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河南省商丘市虞城县2016年中考数学第一次模试卷含答案解析2016年河南省商丘市虞城县中考数学一模试卷一、选择题1.下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣12；④﹣（﹣1）﹣2，其中结果等于﹣1的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④2．下列剪纸图案中，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．下列调查中，最适合用普查方式的是（）A．调查某品牌牛奶质量合格率B．调查某幼儿园一班学生的平均身高C．调查某市中小学生收看纪念抗日战争胜利70周年大阅兵的情况D．调查某省九年级学生一周内网络自主学习的情况4．如图所示，实数a=，则在数轴上，表示﹣a的点应落在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上5．如图所示，将一个透明的圆柱形玻璃容器（不计壁厚）中装入体积为容器一半容积的水，当水平放置该容器时，水面的形状为（）A．圆 B．椭圆C．一般的平行四边形 D．矩形6．某校动漫社团有20名学生代表学校参加市级"动漫设计"比赛，他们的得分情况如表：人数 4 6 8 2分数 80 85 90 95那么这20名学生所得分数的众数和中位数分别是（）A．95和85 B．90和85 C．90和87.5 D．85和87.57．把抛物线y=x2+1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线表达式为（）A．y=（x﹣3）2+2 B．y=（x﹣3）2﹣1 C．y=（x+3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2﹣28．某学习小组中有甲、乙、丙、丁四位同学，为解决尺规作图："过直线AB外一点M，作一直线垂直于直线AB"，各自提供了如下四种方案，其中正确的是（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙、丁 D．甲、乙、丙二、填空题9．将一个长为2，宽为4的长方形通过分割拼成一个等面积的正方形，则该正方形的边长为．10．阿里巴巴2015年"双十一"全天交易额突破912.17亿元，将数字"912.17亿"用科学记数法表示为．11．如图所示，将一个含60°角的直角三角形按照如图放置在作业纸上，纸上横线是一组平行线，若∠1=20°，则∠2=．12．小明手里有6张完全一样的卡片，其中4张正面画上记号"A"，另外2张卡片被画上记号"B"，先将其背面朝上洗匀，让小东从中随机抽取2张卡片，则他抽出的两张均有"A"记号的卡片的概率等于．13．如图所示，将一个矩形ABCD纸片，剪去两个完全相同的矩形后，剩余的阴影部分纸片面积大小为24，且AB=8，则被剪掉的矩形的长为．14．如图所示，格点△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，图中每个小正方形的边长是1，则图中阴影部分的面积为．15．如图所示，线段AB=8cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．先化简，再求值：÷﹣，其中a=+2．17．如图所示，AB为半圆O的直径，点D是半圆弧的中点，半径OC∥BD，过点C作AD的平行线交BA延长线于点E．（1）判断CE与半圆OD的位置关系，并证明你的结论．（2）若BD=4，求阴影部分面积．18．某课外活动小组为了了解本校学生上网目的，随机调查了本校的部分学生，根据调查结果，统计整理并制作了如下尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）参与本次调查的学生共有人；（2）在扇形统计图中，m的值为；（3）补全条形统计图；（4）中学生上网玩游戏、聊天交友已经对正常的学习产生较多负面影响，为此学校计划开展一次"合理上网"专题讲座，每班随机抽取15名学生参加，小明所在的班级有50名学生，他被抽到听讲座的概率是多少？19．某商店前后两次从外地购进热销精品玩具80件，前后两次玩具进价分别为20元/件、30元/件，且后一次比前一次多花了900元钱．（1）求前后两次分别购进玩具的件数．（2）该商店对这批玩具第一次以50元/件的价格卖出一部分，第二次又以40元/件的价格将剩余部分售完，若该商店要想赚取不低于1500元的利润，求第一次应卖出件的范围．20．如图所示，在平面直角坐标系中，双曲线y=（x＜0）上有一点A（﹣2，2），AB⊥y轴于点B，点C是x轴正半轴上一动点，直线CB交双曲线于点D，DE⊥x轴于点E，连接AE，AD，BE．（1）当点C运动时，四边形ADBE的形状能变成菱形吗？如果能，求出此时点C的位置，若不能，说明理由．（2）小明经过探究发现：点C运动会影响四边形ADBE形状，但是AD与BE的位置关系始终不变，请你帮他解释其中的原因．21．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）22．问题背景：△AOB、△COD是两个等腰直角三角形，现将直角顶点以及两直角边都重合在一起，如图1所示，点P是CD中点，连接BP并延长到E使PE=BP，连接EC，作平行四边形ACEF，小林针对平行四边形ACEF形状进行了如下探究：观察操作：（1）小林先假设小等腰直角三角形的直角边非常小，这时三角形可以看作一个点，如图2所示，并提出猜想四边形ACEF是；猜想证明：（2）小林对比图1和图2的情形，完成了（1）中的猜想，请借助图1帮他证明这个猜想．拓展延伸：（3）如图3所示，现将等腰直角三角形COD绕点O逆时针旋转一定角度，其它条件都不改变，原来结论是否仍然成立？请说明理由．23．如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；（3）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形？若存在，直接写出满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．2016年河南省商丘市虞城县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1.下列各数：①﹣12；②﹣（﹣1）2；③﹣12；④﹣（﹣1）﹣2，其中结果等于﹣1的是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【考点】有理数的乘方．【专题】计算题；实数．【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：①﹣12=﹣1，符合题意；②﹣（﹣1）2=﹣1，符合题意；③﹣12=﹣1，符合题意；④﹣（﹣1）﹣2=﹣1，符合题意．故选D．【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．下列剪纸图案中，属于中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、是中心对称图形，故此选项正确；D、不是中心对称图形，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形定义．3．下列调查中，最适合用普查方式的是（）A．调查某品牌牛奶质量合格率B．调查某幼儿园一班学生的平均身高C．调查某市中小学生收看纪念抗日战争胜利70周年大阅兵的情况D．调查某省九年级学生一周内网络自主学习的情况【考点】全面调查与抽样调查．【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似进行解答即可．【解答】解：调查某品牌牛奶质量合格率，适合用抽样方式，A不合题意；调查某幼儿园一班学生的平均身高，适合用普查方式，B符合题意；调查某市中小学生收看纪念抗日战争胜利70周年大阅兵的情况，适合用抽样方式，C不合题意；调查某省九年级学生一周内网络自主学习的情况，适合用抽样方式，D不合题意；故选：B．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．如图所示，实数a=，则在数轴上，表示﹣a的点应落在（）A．线段AB上 B．线段BC上 C．线段CD上 D．线段DE上【考点】实数与数轴．【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得﹣a，根据实数的大小比较，可得答案．【解答】解：a=，﹣a=﹣，﹣2＜﹣＜﹣1，故选：A．【点评】本题考查了实数与数轴，利用实数的大小比较是解题关键．5．如图所示，将一个透明的圆柱形玻璃容器（不计壁厚）中装入体积为容器一半容积的水，当水平放置该容器时，水面的形状为（）A．圆 B．椭圆C．一般的平行四边形 D．矩形【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据垂直于圆柱底面的截面是矩形，可得答案．【解答】解：由水平面与圆柱的底面垂直，得水面的形状是矩形．故选：D．【点评】本题考查了三视图，垂直于圆柱底面的截面是矩形，平行圆柱底面的截面是圆形．6．某校动漫社团有20名学生代表学校参加市级"动漫设计"比赛，他们的得分情况如表：人数 4 6 8 2分数 80 85 90 95那么这20名学生所得分数的众数和中位数分别是（）A．95和85 B．90和85 C．90和87.5 D．85和87.5【考点】众数；中位数．【分析】根据众数的定义，找到该组数据中出现次数最多的数即为众数；根据中位数定义，将该组数据按从小到大依次排列，处于中间位置的两个数的平均数即为中位数．【解答】解：90分的有8人，人数最多，故众数为90分；处于中间位置的数为第10、11两个数，为85分，90分，中位数为87.5分．故选C．【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．7．把抛物线y=x2+1向左平移3个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线表达式为（）A．y=（x﹣3）2+2 B．y=（x﹣3）2﹣1 C．y=（x+3）2﹣1 D．y=（x﹣3）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据"左加右减、上加下减"的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=x2+1向左平移3个单位所得直线解析式为：y=（x+3）2+1；再向下平移2个单位为：y=（x+3）2+1﹣2．即：y=（x+3）2﹣1．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．8．某学习小组中有甲、乙、丙、丁四位同学，为解决尺规作图："过直线AB外一点M，作一直线垂直于直线AB"，各自提供了如下四种方案，其中正确的是（）A．甲、乙 B．乙、丙 C．丙、丁 D．甲、乙、丙【考点】作图-基本作图．【专题】作图题．【分析】根据作已知线段的垂直平分线可对甲、乙进行判断；根据圆周角定理对乙进行判断．【解答】解：甲作了AB垂直平分过点M的线段；乙作了线段AB的垂直平分线；丙作了以AM为直径的圆；丁的作法不明确．故选D．【点评】本题考查了基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线．二、填空题9．将一个长为2，宽为4的长方形通过分割拼成一个等面积的正方形，则该正方形的边长为2．【考点】算术平方根．【分析】先计算出长方形的面积，再根据算术平方根即可解答．【解答】解：长方形的面积为：2×4=8，则正方形的面积也为8，所以正方形的边长为：，故答案为：2．【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根．10．阿里巴巴2015年"双十一"全天交易额突破912.17亿元，将数字"912.17亿"用科学记数法表示为9.1217×1010．【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将912.17亿用科学记数法表示为9.1217×1010．故答案为：9.1217×1010．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．如图所示，将一个含60°角的直角三角形按照如图放置在作业纸上，纸上横线是一组平行线，若∠1=20°，则∠2=50°．【考点】平行线的性质．【分析】根据三角形内角和定理求出∠3，根据平行线的性质得出∠2=∠1+∠3，代入求出即可．【解答】解：∠3=180°﹣90°﹣60°=30°，∵AB∥CD，∴∠1+∠3=∠2=20°+30°=50°，故答案为：50°．【点评】本题考查了平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，能根据平行线的性质得出∠2=∠1+∠3是解此题的关键．12．小明手里有6张完全一样的卡片，其中4张正面画上记号"A"，另外2张卡片被画上记号"B"，先将其背面朝上洗匀，让小东从中随机抽取2张卡片，则他抽出的两张均有"A"记号的卡片的概率等于．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与他抽出的两张均有"A"记号的卡片的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：列表得： A A A A B BA ﹣ AA AA AA BA BAA AA ﹣ AA AA BA BAA AA AA ﹣ AA BA BAA AA AA AA ﹣ BA BAB AB AB AB AB ﹣ BBB AB AB AB AB BB ﹣∵共有30种等可能的结果，他抽出的两张均有"A"记号的卡片的有12种情况，∴他抽出的两张均有"A"记号的卡片的概率为：=．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13．如图所示，将一个矩形ABCD纸片，剪去两个完全相同的矩形后，剩余的阴影部分纸片面积大小为24，且AB=8，则被剪掉的矩形的长为6．【考点】一元二次方程的应用．【专题】几何图形问题．【分析】设被剪掉的矩形的长为x，则宽为（8﹣x），根据等量关系："剩余的阴影部分纸片面积大小为24"列出方程并解答．【解答】解：设被剪掉的矩形的长为x，则宽为（8﹣x），依题意得：xo[x﹣（8﹣x）]=24，解得x=6（舍去负值）．故答案是：6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．14．如图所示，格点△ABC绕点B逆时针旋转得到△EBD，图中每个小正方形的边长是1，则图中阴影部分的面积为．【考点】扇形面积的计算．【分析】先求出∠ABE的度数，再由S阴影=S扇形ABE+S△ABC﹣S△BDE﹣S扇形DBC即可得出结论．【解答】解：∵由图可知∠ABC=45°，∴∠ABE=90°．∵AB==，∴S阴影=S扇形ABE+S△ABC﹣S△BDE﹣S扇形DBC=S扇形ABE﹣S扇形DBC=﹣=2π﹣=．故答案为：．【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．15．如图所示，线段AB=8cm，射线AN⊥AB于点A，点C是射线上一动点，分别以AC、BC为直角边作等腰直角三角形，得△ACD与△BCE中，连接DE交射线AN于点M，则CM的长为4．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】如图作EH⊥AN于H，由△ABC≌△HCE得AB=CH，AC=EH，再证明△ABC≌△HCE得CM=CH即可解决问题．【解答】解：如图作EH⊥AN于H，∵BA⊥AN，EH⊥AN，∴∠BAC=∠EHC=90°，∵∠ABC+∠ACB=90°，∠ACB+∠ECH=90°，∴∠ABC=∠ECH，∵△BCE和△ACD都是等腰三角形，∴BC=CE，AC=DC，∠BCE=∠ACD=90°在△ABC和△HCE中，∴△ABC≌△HCE，∴AC=EH=CD=EH，AB=CH，在△DCM和△EHM中，，∴△ABC≌△HCE．∴CM=HM，∴CM=CH=AB=4．故答案为4．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，掌握添加辅助线的方法，属于中考常考题型．三、解答题（本大题8个小题，共75分）16．先化简，再求值：÷﹣，其中a=+2．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=o﹣=﹣=，当a=+2时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图所示，AB为半圆O的直径，点D是半圆弧的中点，半径OC∥BD，过点C作AD的平行线交BA延长线于点E．（1）判断CE与半圆OD的位置关系，并证明你的结论．（2）若BD=4，求阴影部分面积．【考点】切线的判定；扇形面积的计算．【分析】（1）直接利用圆周角定理结合平行线的性质得出CO⊥EC，即可得出答案；（2）利用已知得出△ADB为等腰直角三角形，进而得出△ECO为等腰直角三角形，由S阴影部分=S△ECD﹣S扇形AOC求出答案．【解答】解：（1）CE与半圆OD相切，理由：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥DB，∵CO∥DB，∴CO⊥AD，∵EC∥AD，∴CO⊥EC，∴CE与半圆OD相切；（2）∵点D平分半圆弧，∴∠B=45°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵BD=4，∴AB=4，∴CO=2，∵CO∥DB，∴∠AOC=∠ABD=45°，由（1）知CO⊥EC，∴△ECO为等腰直角三角形，∴S阴影部分=S△ECD﹣S扇形AOC=（2）2﹣π（2）2=4﹣π．【点评】此题主要考查了切线的判定以及等腰直角三角形的性质、扇形面积求法等知识，正确得出△ECO为等腰直角三角形是解题关键．18．某课外活动小组为了了解本校学生上网目的，随机调查了本校的部分学生，根据调查结果，统计整理并制作了如下尚不完整的统计图：根据以上信息解答下列问题：（1）参与本次调查的学生共有300人；（2）在扇形统计图中，m的值为25；（3）补全条形统计图；（4）中学生上网玩游戏、聊天交友已经对正常的学习产生较多负面影响，为此学校计划开展一次"合理上网"专题讲座，每班随机抽取15名学生参加，小明所在的班级有50名学生，他被抽到听讲座的概率是多少？【考点】条形统计图；扇形统计图；概率公式．【分析】（1）根据：玩游戏人数÷玩游戏的百分比=总人数，计算可得；（2）根据：聊天交友人数÷总人数×100可得m的值；（3）总人数×查资料的百分比可得人数，补全条形图即可；（4）用抽取人数除以班级总人数可得概率．【解答】解：（1）90÷30%=300（人）；（2）m=×100=25；（3）300×20%=60（人），补全图形如下：（4）小明被抽到听讲座的概率是=．故答案为：（1）300，（2）25．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．某商店前后两次从外地购进热销精品玩具80件，前后两次玩具进价分别为20元/件、30元/件，且后一次比前一次多花了900元钱．（1）求前后两次分别购进玩具的件数．（2）该商店对这批玩具第一次以50元/件的价格卖出一部分，第二次又以40元/件的价格将剩余部分售完，若该商店要想赚取不低于1500元的利润，求第一次应卖出件的范围．【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设前一次购进玩具x件，第二次购进玩具y件，根据进货钱数=单价×数量及二次共进货80件，得出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）设第一次卖出a件，则第二次卖出80﹣a件，根据利润=出售总钱数﹣进货钱数得出关于a的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：（1）设前一次购进玩具x件，第二次购进玩具y件，由题意得：，解得：．答：前后两次分别购进玩具的件数为30件和50件．（2）设第一次卖出a件，则第二次卖出80﹣a件，根据题意得：50a+40（80﹣a）﹣（20×30+30×50）≥1500，解得：a≥40，又∵a≤80，∴40≤a≤80．则第一次卖出玩具件数范围为40≤a≤80．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键：（1）列出关于x、y的二元一次方程组；（2）找出关于a的一元一次不等式．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目，根据数量关系列对方程（或方程组）即可．20．如图所示，在平面直角坐标系中，双曲线y=（x＜0）上有一点A（﹣2，2），AB⊥y轴于点B，点C是x轴正半轴上一动点，直线CB交双曲线于点D，DE⊥x轴于点E，连接AE，AD，BE．（1）当点C运动时，四边形ADBE的形状能变成菱形吗？如果能，求出此时点C的位置，若不能，说明理由．（2）小明经过探究发现：点C运动会影响四边形ADBE形状，但是AD与BE的位置关系始终不变，请你帮他解释其中的原因．【考点】反比例函数综合题．【分析】（1）若四边形ADBE为菱形，则AB与DE互相垂直平分，则B和D的坐标可求得，然后利用待定系数法求得直线BC的解析式，进而求得C的坐标；（2）设D的坐标是（a，﹣），利用利用待定系数法即可求利用a表示出AD和BE的解析式，根据直线平行的条件即可判断．【解答】解：（1）若四边形ADBE为菱形，则AB与DE互相垂直平分，由题意得，A（﹣2，2），B（0，2）．则反比例函数的解析式是y=﹣，E（﹣1，0）D（﹣1，4）．设直线BD的解析式是y=kx+b，将B（0，2），D（﹣1，4）代入y=kx+b，可得：，解得：，则直线BD的解析式是y=﹣2x+2，所以C的坐标是（1，0）；（2）设D的坐标是（a，﹣），直线AD的解析式是y=kx+b，则E（a，0）．将A（﹣2，2），D（a，﹣）代入可得：，解得：，则直线AD的解析式是y=﹣x+（2﹣）．同理可得直线BE的解析式是y=﹣x+2，∴AD和BE始终平行．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数和直线的解析式，正确利用a表示出AD和BE的解析式是解决本题的关键．21．如图所示，某古代文物被探明埋于地下的A处，由于点A上方有一些管道，考古人员不能垂直向下挖掘，他们被允许从B处或C处挖掘，从B处挖掘时，最短路线BA与地面所成的锐角是56°，从C处挖掘时，最短路线CA与地面所成的锐角是30°，且BC=20m，若考古人员最终从B处挖掘，求挖掘的最短距离．（参考数据：sin56°=0.83，tan56°≈1.48，≈1.73，结果保留整数）【考点】解直角三角形的应用．【分析】作AD⊥BC交CB延长线于点D，执行额AD即为文物在地面下的深度．设AD=x．通过解直角△ABD求得BD=；通过解直角△ACD求得CD=x，由此列出关于x的方程，通过方程求得AD的长度．最后通过解直角三角形ABD来求AB的长度即可．【解答】解：作AD⊥BC交CB延长线于点D，执行额AD即为文物在地面下的深度．根据题意得∠CAD=30°，∠ABD=56°．设AD=x．在直角△ABD中，∵∠ABD=56°，∴BD==．在直角△ACD中，∵∠ACB=30°，∴CD=AD=x，∴x=+20．解得x≈18.97，∴AB=≈≈23．答：从B处挖掘的最短距离为23米．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是正切、余弦概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．22．问题背景：△AOB、△COD是两个等腰直角三角形，现将直角顶点以及两直角边都重合在一起，如图1所示，点P是CD中点，连接BP并延长到E使PE=BP，连接EC，作平行四边形ACEF，小林针对平行四边形ACEF形状进行了如下探究：观察操作：（1）小林先假设小等腰直角三角形的直角边非常小，这时三角形可以看作一个点，如图2所示，并提出猜想四边形ACEF是正方形；猜想证明：（2）小林对比图1和图2的情形，完成了（1）中的猜想，请借助图1帮他证明这个猜想．拓展延伸：（3）如图3所示，现将等腰直角三角形COD绕点O逆时针旋转一定角度，其它条件都不改变，原来结论是否仍然成立？请说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）根据已知直接证明有一个直角且邻边相等即可；（2）通过证明三角形CEP和三角形DBP全等，结合等量代换即可证明；（3）与（2）同理可证EC=DB，EC∥DB，进一步证明△AOC≌△BOD，结合等量代换和平行线的性质即可解答．【解答】解：（1）正方形；如图2，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠AOE=90°，AO=BO，∵OE=BO，∴AO=OE，∴平行四边形ACEF是正方形；（2）如图1，∵P是CD的中点，∴PC=PD，在△CPE和△BPD中，，∴△CPE≌△BPD，∴EC=DB，∵OA=OB，OC=OD，∴AC=DB，∴EC=AC，∴平行四边形ACEF是菱形，∵△CPE≌△BPD，∴∠CEP=∠DBP，∴EC∥OB，∵∠O=90°，∴∠ACE=90°，∴菱形ACEF是正方形；（3）如图3，与（2）同理可证△CPE≌△BPD，∴EC=DB，EC∥DB，∵∠AOC+∠COB=∠COB+∠DOB=90°，∴∠AOC=∠DOB，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD，∵∠COD=90°，∴△AOC可以看作△BOD顺时针绕点O旋转90°得到，∴AC⊥DB，AC=DB，∴EC=AC，∴平行四边形ACEF是菱形，∵EC∥DB，∴AC⊥EC，∴菱形ACEF是正方形．【点评】此题主要考查几何变换中的旋转，在旋转中找到并证明全等三角形，并灵活运用全等三角形的性质进行推理是解题的关键．23．如图所示，将一边长为3的正方形放置到平面直角坐标系中，其顶点A、B均落在坐标轴上，一抛物线过点A、B，且顶点为P（1，4）（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线上一点，恰使△MOA≌△MOB，求点M的坐标；（3）y轴上是否存在一点N，恰好使得△PNB为直角三角形？若存在，直接写出满足条件的所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由正方形的性质可知OA=OB=3，从而得到点A的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4，把A（0，3）代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）由全等三角形对应边相等可知MA=BM，从而可知点M在AB的垂直平分线上，故此点M为直线OC与抛物线的交点，然后求得直线OC与抛物线的交点坐标即可；（3）设N（0，t）．分为∠PNB=90、∠NPB=90°、∠PBN=90°三种情况画出图形，然后依据相似三角形对应边成比例列出关于t的方程求解即可．【解答】解：（1）∵正方形的边长为3，∴A（0，3），B（3，0）．设抛物线的解析式为y=a（x﹣1）2+4．∵把A（0，3）代入得：a+4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3．（2）如图1所示：∵△MOA≌△MOB，∴AM=BM．∴点M在AB的垂直平分线上．∵OACB为正方形，∴OC为AB的垂直平分线．设OC的解析式为y=kx，∵将C（3，3）代入得：3k=3，解得：k=1，∴直线OC的解析式为y=x．由y=x与y=﹣x2+2x+3得：x=﹣x2+2x+3，解得：x1=，x2=．∴M（，），M′（，）．∴点M的坐标为（，）或（，）．（3）设N（0，t）．①当∠PNB=90时，如图2所示．连接PN、BN，过点P作PM⊥y轴，垂足为M．由△PMN∽△NOB，得：，解得：t1=1，t2=3．②当∠NPB=90°时．如图3所示；连接PN、BN，过点P作x轴的平行线，交BC延长线与点M．由△PMN∽△NOB，得：，解得：t=．③当∠PBN=90°时，如图4所示，过点P作x轴的平行线，交BC延长线与点M．由△PMB∽△NOB得：，解得：t=﹣．综上所述，点M的坐标为（0，1）、（0，3）、（0，）、（0，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题需要熟练掌握待定系数法求函数解析式的步骤和方法、二次函数表达式的三种基本形式、相似三角形的性质、正方形的性质，分类讨论是解题的关键．