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苏州市2016年中考数学一模试卷含答案解析2016年江苏省苏州市昆山市中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．﹣3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．下列计算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4 C．a2oa3=a5 D．（a﹣b）2=a2﹣b23．下列图形中不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．4．函数y=中自变量x的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣25．小明在参加区运动会前进行100米跑训练，老师对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则老师需要知道他这10次成绩的（）A．方差 B．众数 C．平均数 D．频数6．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A． B． C． D．7．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y28．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠010．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A． B． C． D．12二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．分解因式：4a2﹣16=．12．据统计，今年无锡鼋头渚"樱花节"活动期间入园赏樱人数约803万人次，用科学记数法可表示为人次．13．邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：入数据 1 2 3 4 5 6 …输出数据 …那么，当输入数据是7时，输出的数据是．14．如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为cm．15．如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣2=0的两个根，则α2+2α﹣β+2016的值是．16．如图，已知函数y=x+2b和y=ax+3的图象交于点P，则不等式x+2b＞ax+3的解集为．17．如图，将一块斜边长为15cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿B′刚好落在斜边AB上，则此三角板向右平移的距离为．18．如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2．三、解答题（共10小题，满分76分）19．（1）计算：|﹣1|﹣（）﹣2﹣2sin60°（2）计算：（1﹣）÷．20．（1）解方程：+=2；（2）解不等式组：．21．已知﹣纸箱中放有大小均匀的x只白球和y只黄球，从箱中随机地取出一只白球的概率是．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）当x=10时，再往箱中放进20只白球，求随机地取出一只黄球的概率P．22．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x … ﹣1 0 2 4 …y … ﹣5 1 1 m …求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD=CE；（2）求∠DFC的度数．25．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ．（1）求k的值；（2）判断△QOC与△POD的面积是否相等，并说明理由．26．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1，x2=3时，y1=y2．（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围．27．某大学毕业生响应国家"自主创业"的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．注：销售利润=销售收入﹣购进成本．28．如图1，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE=1，且∠DBE=∠BMD．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的P点的坐标；（3）如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标．2016年江苏省苏州市昆山市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．﹣3的倒数是（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【考点】倒数．菁优网版权所有【分析】根据倒数的定义可得﹣3的倒数是﹣．【解答】解：﹣3的倒数是﹣．故选：C．【点评】主要考查倒数的概念及性质．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．2．下列计算正确的是（）A．2a﹣a=1 B．a2+a2=2a4 C．a2oa3=a5 D．（a﹣b）2=a2﹣b2【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法．菁优网版权所有【分析】根据合并同类项，积的乘方，完全平方公式，即可解答．【解答】解：A.2a﹣a=a，故错误；B．a2+a2=2a2，故错误；C．a2oa3=a5，正确；D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故错误；故选：C．【点评】本题考查了合并同类项，积的乘方，完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平分公式．3．下列图形中不是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；生活中的旋转现象．菁优网版权所有【分析】根据中心对称图形的概念．如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，不是中心对称图形．因为找不出这样的一个点，将这个图形绕这一点旋转180°后能够与自身重合，即不满足中心对称图形的定义．符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意．故选B．【点评】掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后能够与自身完全重合．4．函数y=中自变量x的取值范围为（）A．x≥0 B．x≥﹣2 C．x≥2 D．x≤﹣2【考点】函数自变量的取值范围．菁优网版权所有【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0即可列不等式求解．【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，∴x≥2，故选：C．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．5．小明在参加区运动会前进行100米跑训练，老师对他10次的训练成绩进行统计分析，判断他的成绩是否稳定，则老师需要知道他这10次成绩的（）A．方差 B．众数 C．平均数 D．频数【考点】统计量的选择．菁优网版权所有【分析】根据众数、平均数、频数、方差的概念分析．【解答】解：众数、平均数是反映一组数据的集中趋势，而频数是数据出现的次数，只有方差是反映数据的波动大小的．故为了判断成绩是否稳定，需要知道的是方差．故选A．【点评】此题考查统计学的相关知识．注意：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．6．如图，将正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是（）A． B． C． D．【考点】生活中的旋转现象．菁优网版权所有【专题】操作型．【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案．【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，分析选项，可得正方形图案绕中心O旋转180°后，得到的图案是C．故选：C．【点评】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变．7．若点M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）在抛物线上，则下列结论正确的是（）A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有【分析】把点M、N、P的横坐标代入抛物线解析式求出相应的函数值，即可得解．【解答】解：x=﹣2时，y=﹣x2+2x=﹣×（﹣2）2+2×（﹣2）=﹣2﹣4=﹣6，x=﹣1时，y=﹣x2+2x=﹣×（﹣1）2+2×（﹣1）=﹣﹣2=﹣2，x=8时，y=﹣x2+2x=﹣×82+2×8=﹣32+16=﹣16，∵﹣16＜﹣6＜﹣2，∴y3＜y1＜y2．故选C．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，分别求出各函数值是解题的关键．8．已知二次三项式x2﹣kx﹣15能分解成系数为整数的两个一次因式的积，则整数k的取值范围有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】因式分解-十字相乘法等．菁优网版权所有【专题】计算题；因式分解．【分析】把常数项﹣15分为两个整数相乘，其和即为﹣k的值，即可确定出整数k的个数．【解答】解：根据题意得：﹣15=﹣1×15=1×（﹣15）=﹣3×5=3×（﹣5），可得﹣k=14，﹣14，2，﹣2，解得：k=﹣14，14，﹣2，2，共4个，故选D【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．9．若关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0【考点】根的判别式；一元二次方程的定义．菁优网版权所有【分析】方程有实数根，则根的判别式△≥0，且二次项系数不为零．【解答】解：∵△=b2﹣4ac=22﹣4×k×（﹣1）≥0，解上式得，k≥﹣1，∵二次项系数k≠0，∴k≥﹣1且k≠0．故选D．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．10．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y=（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD=3AD，且△ODE的面积是9，则k=（）A． B． C． D．12【考点】反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有【分析】所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，∴AB=OC，OA=BC，设B点的坐标为（a，b），∵BD=3AD，∴D（，b），∵点D，E在反比例函数的图象上，∴=k，∴E（a，），∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣﹣o（b﹣）=9，∴k=，故选C．【点评】此题考查了反比例函数的综合知识，利用了：①过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解析式；②所给的面积应整理为和反比例函数上的点的坐标有关的形式．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．分解因式：4a2﹣16=4（a+2）（a﹣2）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．菁优网版权所有【分析】首先提取公因式4，进而利用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4a2﹣16=4（a2﹣4）=4（a+2）（a﹣2）．故答案为：4（a+2）（a﹣2）．【点评】此题主要考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握公式形式是解题关键．12．据统计，今年无锡鼋头渚"樱花节"活动期间入园赏樱人数约803万人次，用科学记数法可表示为8.03×106人次．【考点】科学记数法-表示较大的数．菁优网版权所有【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于803万有7位，所以可以确定n=7﹣1=6．【解答】解：803万=8030000=8.03×106．故答案为：8.03×106．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定n值是关键．13．邓老师设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：入数据 1 2 3 4 5 6 …输出数据 …那么，当输入数据是7时，输出的数据是．【考点】规律型：数字的变化类．菁优网版权所有【专题】压轴题；图表型．【分析】此题中分子的规律很好找，就是1，2，3，4，5，6…即第7次是7，但分母的规律就不好找了，这时我们可以列一个二次函数代入求．【解答】解：从图中可以看出，分子上输入数据是n，分子就是n．分母上我们可以列一个二次函数，可设分母为y，输入数据为x，则y=ax2+bx+c，把x=1，2，3代入代数式得：解得：把这代入方程得：y=x2+2x﹣1，所以当输出数据是7时，分母=49+14﹣1=62，所以输出的数据是．故答案为．【点评】此题的关键是找规律，注意当规律难找时，可以用二次函数找．14．如图，在△ABC中，AB=5cm，AC=3cm，BC的垂直平分线分别交AB、BC于D、E，则△ACD的周长为8cm．【考点】线段垂直平分线的性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】由于DE为AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到CD=BD，由此推出△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，即可求得△ACD的周长．【解答】解：∵DE为BC的垂直平分线，∴CD=BD，∴△ACD的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，而AC=3cm，AB=5cm，∴△ACD的周长为3+5=8cm．故答案为：8．【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．15．如果α、β是一元二次方程x2+3x﹣2=0的两个根，则α2+2α﹣β+2016的值是2021．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．菁优网版权所有【分析】由α、β是一元二次方程x2+3x﹣2=0的两个根，利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，且将x=α代入方程得到关于α的等式，将所求式子变形后，把两根之和与关于α的式子整理后代入，即可求出值．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+3x﹣2=0的两个根，∴α+β=﹣3，αβ=﹣2，且α2+3α﹣2=0，即α2+3α=2，则α2+2α﹣β+2016=α2+3α﹣α﹣β+2016=α2+3α﹣（α+β）+2016=2﹣（﹣3）+2016=2021．故答案为：2021．【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，以及一元二次方程的解，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时，方程有解，分别设为x1，x2，则有x1+x2=﹣，x1x2=．16．如图，已知函数y=x+2b和y=ax+3的图象交于点P，则不等式x+2b＞ax+3的解集为x＞1．【考点】一次函数与一元一次不等式．菁优网版权所有【分析】根据一次函数的图象和两函数的交点坐标即可得出答案．【解答】解：由图知：当直线y=x+2b的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+2b＞ax+3成立；由于两直线的交点横坐标为：x=1，观察图象可知，当x＞1时，x+2b＞ax+3；故答案为：x＞1．【点评】此题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．17．如图，将一块斜边长为15cm，∠B=60°的直角三角板ABC，绕点C逆时针方向旋转90°至△A′B′C′的位置，再沿B′刚好落在斜边AB上，则此三角板向右平移的距离为7.5﹣．【考点】旋转的性质；平移的性质．菁优网版权所有【分析】如图，首先证明MP=B′C′（设为λ），求出BC的长度，其次证明△BPM∽△BCA，列出关于线段MP的比例式，求出MP即可解决问题．【解答】解：如图，△A′B′C′向右平移到△NMP的位置；由平移的性质知：MP=B′C′（设为λ）；∵∠ACB=90°，AB=15，∠B=60°，∴BC=7.5；由旋转变换的性质知：B′C′=BC=7.5，∴MP=7.5；而MP∥AC，∴△BPM∽△BCA，∴，即，解得：PC=7.5﹣．故答案为：7.5﹣．【点评】该题主要考查了旋转变换的性质、平移变换的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点的应用问题；牢固掌握旋转变换的性质、平移变换的性质是灵活运用、解题的关键．18．如图，△ABC是一张直角三角形彩色纸，AC=15cm，BC=20cm．若将斜边上的高CD分成n等分，然后裁出（n﹣1）张宽度相等的长方形纸条．则这（n﹣1）张纸条的面积和是cm2．【考点】相似三角形的应用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先利用勾股定理计算出AB=25，再利用面积法计算出CD=12，接着证明△CEF∽△CAB，则可计算出EF=o25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为o25，…，从上往下数，第（n﹣1）个矩形的长为o25，且所有矩形的宽的和为o12，然后把所有矩形的面积相加即可．【解答】解：如图，∵∠ACB=90°，AC=15，BC=20，∴AB==25，∵CDoAB=ACoBC，∴CD=12，∵斜边上的高CD分成n等分，∴CH=，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴=，即=，解得EF=o25，即从上往下数，第1个矩形的长为o25，同理可得从上往下数，第2个矩形的长为o25，…从上往下数，第（n﹣1）个矩形的长为o25，而所有矩形的宽都为o12，∴这（n﹣1）张纸条的面积和是=[o25+o25+…+o25]oo12=（1+2+…+n﹣1）oo12=（cm2）．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的应用：从实际问题中抽象出几何图形，然后利用相似三角形的性质求解．三、解答题（共10小题，满分76分）19．（1）计算：|﹣1|﹣（）﹣2﹣2sin60°（2）计算：（1﹣）÷．【考点】分式的混合运算；实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】（1）根据负整数指数幂的意义和特殊角的三角函数值得到原式=﹣1﹣4﹣2×，然后合并即可；（2）先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，然后把分母分解因式，再约分即可．【解答】解：（1）原式=﹣1﹣4﹣2×=﹣1﹣4﹣=﹣5；（2）原式=÷=o=．【点评】本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了实数的运算．20．（1）解方程：+=2；（2）解不等式组：．【考点】解分式方程；解一元一次不等式组．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可．【解答】解：（1）去分母得：2x（x﹣2）+x（2x﹣1）=2（2x﹣1）（x﹣2），整理得：5x=4，解得：x=，经检验，x=是原方程的根；（2）解：由①得：x≤3，由②得：x＞﹣2，则此不等式组的解集为﹣2＜x≤3．【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．已知﹣纸箱中放有大小均匀的x只白球和y只黄球，从箱中随机地取出一只白球的概率是．（1）试写出y与x的函数关系式；（2）当x=10时，再往箱中放进20只白球，求随机地取出一只黄球的概率P．【考点】概率公式；根据实际问题列一次函数关系式．菁优网版权所有【分析】（1）根据概率的求法：已知﹣纸箱中放有大小均匀的x只白球和y只黄球，共x+y只球，如果从箱中随机地取出一只白球的概率是，有成立，化简可得y与x的函数关系式；（2）当x=10时，y=10×=15；再往箱中放进20只白球，此时有白球30只，即可求出随机地取出一只球是黄球的概率．【解答】解：（1）由题意得，即5x=2y+2x，∴．（2）由（1）知当x=10时，，∴取得黄球的概率．【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．22．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x … ﹣1 0 2 4 …y … ﹣5 1 1 m …求：（1）这个二次函数的解析式；（2）这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质．菁优网版权所有【分析】（1）用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）把x=4，y=m代入解析式即可求得m的值，用配方法或公式法求二次函数的顶点坐标．【解答】解：（1）依题意，得，解得；∴二次函数的解析式为：y=﹣2x2+4x+1．（2）当x=4时，m=﹣2×16+16+1=﹣15，由y=﹣2x2+4x+1=﹣2（x﹣1）2+3，故其顶点坐标为（1，3）．【点评】本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识，难度不大．23．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．【考点】根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．【解答】解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，解得：k＜；（2）由k为正整数，得到k=1或2，利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，∵方程的解为整数，∴5﹣2k为完全平方数，则k的值为2．【点评】此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．24．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD=AE，AD与CE交于点F．（1）求证：AD=CE；（2）求∠DFC的度数．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．菁优网版权所有【专题】作图题．【分析】根据等边三角形的性质，利用SAS证得△AEC≌△BDA，所以AD=CE，∠ACE=∠BAD，再根据三角形的外角与内角的关系得到∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=60°，AB=AC．又∵AE=BD，∴△AEC≌△BDA（SAS）．∴AD=CE；（2）解：∵（1）△AEC≌△BDA，∴∠ACE=∠BAD，∴∠DFC=∠FAC+∠ACF=∠FAC+∠BAD=∠BAC=60°．【点评】本题利用了等边三角形的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解．25．在平面直角坐标系中，点A（﹣3，4）关于y轴的对称点为点B，连接AB，反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B，过点B作BC⊥x轴于点C，点P是该反比例函数图象上任意一点，过点P作PD⊥x轴于点D，点Q是线段AB上任意一点，连接OQ、CQ．（1）求k的值；（2）判断△QOC与△POD的面积是否相等，并说明理由．【考点】反比例函数综合题．菁优网版权所有【分析】（1）根据点B与点A关于y轴对称，求出B点坐标，再代入反比例函数解析式解可求出k的值；（2）设点P的坐标为（m，n），点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，求出S△POD，根据AB∥x轴，OC=3，BC=4，点Q在线段AB上，求出S△QOC即可．【解答】解：（1）∵点B与点A关于y轴对称，A（﹣3，4），∴点B的坐标为（3，4），∵反比例函数y=（x＞0）的图象经过点B．∴=4，解得k=12．（2）相等．理由如下：设点P的坐标为（m，n），其中m＞0，n＞0，∵点P在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴n=，即mn=12．∴S△POD=ODoPD=mn=×12=6，∵A（﹣3，4），B（3，4），∴AB∥x轴，OC=3，BC=4，∵点Q在线段AB上，∴S△QOC=OCoBC=×3×4=6．∴S△QOC=S△POD．【点评】本题考查了反比例函数综合题，涉及反比例函数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征等，综合性较强．26．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y=x2+mx+n的图象上，当x1=1，x2=3时，y1=y2．（1）①求m的值；②若抛物线与x轴只有一个公共点，求n的值；（2）若P（a，b1），Q（3，b2）是函数图象上的两点，且b1＞b2，求实数a的取值范围．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】（1）①利用当x1=1，x2=3时函数值相等得到1+m+n=9+3m+n，然后解关于m的方程即可得到m的值；②根据△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点得到16﹣4n=0，然后解关于n的方程即可；（2）讨论：当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的右侧，利用二次函数的性质易得a＞3时，b1＞b2；当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的两侧，通过比较两点到对称轴的距离的大小可判断a＜1时，b1＞b2．【解答】解：（1）①∵x1=1，x2=3时，y1=y2，∴1+m+n=9+3m+n，∴m=﹣4；②∵抛物线与x轴只有一个公共点，∴△=m2﹣4n=0，即16﹣4n=0，∴n=4；（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的右侧，则a＞3时，b1＞b2；当P（a，b1），Q（3，b2）在对称轴的两侧，而当x1=1，x2=3时，y1=y2，则a＜1时，b1＞b2．∴实数a的取值范围为a＜1或a＞3．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．也考查了分类讨论思想的运用．27．某大学毕业生响应国家"自主创业"的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30天的试销售，购进价格为20元/件．销售结束后，得知日销售量P（件）与销售时间x（天）之间有如下关系：P=﹣2x+80（1≤x≤30，且x为整数）；又知前20天的销售价格Q1（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q1=x+30（1≤x≤20，且x为整数），后10天的销售价格Q2（元/件）与销售时间x（天）之间有如下关系：Q2=45（21≤x≤30，且x为整数）．（1）试写出该商店前20天的日销售利润R1（元）和后10天的日销售利润R2（元）分别与销售时间x（天）之间的函数关系式；（2）请问在这30天的试销售中，哪一天的日销售利润最大？并求出这个最大利润．注：销售利润=销售收入﹣购进成本．【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有【专题】应用题；压轴题．【分析】（1）运用营销问题中的基本等量关系：销售利润=日销售量×一件销售利润．一件销售利润=一件的销售价﹣一件的进价，建立函数关系式；（2）分析函数关系式的类别及自变量取值范围求最大值；其中R1是二次函数，R2是一次函数．【解答】解：（1）根据题意，得R1=P（Q1﹣20）=（﹣2x+80）[（x+30）﹣20]，=﹣x2+20x+800（1≤x≤20，且x为整数），R2=P（Q2﹣20）=（﹣2x+80）（45﹣20），=﹣50x+2000（21≤x≤30，且x为整数）；（2）在1≤x≤20，且x为整数时，∵R1=﹣（x﹣10）2+900，∴当x=10时，R1的最大值为900，在21≤x≤30，且x为整数时，∵R2=﹣50x+2000，﹣50＜0，R2随x的增大而减小，∴当x=21时，R2的最大值为950，∵950＞900，∴当x=21即在第21天时，日销售利润最大，最大值为950元．【点评】本题需要反复读懂题意，根据营销问题中的基本等量关系建立函数关系式，根据时间段列出分段函数，再结合自变量取值范围分别求出两个函数的最大值，并进行比较，得出结论．28．如图1，抛物线y=a（x﹣1）2+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE=1，且∠DBE=∠BMD．（1）求抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合条件的P点的坐标；（3）如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标．【考点】二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；相似三角形的判定与性质．菁优网版权所有【专题】综合题．【分析】（1）由∠DBE=∠BMD可得△BDE∽△MDB，然后根据相似三角形的性质可求出DB，从而得到点B的坐标，然后把点B的坐标代入抛物线的解析式，就可解决问题；（2）可分点E和点B为直角顶点两种情况进行讨论：①点E为直角顶点，作EF⊥EB交x轴于点F，交抛物线于点P1、P2，如图1，易证△FDE∽△EDB，根据相似三角形的性质可求出DF的值，从而可求出点F的坐标，然后用待定系数法求出直线EF的解析式，再求出直线EF与抛物线的交点，就可解决问题；②点B为直角顶点，先求出BP3的解析式，再求出直线BP3与抛物线的交点，就可解决问题；（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如图2．设N（1，n），易得NG=MN=（4﹣n），NA2=22+n2=4+n2，由题可得NG=NA，由此即可得到关于n的方程，解这个方程就可解决问题．【解答】解：（1）由题可知：M（1，4），则有OD=1，DM=4．∵∠DBE=∠BMD，∠BDE=∠MDB，∴△BDE∽△MDB，∴=，∵DE=1，DM=4，∴=，解得：DB=2，∴OB=OD+DB=3，∴B（3，0）．把点B（3，0）代入y=a（x﹣1）2+4，得a（3﹣1）2+4=0，解得：a=﹣1．∴抛物线的解析式为y=﹣（x﹣1）2+4=﹣x2+2x+3；（2）①当∠PEB=90°时，作EF⊥EB交x轴于点F，交抛物线于点P1、P2，如图1，则有∠FEB=∠FED+∠DEB=90°．∵∠FED+∠EFD=90°，∴∠EFD=∠DEB．∵∠FDE=∠EDB=90°，∴△FDE∽△EDB，∴=，∴=，解得：DF=，∴OF=OD﹣DF=1﹣=，∴F（，0）．设直线EF的解析式为y=kx+b，则有，解得：，∴直线EF的解析式为：y=2x﹣1．联立，解得：或，∴P1（2，3），P2（﹣2，﹣5）；②当∠PBE=90°时，可设直线BP3的解析式为：y=2x+n，把B（3，0）代入y=2x+n，得6+n=0，解得：n=﹣6，∴直线BP3的解析式为y=2x﹣6，联立，解得：或，∴P3（﹣3，﹣12）．综上所述：符合条件的P点的坐标为P1（2，3），P2（﹣2，﹣5），P3（﹣3，﹣12）；（3）作NG⊥MC于G，作CH⊥MD于H，如图2．则有∠MGN=∠MHC=90°．设N（1，n），当x=0时，y=3，点C（0，3）．∵M（1，4），∴CH=MH=1，∴∠CMH=∠MCH=45°，∴NG=MN=（4﹣n）．在Rt△NAD中，∵AD=DB=2，DN=n，∴NA2=22+n2=4+n2．当直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，有NG=NA，∴（4﹣n）2=4+n2整理得：n2+8n﹣8=0，解得：n1=﹣4+2，n2=﹣4﹣2（舍负），∴N（1，﹣4+2）．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，用到了分类讨论的思想，利用NG=NA则是解决第（3）小题的关键．