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秦皇岛市卢龙县2016届中考数学第三次模试卷含答案解析2016年河北省秦皇岛市卢龙县中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣6的绝对值是（）A．6 B．﹣6 C． D．2．下列等式成立的是（）A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4 B．2a2﹣3a=﹣a C．a6÷a3=a2 D．（a2）3=a63．如图，在△ABC中，∠C=90°，若BD∥AE，∠DBC=20°，则∠CAE的度数是（）A．40° B．60° C．70° D．80°4．下列判断正确的是（）A．"打开电视机，正在播百家讲坛"是必然事件B．"在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾"是必然事件C．一组数据2，3，4，5，5，6的众数和中位数都是5D．"篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中"是不可能事件5．化简的结果是（）A．﹣ab+1 B．﹣ab+b C．﹣a+1 D．﹣a﹣16．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣3，﹣4）7．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜28．某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是（）A．180（1+x%）=300 B．180（1+x%）2=300 C．180（1﹣x%）=300 D．180（1﹣x%）2=3009．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为（）A．米 B．米 C．米 D．米10．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm11．如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x﹣2y+3.5=0 B．3x﹣2y﹣3.5=0 C．3x﹣2y+7=0 D．3x+2y﹣7=012．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（）A． B． C． D．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）13．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为．14．如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2，那么表示参加"其它"活动的人数占总人数的%．15．将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是度．16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD=3，AB=5，则AC的长为．17．如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为（保留根号）．18．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．先化简，再求值：（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2，其中m、n满足方程组．20．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：①分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q；②连结PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F．（2）再连接AF、CE，求证：四边形AECF是菱形．21．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．（3）若在（2）的条件下，放入白球x的范围是0＜x＜4（x为整数），求y的最大值．22．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．23．类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（﹣2）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的"平移量"；"平移量"{a，b}与"平移量"{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照"平移量"{3，1}平移到A，再按照"平移量"{1，2}平移到B；若先把动点P按照"平移量"{1，2}平移到C，再按照"平移量"{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．②证明四边形OABC是平行四边形．（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用"平移量"加法算式表示它的航行过程．24．（1）如图1中，△ABC为正三角形，点E为AB边上任一点，以CE为边作正△DEC，连结AD．求的值．（2）如图2中，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，点E为腰AB上任意一点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连结AD．求的值；（3）如图3中，△ABC为任意等腰三角形，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC，使△DEC∽△ABC，并且BC=AC．连结AD，直接写出的值．25．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEoDF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．26．如图1，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（3，0），过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，并过点B作BD⊥x轴，垂足为D．抛物线y=ax2+bx﹣3和反比例函数（x＞0）的图象都经过点B（2，m），四边形OCBD的面积是6．（1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；（2）如图2，点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．2016年河北省秦皇岛市卢龙县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题2分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．﹣6的绝对值是（）A．6 B．﹣6 C． D．【考点】绝对值．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值．【解答】解：|﹣6|=6，故选：A．【点评】本题考查了绝对值，负数的绝对值是它的相反数．2．下列等式成立的是（）A．（a+4）（a﹣4）=a2﹣4 B．2a2﹣3a=﹣a C．a6÷a3=a2 D．（a2）3=a6【考点】平方差公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】计算题；整式．【分析】A、原式利用平方差公式化简得到结果，即可作出判断；B、原式不能合并，错误；C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=a2﹣16，不成立；B、原式不能合并，不成立；C、原式=a3，不成立；D、原式=a6，成立．故选D．【点评】此题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，以及同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．3．如图，在△ABC中，∠C=90°，若BD∥AE，∠DBC=20°，则∠CAE的度数是（）A．40° B．60° C．70° D．80°【考点】平行线的性质．【专题】计算题．【分析】过点C作CF∥BD，根据两直线平行，内错角相等即可求解．【解答】解：过点C作CF∥BD，则CF∥BD∥AE．∴∠BCF=∠DBC=20°，∵∠C=90°，∴∠FCA=90﹣20=70°．∵CF∥AE，∴∠CAE=∠FCA=70°．【点评】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等．正确作出辅助线是解题的关键．4．下列判断正确的是（）A．"打开电视机，正在播百家讲坛"是必然事件B．"在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾"是必然事件C．一组数据2，3，4，5，5，6的众数和中位数都是5D．"篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中"是不可能事件【考点】随机事件．【分析】利用随机事件、众数、中位数的意义对本题的逐项进行判断，即可确定答案．【解答】解：A、"打开电视机，正在播百家讲坛"是随机事件，故A错误；B、"在标准大气压下，水加热到100℃会沸腾"是必然事件，故B正确；C、数据2，3，4，5，5，6的众数是5，中位数是4.5，故C错误；D、"篮球运动员在罚球线上投篮一次，未投中"是随机事件，故D错误．故选：B．【点评】考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5．化简的结果是（）A．﹣ab+1 B．﹣ab+b C．﹣a+1 D．﹣a﹣1【考点】分式的乘除法．【专题】计算题；分式．【分析】原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．【解答】解：原式=﹣o=﹣（a﹣1）=﹣a+1．故选C．【点评】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．如图所示，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1，（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是（）A．（﹣4，﹣3） B．（﹣3，﹣3） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣3，﹣4）【考点】位似变换．【专题】压轴题；网格型．【分析】作直线AA1、BB1，这两条直线的交点即为位似中心．【解答】解：由图中可知，点P的坐标为（﹣4，﹣3），故选A．【点评】用到的知识点为：两对对应点连线的交点为位似中心．7．关于x的方程mx﹣1=2x的解为正实数，则m的取值范围是（）A．m≥2 B．m≤2 C．m＞2 D．m＜2【考点】解一元一次不等式；一元一次方程的解．【分析】根据题意可得x＞0，将x化成关于m的一元一次方程，然后根据x的取值范围即可求出m的取值范围．【解答】解：由mx﹣1=2x，移项、合并，得（m﹣2）x=1，∴x=．∵方程mx﹣1=2x的解为正实数，∴＞0，解得m＞2．故选C．【点评】此题考查的是一元一次方程的解法，将x用含m的代数式来表示，根据x的取值范围可求出m的取值范围．8．某商品原价为180元，连续两次提价x%后售价为300元，下列所列方程正确的是（）A．180（1+x%）=300 B．180（1+x%）2=300 C．180（1﹣x%）=300 D．180（1﹣x%）2=300【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】增长率问题．【分析】本题可先用x%表示第一次提价后商品的售价，再根据题意表示第二次提价后的售价，然后根据已知条件得到关于x%的方程．【解答】解：当商品第一次提价x%时，其售价为180+180x%=180（1+x%）；当商品第二次提价x%后，其售价为180（1+x%）+180（1+x%）x%=180（1+x%）2．∴180（1+x%）2=300．故选B．【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一次提价后商品的售价，再根据题意列出第二次提价后售价的方程，令其等于300即可．9．如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为（）A．米 B．米 C．米 D．米【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】依据平行于三角形一边的直线截其他两边所得的线段对应成比例及60°的正切值联立求解．【解答】解：设直线AB与CD的交点为点O．∴．∴AB=．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt△BDO中，tan60°=．∵CD=1．∴AB=．故选B．【点评】本题主要考查平行线分线段成比例定理．10．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．3cm【考点】菱形的性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理．【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE≌△ADF，然后连接AC可推出△ABC以及△ACD为等边三角形．根据等腰三角形三线合一的定理又可推出△AEF是等边三角形．根据勾股定理可求出AE的长继而求出周长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，∵E、F分别是BC、CD的中点，∴BE=DF，在△ABE和△ADF中，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE=AF，∠BAE=∠DAF．连接AC，∵∠B=∠D=60°，∴△ABC与△ACD是等边三角形，∴AE⊥BC，AF⊥CD（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合），∴∠BAE=∠DAF=30°，∴∠EAF=60°，∴△AEF是等边三角形．∴AE=cm，∴周长是3cm．故选B．【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理．11．如图，过点Q（0，3.5）的一次函数的图象与正比例函数y=2x的图象相交于点P，能表示这个一次函数图象的方程是（）A．3x﹣2y+3.5=0 B．3x﹣2y﹣3.5=0 C．3x﹣2y+7=0 D．3x+2y﹣7=0【考点】一次函数与二元一次方程（组）．【专题】数形结合．【分析】如果设这个一次函数的解析式为y=kx+b，那么根据这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，3.5），用待定系数法即可得出此一次函数的解析式．【解答】解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b．∵这条直线经过点P（1，2）和点Q（0，3.5），∴，解得．故这个一次函数的解析式为y=﹣1.5x+3.5，即：3x+2y﹣7=0．故选D．【点评】本题主要考查了一次函数与方程组的关系及用待定系数法求一次函数的解析式．两个一次函数图象的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解，反之，二元一次方程组的解就是对应的两个一次函数图象的交点坐标．12．图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一块被剪如图掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，…，记第n（n≥3）块纸板的周长为Pn，则Pn﹣Pn﹣1的值为（）A． B． C． D．【考点】等边三角形的性质．【专题】压轴题；规律型．【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．【解答】解：P1=1+1+1=3，P2=1+1+=，P3=1+++×3=，P4=1+++×2+×3=，…∴p3﹣p2=﹣==，P4﹣P3=﹣==，则Pn﹣Pn﹣1==．故选C．【点评】本题考查了等边三角形的性质；要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规律，并应用规律解决问题．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．把答案写在题中横线上）13．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为﹣2．【考点】一元二次方程的解．【分析】利用方程解的定义找到相等关系n2+mn+2n=0，再把所求的代数式化简后整理出m+n=﹣2，即为所求．【解答】解：把n代入方程得到n2+mn+2n=0，将其变形为n（m+n+2）=0，因为n≠0所以解得m+n=﹣2．【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．14．如图，整个圆表示某班参加课外活动的总人数，跳绳的人数占30%，表示踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2，那么表示参加"其它"活动的人数占总人数的20%．【考点】扇形统计图．【分析】由"踢毽的扇形圆心角是60°，踢毽和打篮球的人数比是1：2"可得，踢毽的人数占总人数的比例以及打篮球的人数占的比例，由"各部分占总体的百分比之和为1"可得：参加"其它"活动的人数占总人数的比例．【解答】解：由题意知，踢毽的人数占总人数的比例=60°÷360°=，则打篮球的人数占的比例=×2=，∴表示参加"其它"活动的人数占总人数的比例=1﹣﹣﹣30%=20%．故答案为：20%．【点评】本题考查的是扇形图的定义．在扇形统计图中，各部分占总体的百分比之和为1，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．15．将一个底面半径为5cm，母线长为12cm的圆锥形纸筒沿一条母线剪开并展平，所得的侧面展开图的圆心角是150度．【考点】圆锥的计算．【分析】易得圆锥的底面周长，也就是圆锥侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角度数．【解答】解：圆锥的底面周长=2π×5=10π，∴=10π，∴n=150°．【点评】考查了扇形的弧长公式；圆的周长公式；用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长．16．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，对角线AC⊥BD，垂足为O．若CD=3，AB=5，则AC的长为4．【考点】等腰梯形的性质．【专题】数形结合．【分析】过C作CE平行于BD交AB的延长线与E，然后根据勾股定理可得出答案．【解答】解：过C作CE平行于BD交AB的延长线于E，则四边形BECD是平行四边形，∵AC⊥BD，即∠AOB=90°，又CE∥BD，∴∠ACE=∠AOB=90°，∴AC⊥CE，∵四边形BECD是平行四边形，∴AE=AB+BE=AB+CD=8．∵在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC，∴梯形ABCD是等腰梯形，∴AC=BD，∵BD=CE，∴AC=CE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴AC=BD=CE==4．故答案为：4．【点评】本题考查了等腰梯形及等腰直角三角形的性质，难度不大，注意掌握等腰梯形的对角线相等．17．如图，已知一次函数y=x+1的图象与反比例函数的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点C，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，则AC的长为（保留根号）．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数系数k的几何意义；勾股定理．【专题】压轴题．【分析】由于△AOB的面积为1，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可知k=2，解由y=x+1与联立起来的方程组，得出A点坐标，又易求点C的坐标，从而利用勾股定理求出AC的长．【解答】解：∵点A在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点B，△AOB的面积为1，∴k=2．解方程组，得，．∴A（1，2）；在y=x+1中，令y=0，得x=﹣1．∴C（﹣1，0）．∴AB=2，BC=2，∴AC==2．【点评】本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．18．如图，在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，点E、G、H、F分别在AB、BC、CD、AD上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P是直线EF、GH之间任意一点，连接PE、PF、PG、PH，则△PEF和△PGH的面积和等于7．【考点】矩形的性质；平行四边形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】连接EG，FH，根据题目数据可以证明△AEF与△CGH全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=GH，同理可得EG=FH，然后根据两组对边相等的四边形是平行四边形可得四边形EGHF是平行四边形，所以△PEF和△PGH的面积和等于平行四边形EGHF的面积的一半，再利用平行四边形EGHF的面积等于矩形ABCD的面积减去四周四个小直角三角形的面积即可求解．【解答】解：∵在矩形ABCD中，AD=6，AB=4，AF=CG=2，BE=DH=1，∴AE=AB﹣BE=4﹣1=3，CH=CD﹣DH=4﹣1=3，∴AE=CH，在△AEF与△CGH中，，∴△AEF≌△CGH（SAS），∴EF=GH，同理可得，△BGE≌△DFH，∴EG=FH，∴四边形EGHF是平行四边形，∵△PEF和△PGH的高的和等于点H到直线EF的距离，∴△PEF和△PGH的面积和=×平行四边形EGHF的面积，平行四边形EGHF的面积=4×6﹣×2×3﹣×1×（6﹣2）﹣×2×3﹣×1×（6﹣2），=24﹣3﹣2﹣3﹣2，=14，∴△PEF和△PGH的面积和=×14=7．故答案为：7．【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，作出辅助线并证明出四边形EGHF是平行四边形是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．先化简，再求值：（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2，其中m、n满足方程组．【考点】整式的混合运算-化简求值；解二元一次方程组．【专题】计算题；整式．【分析】原式利用平方差公式、完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，求出方程组的解得到m与n的值，代入计算即可求出值．【解答】解：，①+②，得4m=12，解得：m=3，将m=3代入①，得9﹣2n=11，解得n=﹣1，故方程组的解是，（m﹣n）（m+n）+（m+n）2﹣2m2=m2﹣n2+m2+2mn+n2﹣2m2=2mn，当m=3，n=﹣1时，原式=2×3×（﹣1）=﹣6．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．（1）请按如下步骤在图中完成作图（保留作图痕迹）：①分别以A，C为圆心，以大于长为半径画弧，弧在AC两侧的交点分别为P，Q；②连结PQ，PQ分别与AB，AC，CD交于点E，O，F．（2）再连接AF、CE，求证：四边形AECF是菱形．【考点】作图-复杂作图；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．【分析】（1）根据要求画出图形即可；（2）根据作图可得PQ是AC的垂直平分线，进而可得AO=CO，然后证明△OFC≌△OEA可得FC=AE，从而可得四边形AECF是平行四边形，再根据AC⊥EF可判定四边形AECF是菱形．【解答】（1）解：如图所示；（2）证明：根据作图可得PQ是AC的垂直平分线，∴AO=OC，∵DC∥AB，∴∠CFO=∠AEO，∠FCO=∠EAO，在△OFC和△OEA中，∴△OFC≌△OEA（AAS），∴FC=AE，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC⊥FE，∴四边形AECF是菱形．【点评】此题主要考查了复杂作图，以及菱形的判定，关键是掌握线段垂直平分线的做法，掌握对角线互相垂直的平行四边形是菱形．21．已知一个口袋中装有7个只有颜色不同的球，其中3个白球，4个黑球．（1）求从中随机抽取出一个黑球的概率是多少？（2）若往口袋中再放入x个白球和y个黑球，从口袋中随机取出一个白球的概率是，求y与x之间的函数关系式．（3）若在（2）的条件下，放入白球x的范围是0＜x＜4（x为整数），求y的最大值．【考点】一次函数的应用；概率公式．【分析】（1）根据概率求法：符合条件的情况数目除以全部情况的总数列式求得答案；（2）根据白球的概率公式得到相应的方程求解即可；（3）利用一次函数的性质得出最大值即可．【解答】解：（1）取出一个黑球的概率；（2）∵取出一个白球的概率，∴，∴12+4x=7+x+y，∴y与x的函数关系式为：y=3x+5．（3）∵k=3＞0，∴y随x的增大而增大，y有最大值．∴x=3时，y有最大值是，y最大=3×3+5=14．【点评】此题考查一次函数的性质，掌握一次函数的性质与概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解决问题的关键．22．某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设20米，且甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同．（1）甲、乙工程队每天各能铺设多少米？（2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量的方案有几种？请你帮助设计出来（工程队分配工程量为正整百数）．【考点】分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．【专题】工程问题．【分析】（1）设甲工程队每天能铺设x米．根据甲工程队铺设350米所用的天数与乙工程队铺设250米所用的天数相同，列方程求解；（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．根据完成该项工程的工期不超过10天，列不等式组进行分析．【解答】解：（1）设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x﹣20）米．根据题意得：，即350（x﹣20）=250x，∴7x﹣140=5x解得x=70．经检验，x=70是原分式方程的解，且符合题意，乙工程队每天能铺设：x﹣20=70﹣20=50米．答：甲、乙工程队每天分别能铺设70米和50米．（2）设分配给甲工程队y米，则分配给乙工程队（1000﹣y）米．由题意，得，解得500≤y≤700．所以分配方案有3种：方案一：分配给甲工程队500米，分配给乙工程队500米；方案二：分配给甲工程队600米，分配给乙工程队400米；方案三：分配给甲工程队700米，分配给乙工程队300米．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，以及一元一次不等式组的应用，在工程问题中，工作量=工作效率×工作时间．在列分式方程解应用题的时候，也要注意进行检验．23．类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为3+（﹣2）=1．若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移|a|个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移|b|个单位），则把有序数对{a，b}叫做这一平移的"平移量"；"平移量"{a，b}与"平移量"{c，d}的加法运算法则为{a，b}+{c，d}={a+c，b+d}．解决问题：（1）计算：{3，1}+{1，2}；{1，2}+{3，1}；（2）①动点P从坐标原点O出发，先按照"平移量"{3，1}平移到A，再按照"平移量"{1，2}平移到B；若先把动点P按照"平移量"{1，2}平移到C，再按照"平移量"{3，1}平移，最后的位置还是点B吗？在图1中画出四边形OABC．②证明四边形OABC是平行四边形．（3）如图2，一艘船从码头O出发，先航行到湖心岛码头P（2，3），再从码头P航行到码头Q（5，5），最后回到出发点O．请用"平移量"加法算式表示它的航行过程．【考点】勾股定理；平行四边形的判定；生活中的平移现象．【专题】阅读型．【分析】（1）本题主要是类比学习，所以关键是由给出的例题中找出解题规律，即前项加前项，后项加后项．（2）根据题中给出的平移量找出各对应点，描出各点，顺次连接即可．（3）根据题中的文字叙述列出式子，根据（1）中的规律计算即可．【解答】解：（1）{3，1}+{1，2}={4，3}；{1，2}+{3，1}={4，3}．（2）①画图最后的位置仍是B．②证明：由①知，A（3，1），B（4，3），C（1，2）∴OC=AB==，OA=BC==，∴四边形OABC是平行四边形．（3）从O出发，先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，可知平移量为{2，3}，同理得到P到Q的平移量为{3，2}，从Q到O的平移量为{﹣5，﹣5}，故有{2，3}+{3，2}+{﹣5，﹣5}={0，0}．【点评】本题是一道综合题，比较有创新，让学生在做题的同时又学到新知识，是一道好题．24．（1）如图1中，△ABC为正三角形，点E为AB边上任一点，以CE为边作正△DEC，连结AD．求的值．（2）如图2中，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，点E为腰AB上任意一点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连结AD．求的值；（3）如图3中，△ABC为任意等腰三角形，点E为腰AB上任意一点，以CE为底边作等腰△DEC，使△DEC∽△ABC，并且BC=AC．连结AD，直接写出的值．【考点】相似形综合题．【专题】综合题；图形的相似．【分析】（1）由三角形ABC与三角形CDE都为正三角形，得到AB=AC，CE=CD，以及内角为60°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用SAS得到三角形ECB与三角形DCA全等，利用全等三角形对应边相等得到BE=AD，即可求出所求之比；（2）由三角形CDE与三角形ABC都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到CE=CD，BC=AC，以及锐角为45°，利用等式的性质得到∠ECB=∠DCA，利用两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到三角形ECB与三角形DCA相似，利用相似三角形对应边成比例即可求出所求之比；（3）仿照前两问，以此类推得到一般性规律，求出所求之比即可．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE都是正三角形，∴∠B=∠ACB=∠DCE=60°，AB=AC，CE=DC，∵∠ECB=∠ACB﹣∠ACE=60°﹣∠ACE，∠DCA=∠DCE﹣∠ACE=60°﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，则=1；（2）∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△CDE中，∴∠B=∠ACB=∠DCE=45°，CE=DC，BC=AC，∴==，∵∠ECB=∠ACB﹣∠ACE=45°﹣∠ACE，∠ACD=∠DCE﹣∠ACE=45°﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB∽△DCA，∴==；（3）依此类推，当BC=AC时，=，理由为：∵等腰△ABC和等腰△CDE中，∴∠B=∠ACB=∠DCE，CE=DC，BC=AC，∴==，∵∠ECB=∠ACB﹣∠ACE，∠ACD=∠DCE﹣∠ACE，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB∽△DCA，∴==．【点评】此题属于相似形综合题，涉及的知识有：等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键．25．如图，AB、AC分别是⊙O的直径和弦，点D为劣弧AC上一点，弦DE⊥AB分别交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延长线上一点且PC=PF．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）点D在劣弧AC什么位置时，才能使AD2=DEoDF，为什么？（3）在（2）的条件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的长．【考点】切线的判定；全等三角形的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．【专题】代数几何综合题；压轴题．【分析】（1）连接OC，证明∠OCP=90°即可．（2）乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出．（3）可以先根据勾股定理求出DH，再通过证明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，∴∠AHF=90°，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90°，∴PC是⊙O的切线．（2）解：点D在劣弧AC中点位置时，才能使AD2=DEoDF，理由如下：连接AE．∵点D在劣弧AC中点位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA，∴AD：ED=FD：AD，∴AD2=DEoDF．（3）解：连接OD交AC于G．∵OH=1，AH=2，∴OA=3，即可得OD=3，∴DH===2．∵点D在劣弧AC中点位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90°，在△OGA和△OHD中，，∴△OGA≌△OHD（AAS），∴AG=DH，∴AC=4．【点评】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的性质及全等三角形的性质．26．如图1，二次函数y=ax2+bx﹣3的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A（3，0），过点C作BC∥x轴，交抛物线于点B，并过点B作BD⊥x轴，垂足为D．抛物线y=ax2+bx﹣3和反比例函数（x＞0）的图象都经过点B（2，m），四边形OCBD的面积是6．（1）求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；（2）如图2，点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段OA向A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为t秒．①当t为何值时，四边形ABPQ为等腰梯形；②设PQ与对称轴的交点为M，过M点作x轴的平行线交AB于点N，设四边形ANPQ的面积为S，求面积S关于时间t的函数解析式，并指出t的取值范围；当t为何值时，S有最大值或最小值．【考点】二次函数综合题；一次函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；全等三角形的判定与性质；等腰梯形的判定．【专题】综合题．【分析】（1）根据反比例函数的比例系数k的几何意义可求出k，从而可求出点B的坐标，然后运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，由此可求出对称轴方程；（2）①过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2，易证BC∥OA，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，只需QE=AD=1，由此即可求出t的值；②如图2，易证△MFP≌△MGQ，则有MF=MG，从而可求出S△BPN（用t表示），然后只需求出S四边形ABPQ，并运用割补法就可得到S关于t的函数解析式，然后只需利用该函数的增减性就可解决问题．【解答】解：（1）如图1，∵四边形OCBD的面积是6，∴k=xy=﹣6，∴反比例函数的解析式为．∵反比例函数（x＞0）的图象经过点B（2，m），∴2m=﹣6，解得m=﹣3．∴B（2，﹣3）．将点A（3，0），B（2，﹣3）代入y=ax2+bx﹣3，得解得：，∴二次函数的解析式y=x2﹣2x﹣3．则抛物线的对称轴为x=﹣=1；（2）①由题意可知：BP=OQ=0.1t．∵点B，点C的纵坐标相等，∴BC∥OA．过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2．要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB．即QE=AD=1．又QE=OE﹣OQ=（2﹣0.1t）﹣0.1t=2﹣0.2t，∴2﹣0.2t=1．解得t=5，∴当t=5秒时，四边形ABPQ为等腰梯形．②设对称轴与BC、x轴的交点分别为F、G，如图2．∵对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF=OG=1．又∵BP=OQ，∴PF=QG．∵BC∥OA，∴∠GQM=∠FPM．在△MFP和△MGQ中，∴△MFP≌△MGQ，∴MF=MG，∴S△BPN=PBoMF═PBoFG=×0.1t×=t．∵S四边形ABPQ=（BP+AQ）oFG=（0.1t+3﹣0.1t）o3=，∴S=S四边形ABPQ﹣S△BPN=﹣t．∵BC=2，OA=3，∴点P运动到点C时停止运动，需要2÷0.1=20秒，∴0≤t≤20．∵﹣＜0，∴当t=20秒时，面积S有最小值3．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的增减性、反比例函数的比例系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质、等腰梯形的判定等知识，把四边形ABPQ为等腰梯形转化为QE=AD是解决第（2）①小题的关键，运用割补法是解决第（2）②小题的关键．