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免费汕头市中考数学一模试卷含答案解析中考数学模拟试卷分析网2016年广东省汕头市XX实验学校中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．计算﹣4×（﹣3）的结果是（）A．﹣12 B．12 C．7 D．﹣72．下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2 D．a6÷a3=a23．甲、乙、丙、丁四名选手参加200米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到第1道的概率是（）A．0 B． C． D．14．方程2x﹣3=5解是（）A．4 B．5 C．3 D．65．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（）A．4 B．8 C．16 D．187．一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过下列各象限中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．不等式组的解集是（）A．x B．﹣1 C．x D．x≥﹣19．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10） B．（﹣2，0） C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）10．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（）A．0 B．1 C． D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．计算：+=．12．在二次根式中，x的取值范围是．13．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于度．14．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为度．15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③m＞2．其中正确结论的个数是个．16．在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向上走2个单位；当走完第2015步时，棋子所处位置的坐标是．三、解答题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.17．计算：（2015﹣π）0+（）﹣2+tan30°×3﹣|﹣|18．先化简，再求值：（a+2）2+（1﹣a）（1+a），其中a=﹣．19．如图，点B在射线AE上，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AC=AD．四、解答题：（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.20．在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于E、D两点．（1）请用尺规作图作出AB的垂直平分线DE；（2）连接BD，证明：△ABC∽△BDC．21．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字﹣1，0，1的乒乓球（形状，大小一样），先从盒子里随即取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随即取出一个乒乓球，记下数字．（1）请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上数字相同的概率；（2）求两次取出乒乓球上数字之积等于0的概率．22．在2014年6月23日第十届保护韩江母亲河徒步节上，如图所示，某同学为了测得一段南北流向的河段的宽，在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这段河段的宽度．（参考数值：tan31°≈）五、解答题：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.23．在荔枝种植基地有A、B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多20元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需200元．（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B两种树苗共36株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．24．已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；（3）试讨论：若把题目中"平行四边形ABCD"改为"四边形ABCD"，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．25．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．2016年广东省汕头市XX实验学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．计算﹣4×（﹣3）的结果是（）A．﹣12 B．12 C．7 D．﹣7【考点】有理数的乘法．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用同号两数相乘的法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=12，故选B【点评】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．2．下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+1）=2a+1 C．（ab）2=a2b2 D．a6÷a3=a2【考点】同底数幂的除法；合并同类项；去括号与添括号；幂的乘方与积的乘方．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则判断．【解答】解：A、a3+a3=2a3，故A选项错误；B、2（a+1）=2a+2≠2a+1，故B选项错误；C、（ab）2=a2b2，故C选项正确；D、a6÷a3=a3≠a2，故D选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的运算法则，乘法分配律，幂的乘方及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记法则运算3．甲、乙、丙、丁四名选手参加200米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若甲首先抽签，则甲抽到第1道的概率是（）A．0 B． C． D．1【考点】概率公式．【分析】由赛场共设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵赛场共设1、2、3、4四个跑道，甲抽到1号跑道的只有1种情况，∴甲抽到1号跑道的概率是：；故选B．【点评】此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比．4．方程2x﹣3=5解是（）A．4 B．5 C．3 D．6【考点】解一元一次方程．【专题】计算题；一次方程（组）及应用．【分析】方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解．【解答】解：方程移项合并得：2x=8，解得：x=4，故选A【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．5．下列标志中，可以看作是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．6．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为32，则OH的长等于（）A．4 B．8 C．16 D．18【考点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线．【分析】先根据菱形ABCD的周长为32，求出边长AB，然后根据H为AD边中点，可得OH=AB，即可求解．【解答】解：∵菱形ABCD的周长为32，∴AB=8，∵H为AD边中点，O为BD的中点，∴OH=AB=4．故选A．【点评】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键掌握菱形四条边都相等，对角线互相垂直且平分的性质．7．一次函数y=﹣2x﹣1的图象不经过下列各象限中的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数的性质．【专题】探究型．【分析】先根据一次函数的解析式判断出k、b的符号，再根据一次函数的性质进行解答即可．【解答】解：∵一次函数y=﹣2x﹣1中，k=﹣2＜0，b=﹣1＜0，∴此函数的图象经过二、三、四象限，故选A．【点评】本题考查的是一次函数的性质，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0时，函数图象经过二、四象限，当b＜0时，函数图象与y轴相交于负半轴．8．不等式组的解集是（）A．x B．﹣1 C．x D．x≥﹣1【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：，由①得，x＞，由②得，x≥﹣1，故不等式组的解集为：x＞．故选A．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知"同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到"的原则是解答此题的关键．9．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（）A．（2，10） B．（﹣2，0） C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，0）【考点】坐标与图形变化﹣旋转．【专题】分类讨论．【分析】分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．【解答】解：∵点D（5，3）在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′（﹣2，0），②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′（2，10），综上所述，点D′的坐标为（2，10）或（﹣2，0）．故选：C．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．10．如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A，B在围成的正方体上的距离是（）A．0 B．1 C． D．【考点】勾股定理．【分析】将图1折成正方体，然后判断出A、B在正方体中的位置关系，从而可得到AB之间的距离．【解答】解：将图1折成正方体后点A和点B为同一条棱的两个端点，故此AB=1．故选：B．【点评】本题主要考查的是展开图折成几何体，判断出点A和点B在几何体中的位置关系是解题的关键．二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．计算：+=1．【考点】分式的加减法．【分析】直接利用分式加减运算法则化简求出答案．【解答】解：原式===1．故答案为：1．【点评】此题主要考查了分式的加减运算，正确化简分式是解题关键．12．在二次根式中，x的取值范围是x≥2．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】二次根式的被开方数是非负数，即x﹣2≥0．【解答】解：根据题意，得x﹣2≥0，解得，x≥2；故答案是：x≥2．【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．13．如图，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B=55°，则∠1等于35度．【考点】平行线的性质．【分析】利用"直角三角形的两个锐角互余"的性质求得∠A=35°，然后利用平行线的性质得到∠1=∠B=35°．【解答】解：如图，∵BC⊥AE，∴∠ACB=90°．∴∠A+∠B=90°．又∵∠B=55°，∴∠A=35°．又CD∥AB，∴∠1=∠A=35°．故答案是：35．【点评】本题考查了平行线的性质和直角三角形的性质．此题也可以利用垂直的定义、邻补角的性质以及平行线的性质来求∠1的度数．14．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M．如果∠ADF=100°，那么∠BMD为85度．【考点】三角形内角和定理．【专题】压轴题．【分析】先根据∠ADF=100°求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数即可．【解答】解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°，∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°．故答案为：85．【点评】本题考查的是三角形内角和定理，即三角形内角和是180°．15．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＞0；③m＞2．其中正确结论的个数是2个．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线与x轴的交点个数对①进行判断；由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴在y轴的右侧得b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对②进行判断；由ax2+bx+c﹣m=0没有实数根得到抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点，加上二次函数的最大值为2，则m＞2，于是可对③进行判断．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以②错误；∵ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，即抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m没有公共点，而二次函数的最大值为2，∴m＞2，所以③正确．∴正确结论的个数是2个．故答案为2．【点评】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．16．在平面直角坐标系中，智多星做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向上走1个单位，第2步向上走2个单位，第3步向右走1个单位，第4步向上走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向上走2个单位；当走完第2015步时，棋子所处位置的坐标是（2016，671）．【考点】规律型：点的坐标．【分析】根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右1个单位，向上3个单位，用2015除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．【解答】解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右1个单位，向上3个单位，∵2015÷3=671余2，∴走完第2015步，为第672个循环组的第2步，所处位置的横坐标为671，纵坐标为671×3+3=2016，∴棋子所处位置的坐标是（2016，671），故答案为：（2016，671）．【点评】本题考查了坐标确定位置，点的坐标位置的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．三、解答题：（本大题共3个小题，每小题6分，共18分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.17．计算：（2015﹣π）0+（）﹣2+tan30°×3﹣|﹣|【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．【解答】解：原式=1+9+﹣=10．【点评】此题考查了实数的运算，零指数幂、负整数指数幂，绝对值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则及绝对值的代数意义是解本题的关键．18．先化简，再求值：（a+2）2+（1﹣a）（1+a），其中a=﹣．【考点】整式的混合运算-化简求值．【分析】原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2+4a+4+1﹣a2=4a+5，当a=﹣时，原式=4×（﹣）+5=﹣3+5=2．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．19．如图，点B在射线AE上，∠1=∠2，∠3=∠4．求证：AC=AD．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据AAS证明△ACF≌△BDE可得结论．【解答】证明：∵∠1=∠2，∠3=∠4，又∵∠C=∠3﹣∠1，∠D=∠4﹣∠2，∴∠C=∠D，在△ACB和△ADB中，∵，∴△ACF≌△BDE（AAS），∴AC=AD．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，本题应用了两三角形公共边的关系．四、解答题：（本大题共3个小题，每小题7分，共21分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.20．在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AB、AC交于E、D两点．（1）请用尺规作图作出AB的垂直平分线DE；（2）连接BD，证明：△ABC∽△BDC．【考点】相似三角形的判定；作图-基本作图．【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作出线段AB的垂直平分线即可；（2）先根据线段垂直平分线的性质求出∠BAC=∠ABD，故可得出∠CBD的度数，再由相似三角形的判定定理即可得出结论．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD．∵∠BAC=40°，∠ABC=80°，∴∠BAC=∠ABD，∴∠CBD=80°﹣40°=40°，即∠CBD=∠BAC．∵∠C是公共角．∴△ABC∽△BDC．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知有两组角对应相等的两个三角形相似是解答此题的关键．21．在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字﹣1，0，1的乒乓球（形状，大小一样），先从盒子里随即取出一个乒乓球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随即取出一个乒乓球，记下数字．（1）请用树状图或列表的方法求两次取出乒乓球上数字相同的概率；（2）求两次取出乒乓球上数字之积等于0的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）列举出所有情况，看两次取出乒乓球上数字相同的情况占总情况的多少即可；（2）两次取出乒乓球上数字之积等于0的情况占总情况的多少即可．【解答】解：（1）共有9种情况，两次取出乒乓球上数字相同的情况有3种，所以概率是；（2）两次取出乒乓球上数字之积等于0的情况有5种，所以概率是．【点评】如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．22．在2014年6月23日第十届保护韩江母亲河徒步节上，如图所示，某同学为了测得一段南北流向的河段的宽，在河东岸点A处观测到河对岸水边有一点C，测得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行40米到达B处，测得C在B北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，求这段河段的宽度．（参考数值：tan31°≈）【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】河宽就是点C到AB的距离，因此过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据AB=AD﹣BD=40米，通过解两个直角三角形分别表示AD、BD的方程求解．【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD=x米，在Rt△BCD中，∠CBD=45°，∴BD=CD=x米．在Rt△ACD中，∠DAC=31°，AD=AB+BD=（40+x）米，CD=x米，∵tan∠DAC=，∴=，解得x=60．经检验x=60是原方程的解，且符合题意．【点评】本题考查了解直角三角形，"化斜为直"是解三角形的基本思路，因此需作垂线（高）构造直角三角形．五、解答题：（本大题共3个小题，每小题9分，共27分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤.23．在荔枝种植基地有A、B两个品种的树苗出售，已知A种比B种每株多20元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需200元．（1）问A、B两种树苗每株分别是多少元？（2）为扩大种植，某农户准备购买A、B两种树苗共36株，且A种树苗数量不少于B种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．【考点】一元一次不等式的应用．【分析】（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，根据条件"A种比B种每株多20元，买1株A种树苗和2株B种树苗共需200元"建立方程求出其解即可；（2）设A种树苗购买a株，则B种树苗购买（36﹣a）株，根据条件A种树苗数量不少于B种数量的一半建立不等式，求出其解即可．【解答】解：（1）设A种树苗每株x元，B种树苗每株y元，由题意，得，解得，答：A种树苗每株80元，B种树苗每株60元．（2）设购买A种树苗a株，由题意得：x≥（36﹣a），解得：a≥12，∵A种树苗价格高，∴尽量少买a种树苗，∴a的最小值为12，当a=12时，36﹣12=24，答：费用最省的购买方案是购买A树苗12株，B种树苗24株．【点评】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，不等式的运用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程组，找出不等关系列出不等式．24．已知平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=10，BD=8．（1）若AC⊥BD，试求四边形ABCD的面积；（2）若AC与BD的夹角∠AOD=60°，求四边形ABCD的面积；（3）试讨论：若把题目中"平行四边形ABCD"改为"四边形ABCD"，且∠AOD=θ，AC=a，BD=b，试求四边形ABCD的面积（用含θ，a，b的代数式表示）．【考点】平行四边形的性质；三角形的面积；解直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）因为AC⊥BD，所以四边形ABCD的面积等于对角线乘积的一半；（2）过点A分别作AE⊥BD，CF⊥BD，根据平行四边形对角线互相平分和正弦定理求出△AOD的面积，那么四边形ABCD的面积=4△AOD的面积；（3）作辅助线AE⊥BD，CF⊥BD，利用正弦定理求出△BCD、△ABD的高，那么四边形ABCD的面积=△BCD的面积+△ABD的面积．【解答】解：（1）∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积=ACoBD=40．（2）分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．∵四边形ABCD为平行四边形，∴AO=CO=AC=5，BO=DO=BD=4．在Rt△AOE中，sin∠AOE=，∴AE=AOosin∠AOE=AO×sin60°=5×=．∴S△AOD=ODoAE=×4××5=5．∴四边形ABCD的面积S=4S△AOD=20．（3）如图所示，过点A，C分别作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．在Rt△AOE中，sin∠AOE=，∴AE=AOosin∠AOE=AOosinθ．同理可得CF=COosin∠COF=CO×sinθ．∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△CBD=BDoAE+BDoCF=BDsinθ（AO+CO）=BDoACsinθ=absinθ．【点评】根据平行四边形的性质，结合直角三角形求解．25．如图甲，四边形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点在B点的抛物线交x轴于点A、D，交y轴于点E，连接AB、AE、BE．已知tan∠CBE=，A（3，0），D（﹣1，0），E（0，3）．（1）求抛物线的解析式及顶点B的坐标；（2）求证：CB是△ABE外接圆的切线；（3）试探究坐标轴上是否存在一点P，使以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）设△AOE沿x轴正方向平移t个单位长度（0＜t≤3）时，△AOE与△ABE重叠部分的面积为s，求s与t之间的函数关系式，并指出t的取值范围．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题；压轴题；分类讨论．【分析】（1）已知A、D、E三点的坐标，利用待定系数法可确定抛物线的解析式，进而能得到顶点B的坐标．（2）过B作BM⊥y轴于M，由A、B、E三点坐标，可判断出△BME、△AOE都为等腰直角三角形，易证得∠BEA=90°，即△ABE是直角三角形，而AB是△ABE外接圆的直径，因此只需证明AB与CB垂直即可．BE、AE长易得，能求出tan∠BAE的值，结合tan∠CBE的值，可得到∠CBE=∠BAE，由此证得∠CBA=∠CBE+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，此题得证．（3）△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，即AE=3BE，若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，那么该三角形必须满足两个条件：①有一个角是直角、②两直角边满足1：3的比例关系；然后分情况进行求解即可．（4）过E作EF∥x轴交AB于F，当E点运动在EF之间时，△AOE与△ABE重叠部分是个四边形；当E点运动到F点右侧时，△AOE与△ABE重叠部分是个三角形．按上述两种情况按图形之间的和差关系进行求解．【解答】（1）解：由题意，设抛物线解析式为y=a（x﹣3）（x+1）．将E（0，3）代入上式，解得：a=﹣1．∴y=﹣x2+2x+3．则点B（1，4）．（2）证明：如图1，过点B作BM⊥y于点M，则M（0，4）．在Rt△AOE中，OA=OE=3，∴∠1=∠2=45°，AE==3．在Rt△EMB中，EM=OM﹣OE=1=BM，∴∠MEB=∠MBE=45°，BE==．∴∠BEA=180°﹣∠1﹣∠MEB=90°．∴AB是△ABE外接圆的直径．在Rt△ABE中，tan∠BAE===tan∠CBE，∴∠BAE=∠CBE．在Rt△ABE中，∠BAE+∠3=90°，∴∠CBE+∠3=90°．∴∠CBA=90°，即CB⊥AB．∴CB是△ABE外接圆的切线．（3）解：Rt△ABE中，∠AEB=90°，tan∠BAE=，sin∠BAE=，cos∠BAE=；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则△DEP必为直角三角形；①DE为斜边时，P1在x轴上，此时P1与O重合；由D（﹣1，0）、E（0，3），得OD=1、OE=3，即tan∠DEO==tan∠BAE，即∠DEO=∠BAE满足△DEO∽△BAE的条件，因此O点是符合条件的P1点，坐标为（0，0）．②DE为短直角边时，P2在x轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠DEP2=∠AEB=90°，sin∠DP2E=sin∠BAE=；而DE==，则DP2=DE÷sin∠DP2E=÷=10，OP2=DP2﹣OD=9即：P2（9，0）；③DE为长直角边时，点P3在y轴上；若以D、E、P为顶点的三角形与△ABE相似，则∠EDP3=∠AEB=90°，cos∠DEP3=cos∠BAE=；则EP3=DE÷cos∠DEP3=÷=，OP3=EP3﹣OE=；综上，得：P1（0，0），P2（9，0），P3（0，﹣）．（4）解：设直线AB的解析式为y=kx+b．将A（3，0），B（1，4）代入，得，解得．∴y=﹣2x+6．过点E作射线EF∥x轴交AB于点F，当y=3时，得x=，∴F（，3）．情况一：如图2，当0＜t≤时，设△AOE平移到△GNM的位置，MG交AB于点H，MN交AE于点S．则ON=AG=t，过点H作LK⊥x轴于点K，交EF于点L．由△AHG∽△FHM，得，即．解得HK=2t．∴S阴=S△MNG﹣S△SNA﹣S△HAG=×3×3﹣（3﹣t）2﹣to2t=﹣t2+3t．情况二：如图3，当＜t≤3时，设△AOE平移到△PQR的位置，PQ交AB于点I，交AE于点V．由△IQA∽△IPF，得．即，解得IQ=2（3﹣t）．∵AQ=VQ=3﹣t，∴S阴=IVoAQ=（3﹣t）2=t2﹣3t+．综上所述：s=．【点评】该题考查了二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、切线的判定、相似三角形的判定、图形面积的解法等重点知识，综合性强，难度系数较大．此题的难点在于后两个小题，它们都需要分情况进行讨论，容易出现漏解的情况．在解答动点类的函数问题时，一定不要遗漏对应的自变量取值范围．