）坐姿不良的扇形图的圆心角的度数是72°；（3）如果全市有8万名初中生，那么全市初中生中，三姿良好的学生约有5000人．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据走姿不良的人数是190，所占的百分比是38%，据此求得调查的总人数，利用总人数减去其它组的人数求得站姿不良的人数，从而补全直方图；（2）利用360°乘以对应的比例即可求得扇形统计图的圆心角度数；（3）利用总人数5万乘以对应的比分比即可求得．【解答】解：（1）抽查的总人数是190÷38%=500（人）．站姿不良的人数是500﹣190﹣100﹣50=160（人）．，故答案是：500；（2）坐姿不良的扇形图的圆心角的度数是：360°×=72°，故答案是：72°；（3）全市初中生中，三姿良好的学生约有50000×=5000（人）．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．20．如图，已知A（4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象的两个交点（1）求m的值和一次函数的解析式；（2）结合图象直接写出不等式﹣kx﹣b＞0的解集；（3）若点M（t，y1）、N（1，y2）是反比例函数y=上两点，且y1＜y2，请你借助图象，直接写出t的取值范围．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出m的值；由点B的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出点B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数解析；（2）结合函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集；（3）根据反比例函数的性质结合函数图象，即可得出当y1＜y2时，t的取值范围．【解答】解：（1）∵点A（4，2）在反比例函数y=的图象上，∴m=4×2=8，∴反比例函数的解析式为y=．∵点B（n，﹣4）在反比例函数y=的图象上，∴8=﹣4n，解得：n=﹣2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣4）．将点A（4，2）、点B（﹣2，﹣4）代入到y=kx+b中，得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=x﹣2．（2）观察函数图象，发现：当x＜﹣2或0＜x＜4时，反比例函数图象在一次函数图象的上方，∴不等式﹣kx﹣b＞0的解集为x＜﹣2或0＜x＜4．（3）令y=中x=1，则y=8，∴y2=8．当点M在第三象限内时，y1＜0，显然y1＜y2，此时t＜0；当点M的第一象限内时，∵y=中8＞0，∴反比例函数在第一象限内单调递减，∴若y1＜y2，则t＞1．综上可知：当y1＜y2时，t的取值范围为t＜0或t＞1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求函数解析式，解题的关键是：（1）求出A、B点的坐标利用待定系数法求函数解析式；（2）利用函数图象的上下位置关系解不等式；（3）根据函数性质找出函数单调性．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．21．如图，直线AB经过⊙O上点C，并且OA=OB，CA=CB．（1）求证：直线AB是⊙O切线．（2）OA、OB分别交⊙O于D、E，延长线AO交⊙O于点F，连接EF、FC．若AB=4，tan∠CFE=，求AD的长．【考点】切线的判定；解直角三角形．【分析】（1）连接OC，证明OC⊥AB即可；（2）先证明∠AFC=∠CFE，连接CD，可证明△ADC∽△ACF，利用相似三角形的性质可求得=，则可求得AD．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OA=OB，AC=BC，∴OC⊥AB，且OC为圆的半径，∴AB是圆的切线；（2）解：如图2，连接OC、CD，由（1）可知∠COD=∠EOC，∴=，∴∠DFC=∠CFE，∵DE为直径，∴∠DCF为直角三角形，∴=tan∠DFC=tan∠CFE=，由（1）可知AC为⊙O的切线，∴∠ACD=∠AFC，且∠A=∠A，∴△ACD∽△ACF，∴==，∵AB=4，∴AC=2，∴=，解得AD=．【点评】本题主要考查切线的判定及相似三角形的判定和性质，掌握切线的判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．在（2）中把三角函数值化为线段的比是解题的关键．22．如图，某校园内有一块菱形的空地ABCD，为了美化环境，现要进行绿化，计划在中间建设一个面积为S的矩形绿地EFGH．其中，点E、F、G、H分别在菱形的四条边上，AB=a米，BE=BF=DG=DH=x米，∠A=60°（1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）若a=100，求S的最大值，并求出此时的值；（3）若S的最大值是10000，则a至少要多长？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）根据菱形的性质得△AHE是等边三角形，即HE=（a﹣x）米，过点P作DP⊥HG于点P，则HG=2HP=2DHsin∠HDP=x米，由矩形面积公式可得；（2）将a=100代入上式，配方成顶点式可得其最值情况；（3）将（1）中函数解析式配方后，根据其最值可得关于a的方程，解方程即可得．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=a米，∵BE=BF=DH=DG=x米，∠A=60°∴AE=AH=（a﹣x）米，∠ADC=120°，∴△AHE是等边三角形，即HE=（a﹣x）米，如图，过点P作DP⊥HG于点P，∴HG=2HP，∠HDP=∠ADC=60°，则HG=2HP=2DHsin∠HDP=2x×=x米，∴S=x（a﹣x）=﹣x2+ax（0＜x＜a）；（2）当a=100时，S=﹣x2+100x=﹣（x﹣50）2+2500，∴当x=50时，S取得最大值，最大值为2500．（3）S=﹣x2+ax=﹣（x﹣）2+a2，根据题意，得：a2=10000，解得：a=200或a=﹣200（舍），故a至少需要200米．【点评】本题主要考查二次函数的实际应用，根据菱形的性质及等腰三角形性质、三角函数表示出矩形的长宽是求得函数解析式的前提，熟练掌握二次函数的性质是求函数最值的关键．23．在△ABC中，D、E、F分别为BC、AB、AC上的点．（1）如图1，若EF∥BC、DF∥AB，连CE、AD分别交DF、EF于N、M，且E为AB的中点，求证：EM=MF；（2）如图2，在（1）中，若E不是AB的中点，请写出与MN平行的直线，并证明；（3）若BD=DC，∠B=90°，且AE：AB：BC=1：3：2，AD与CE相交于点Q，直接写出tan∠CQD的值．【考点】三角形综合题．【分析】（1）先证明BD=DC，再证明EM、MF分别是△ABD，△ADC的中位线即可．（2）结论：MN∥AC，只要证明=即可．（3）如图3中，作DN∥AB交CE于N，CM⊥AD交AD的延长线于M，不妨设AE=a．则AB=3a，EB=2a．BC=2a，BD=DC=a，由tan∠BAD═=，推出∠BAD=30°，∠DCM=30°，再证明△AEQ≌△DNQ，得AQ=QD，求出QD即可解决问题．【解答】（1）证明：如图1中，∵AE=EB，EF∥AC，∴AF=FC，AM=MD，∵FD∥AB，∴BD=CD，∴EM=BD，MF=CD，∴EM=MF．（2）结论：MN∥AC．证明：如图2中，∵AE∥DF，∴=，∵MF∥BC，∴=，∵FN∥AE，∴=，∴=，∴MN∥CF．（3）如图3中，作DN∥AB交CE于N，CM⊥AD交AD的延长线于M．∵AE：AB：BC=1：3：2，不妨设AE=a．则AB=3a，EB=2a．BC=2a，BD=DC=a，∴tan∠BAD═=，∴∠BAD=30°，∠ADB=∠CDM=60°，∴∠DCM=30°，∴DM=a，CM=a，'∵BD=DC，DN∥EB，∴EN=NC，∴DN=EB=a=AE，∵AE∥DN，∴∠EAQ=∠NDQ，在△AEQ和△DNQ中，，∴△AEQ≌△DNQ，∴AQ=QD，∵AD===2a，∴DQ=a，QM=DQ+DM=a，∴tan∠CQD===．【点评】本题考查三角形综合题、平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理、平行线的判定等知识，解题的关键是学会利用比例式证明两条直线平行，学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，属于中考压轴题．24．已知抛物线y=x2上有两动点A（x1，y1），B（x2，y2），其中0＜x1＜x2），过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，OA的延长线交BD于点E．（1）如图1，若点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（2，4），则点E的坐标为（2，2）．（2）如图2，过A作AF⊥BD于F．若BE=AE，试求BF的长；（3）如图3，延长CA交OB于点H．若S△OEH=S四边形OHED，试探究x1和x2之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）如图1中，求出直线OA的解析式，根据点B坐标即可求出点E坐标．（2）如图2中，根据AE=BE，列出关于y1，y2的方程，求出y2﹣y1即可解决问题．（3）如图3中，先证明四边形HCDE是矩形，再证明S△HOC=S△HCD=S△HDE即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵点A坐标（1，1），∴直线OA解析式为y=x，∵点B坐标（2，4），∴点E坐标（2，2）．故答案为（2，2）．（2）如图2中，∵点A（x1，y1），∴直线OA解析式y=x，∵点B坐标（x2，y2），∴点E坐标（x2，），∵AE=EB，∴=y2﹣，∴（x2﹣x1）=y2﹣，∵y1=x12，y2=x22，∴x1=，x2=，∴（﹣）o=（﹣），∴=，∴1+y1=y2，∴y2﹣y1=1，∴BF=y2﹣y1=1．（3）结论x2=2x1．理由：如图3中，∵点A（x1，y1），B（x2，y2），∴直线OA解析式为y=x，直线OB解析式为y=x，∴点H坐标（x1，），点E坐标（x2，），∵y2=x22，y1=x12，∴=x1x2，=x1x2，∴HC=ED，∵HC∥ED，∴四边形HCDE是平行四边形，∵∠HCD=90°，∴四边形HCDE是矩形，∴HE∥OD，∴S△HOE=S△HED=S△HCD，∵S△OEH=S四边形OHED，∴S△HOC=S△HCD=S△HDE，∴OC=CD，∴x2=2x1．【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数、两点间距离公式、平行线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，本题目有一定的代数运算技巧，解题的突破口是发现HE∥OD，属于中考压轴题．