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免费滨州市无棣县中考数学模拟试卷含答案解析中考数学模拟试题试卷网2016年山东省滨州市无棣县中考数学模拟试卷（一）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C． D．2．对于下列四个式子：①0.1；②；③；④．其中不是整式的是（）A．① B．② C．③ D．④3．雾霾天气是一种大气污染状态，雾霾是对大气中各种悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，尤其是PM2.5（空气动力学当量直径小于等于2.5微米的颗粒物）被认为是造成雾霾天气的"元凶"．已知1微米等于1米的一百万分之一，那么2.5微米用科学记数法可表示为（）A．0.25×10﹣7米 B．2.5×10﹣6米 C．25×10﹣5米 D．2.5×10﹣5米4．一个几何体从正面看、从左面看都是等腰三角形，从上面看是圆，那么它可能是（）A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥5．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的为（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB=CD，AD=BC C．AB∥CD，AD=BC D．AB∥CD，AB=CD6．下列说法中错误的是（）A．某种彩票的中奖率为1%，买100张彩票一定有1张中奖B．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件C．为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式D．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是7．下列函数中的自变量x的取值范围是x＞1的是（）A．y=x﹣1 B．y= C．y= D．y=8．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．129．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.210．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（3，0），点C在线段AB上，且点C的横坐标为1．若点P为y轴上的一个动点，则PC+PB的最小值是（）A．2 B．4 C．3 D．1+211．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC、OC相交于点E、F．若∠CBD=36°，则下列结论中不正确的是（）A．∠AOC=72° B．∠AEC=72° C．AF=DF D．BD=20F12．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：a3﹣4ab2=．14．定义新运算"?"，对于非零的实数a，b，规定a?b=b2，若2?（x﹣1）=3，则x=．15．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=．16．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是．17．如图所示，⊙O内有折线OABC，其中OA=2，AB=4，∠A=∠B=60°，则BC的长为．18．将正整数按如下方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10…，依此类推，第行最后一个数是2017．123434567456789105678910111213…三、解答题（共6小题，满分60分）19．先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的最大正整数解．20．自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行"一帮一"互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．21．如图，在?ABCD中，BD是对角线，且DB⊥BC，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．22．如图所示，港口A位于灯场C的正南方向，港口B位于灯场C的南偏东60°方向，且港口B在港口A的正东方向的90海里处．一艘货轮在上午8时从港口A出发，匀速向港口B航行．当航行到位于灯场C的南偏东30°方向的D处时，接到公司要求提前交货的通知，于是提速到原来速度的1.2倍，于上午12时准时列达港口B，顺利完成交货，求货轮原来的速度是多少？23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，过点D作DF∥BE交AC于点F．（1）求证，DF为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=2，求DF的长．24．如图，已知抛物线的顶点为A（3，﹣3.2），且与y轴交于点B（0，4），交x轴于点C和点D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M的坐标为（0，a），求当|MA﹣MC|最大时a的值；（3）连接BD，探索：在直线BD下方的抛物线上是否存在一点N，使△BND的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2016年山东省滨州市无棣县中考数学模拟试卷（一）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．﹣3的绝对值是（）A．3 B．﹣3 C． D．【考点】绝对值．【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出．【解答】解：|﹣3|=﹣（﹣3）=3．故选：A．【点评】考查绝对值的概念和求法．绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．对于下列四个式子：①0.1；②；③；④．其中不是整式的是（）A．① B．② C．③ D．④【考点】整式．【分析】根据整式的概念对各个式子进行判断即可．【解答】解：①0.1；②；④是整式，故选C【点评】本题考查的是整式的概念，对整式概念的认识，凡分母中含有字母的代数式都不属于整式，在整式范围内用"+"或"﹣"将单项式连起来的就是多项式，不含"+"或"﹣"的整式绝对不是多项式，而单项式注重一个"积"字．3．雾霾天气是一种大气污染状态，雾霾是对大气中各种悬浮颗粒物含量超标的笼统表述，尤其是PM2.5（空气动力学当量直径小于等于2.5微米的颗粒物）被认为是造成雾霾天气的"元凶"．已知1微米等于1米的一百万分之一，那么2.5微米用科学记数法可表示为（）A．0.25×10﹣7米 B．2.5×10﹣6米 C．25×10﹣5米 D．2.5×10﹣5米【考点】科学记数法-表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：2.5微米=0.0000025=2×10﹣6米，故选：B．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．一个几何体从正面看、从左面看都是等腰三角形，从上面看是圆，那么它可能是（）A．三棱锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．圆锥【考点】由三视图判断几何体．【分析】由主视图和左视图可得此几何体为锥体，根据俯视图是圆可判断出此几何体为圆锥．【解答】解：∵主视图和左视图都是等腰三角形，∴此几何体为锥体，∵俯视图是一个圆，∴此几何体为圆锥．故选D．【点评】本题考查由三视图想象几何体的形状，首先，应分别根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，然后综合起来考虑整体形状．用到的知识点为：三视图里有两个相同可确定该几何体是柱体，锥体还是球体，由另一个视图确定其具体形状．5．下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的为（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB=CD，AD=BC C．AB∥CD，AD=BC D．AB∥CD，AB=CD【考点】平行四边形的判定．【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，对每个选项进行筛选可得答案．【解答】解：A、AB∥CD，AD∥BC，可以根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；B、AB=CD，AD=BC，可以根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；C、AB∥CD，AD=BC，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；D、AB∥CD，AB=CD，可以根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意．故选C．【点评】本题主要考查平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．6．下列说法中错误的是（）A．某种彩票的中奖率为1%，买100张彩票一定有1张中奖B．从装有10个红球的袋子中，摸出1个白球是不可能事件C．为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式D．掷一枚普通的正六面体骰子，出现向上一面点数是2的概率是【考点】概率的意义；全面调查与抽样调查；随机事件；概率公式．【分析】根据概率的意义对A进行判断；根据随即事件和必然事件对B进行判断；根据全面调查和抽样调查对C进行判断；根据概率公式对D进行判断．【解答】解：A：某种彩票的中奖率为1%，是中奖的频率接近1%，所以买100张彩票可能中奖，也可能没中奖，所以A选项的说法错误；B、从装有10个红球的袋子中，摸出的应该都是红球，则摸出1个白球是不可能事件，所以B选项的说法正确；C、为了解一批日光灯的使用寿命，可采用抽样调查的方式，而不应采用普查的方式，所以C选项的说法正确；D、掷一枚普通的正六面体骰子，共有6种等可能的结果，则出现向上一面点数是2的概率是，所以D选项的说法正确．故选A．【点评】本题考查了概率的意义：概率是对随机事件发生的可能性的度量．表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率．也考查了全面调查和抽样调查、随即事件以及概率公式．7．下列函数中的自变量x的取值范围是x＞1的是（）A．y=x﹣1 B．y= C．y= D．y=【考点】函数自变量的取值范围．【专题】常规题型．【分析】根据自变量的求法，被开方数大于等于0，分母不等于0，对各选项分别求解，再利用排除法求解．【解答】解：A、自变量x取任意实数，故本选项错误；B、x﹣1≠0，解得x≠1，故本选项错误；C、x﹣1≥0，解得x≥1，故本选项错误；D、x﹣1＞0，解得x＞1，故本选项正确．故选D．【点评】本题考查了自变量的取值范围，根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可．8．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】位似变换．【分析】利用位似图形的面积比等于位似比的平方，进而得出答案．【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1：2，△ABC的面积是3，∴△ABC与△A′B′C′的面积比为：1：4，则△A′B′C′的面积是：12．故选：D．【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似图形的面积比等于位似比的平方得出是解题关键．9．一组数据：3，2，1，2，2的众数，中位数，方差分别是（）A．2，1，0.4 B．2，2，0.4 C．3，1，2 D．2，1，0.2【考点】方差；中位数；众数．【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均）数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不只一个．利用方差公式计算方差．【解答】解：从小到大排列此数据为：1，2，2，2，3；数据2出现了三次最多为众数，2处在第3位为中位数．平均数为（3+2+1+2+2）÷5=2，方差为[（3﹣2）2+3×（2﹣2）2+（1﹣2）2]=0.4，即中位数是2，众数是2，方差为0.4．故选B．【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、方差和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．10．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（3，0），点C在线段AB上，且点C的横坐标为1．若点P为y轴上的一个动点，则PC+PB的最小值是（）A．2 B．4 C．3 D．1+2【考点】轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．【分析】求出B点关于y轴的对称点B′，连接B′C，交y轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．【解答】解：设C的纵坐标为y，∵点A（0，3），B（3，0），点C在线段AB上，且点C的横坐标为1，∴=，∴y=2，∴C（1，2），如图所示：作点B关于y轴的对称点B′（﹣3，0），连接B′C，交y轴于点P，则P即为所求点，即当三点在一条直线上时有最小值，即PC+PB=B′C==2．故选A．【点评】本题题考查的是最短线路问题及两点间的距离公式，解答此题的关键是熟知两点之间线段最短的知识．11．如图，AB为⊙O的直径，C、D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC、OC相交于点E、F．若∠CBD=36°，则下列结论中不正确的是（）A．∠AOC=72° B．∠AEC=72° C．AF=DF D．BD=20F【考点】圆周角定理．【分析】根据直径的性质以及平行线的性质可知OC⊥AD，由此可以推出A、C、D正确，B错误．【解答】解：∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵OC∥BD，∴∠AFO=∠ADB=90°，∴OC⊥AD，∴AF=DF，故C正确，∵OB=OC，∠CBD=36°，∴∠C=∠CBO=∠CBD=36°，∴∠AOC=∠C+∠CBO=72°，故A正确，∵AO=OB，AF=FD，∴BD=2OF，故D正确，∵∠AEC=90°﹣∠C=54°，故B错误，故选B．【点评】本题考查圆周角定理、直径的性质、平行线的性质、垂径定理等知识，灵活运用这些知识是解决问题的关键，属于基础题，中考常考题型．12．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CE=2DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=GC；③EG=DE+BG；④AG∥CF；⑤S△FGC=3.6．其中正确结论的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】先计算出DE=2，EC=4，再根据折叠的性质AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，然后根据"HL"可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE；设BG=x，则GF=x，CG=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，根据勾股定理得（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，则BG=CG=3，则点G为BC的中点；同时得到GF=GC，根据等腰三角形的性质得∠GFC=∠GCF，再由Rt△ABG≌Rt△AFG得到∠AGB=∠AGF，然后根据三角形外角性质得∠BGF=∠GFC+∠GCF，易得∠AGB=∠GCF，根据平行线的判定方法得到CF∥AG；过F作FH⊥DC，则△EFH∽△EGC，△EFH∽△EGC，由相似比为，可计算S△FGC．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为6，CE=2DE，∴DE=2，EC=4，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置，∴AF=AD=6，EF=ED=2，∠AFE=∠D=90°，∠FAE=∠DAE，在Rt△ABG和Rt△AFG中，∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），∴GB=GF，∠BAG=∠FAG，∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°，所以①正确；设BG=x，则GF=x，C=BC﹣BG=6﹣x，在Rt△CGE中，GE=x+2，EC=4，CG=6﹣x，∵CG2+CE2=GE2，∴（6﹣x）2+42=（x+2）2，解得x=3，∴BG=3，CG=6﹣3=3∴BG=CG，所以②正确；∵EF=ED，GB=GF，∴GE=GF+EF=BG+DE，所以③正确；∵GF=GC，∴∠GFC=∠GCF，又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，∴∠AGB=∠AGF，而∠BGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB+∠AGF=∠GFC+∠GCF，∴∠AGB=∠GCF，∴CF∥AG，所以④正确；过F作FH⊥DC∵BC⊥DH，∴FH∥GC，∴△EFH∽△EGC，∴，EF=DE=2，GF=3，∴EG=5，∴△EFH∽△EGC，∴相似比为：=，∴S△FGC=S△GCE﹣S△FEC=×3×4﹣×4×（×3）==3.6，所以⑤正确．故正确的有①②③④⑤，故选：D．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了三角形全等的判定与性质、勾股定理和正方形的性质．二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13．分解因式：a3﹣4ab2=a（a+2b）（a﹣2b）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】因式分解．【分析】观察原式a3﹣4ab2，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4b2符合平方差公式的形式，再利用平方差公式继续分解因式．【解答】解：a3﹣4ab2=a（a2﹣4b2）=a（a+2b）（a﹣2b）．故答案为：a（a+2b）（a﹣2b）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，有公因式的首先提取公因式，最后一定要分解到各个因式不能再分解为止．14．定义新运算"?"，对于非零的实数a，b，规定a?b=b2，若2?（x﹣1）=3，则x=1+或1﹣．【考点】解一元二次方程-直接开平方法．【专题】新定义．【分析】根据定义a?b=b2把2?（x﹣1）=3转化为一元二次方程，利用直接开平方法求出方程的解即可．【解答】解：∵a?b=b2，且2?（x﹣1）=3，∴（x﹣1）2=3，∴x﹣1=±，∴x1=1+，x2=1﹣，故答案为1+或1﹣【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程的知识，解题的关键是理解新运算的定义，此题难度不大．15．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α=20°．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．16．如图，点P是正比例函数y=x与反比例函数y=在第一象限内的交点，PA⊥OP交x轴于点A，△POA的面积为2，则k的值是2．【考点】反比例函数系数k的几何意义；等腰直角三角形．【分析】过P作PB⊥OA于B，根据一次函数的性质得到∠POA=45°，则△POA为等腰直角三角形，所以OB=AB，于是S△POB=S△POA=×2=1，然后根据反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义即可得到k的值．【解答】解：过P作PB⊥OA于B，如图，∵正比例函数的解析式为y=x，∴∠POA=45°，∵PA⊥OP，∴△POA为等腰直角三角形，∴OB=AB，∴S△POB=S△POA=×2=1，∴k=1，∴k=2．故答案为2．【点评】本题考查了反比例函数y=（k≠0）系数k的几何意义：从反比例函数y=（k≠0）图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|．也考查了等腰直角三角形的性质．17．如图所示，⊙O内有折线OABC，其中OA=2，AB=4，∠A=∠B=60°，则BC的长为6．【考点】垂径定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC=2BE，由此得解．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°，∴△ADB为等边三角形，∴BD=AD=AB=4，∴OD=2，又∵∠ADB=60°，∴DE=OD=1，∴BE=3，∴BC=2BE=6，故答案为6．【点评】本题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用，构建合适的辅助线，数形结合，找出有关线段的关系，是解答此题的关键．18．将正整数按如下方式进行有规律的排列，第2行最后一个数是4，第3行最后一个数是7，第4行最后一个数是10…，依此类推，第673行最后一个数是2017．123434567456789105678910111213…【考点】规律型：数字的变化类．【分析】令第n行的最后一个数为an（n为正整数），根据给定条件写出部分an的值，根据数的变化找出变化规律"an=3n﹣2"，依此规律即可得出结论．【解答】解：令第n行的最后一个数为an（n为正整数），观察，发现规律：a1=1，a2=4，a3=7，a4=10，…，∴an=3n﹣2．∵2017=673×3﹣2，∴第673行的最后一个数是2017．故答案为：673．【点评】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出规律"an=3n﹣2"．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据给定条件罗列出部分an的值，再根据数的变化找出变化规律是关键．三、解答题（共6小题，满分60分）19．先化简，再求值：（1+）÷，其中x是不等式组的最大正整数解．【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．【分析】先算括号里面的加法，再算除法，再求出不能等式的解集，在此解集范围内找出符合条件的x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=o=，解不等式组得，﹣5≤x＜6，∵x是不能等式组的最大整数解，∴x=5，∴原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．20．自实施新教育改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，张老师为了了解所教班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对本班部分同学进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分为四类：A．特别好；B．好；C．一般；D．较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题：（1）本次调查中，张老师一共调查了多少名同学？（2）求出调查中C类女生及D类男生的人数，将条形统计图补充完整；（3）为了共同进步，张老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行"一帮一"互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率．【考点】条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．【分析】（1）根据A类的人数是3，所占的百分比是15%，据此即可求得总人数；（2）根据百分比的意义求得C、D两类的人数，进而求得C类女生及D类男生的人数；（3）利用列举法表示出所有可能的结果，然后利用概率公式即可求解．【解答】解：（1）调查的总人数是：（1+2）÷15%=20（人）；（2）C类学生的人数是：20×25%=5（人），则C类女生人数是：5﹣3=2（人）；D类的人数是：20×（1﹣50%﹣25%﹣15%）=4（人），则D类男生的人数是：4﹣1=3（人）；如图所示：（3）如图所示：则恰好是一位男同学和一位女同学的概率是：．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．如图，在?ABCD中，BD是对角线，且DB⊥BC，E、F分别为边AB、CD的中点．求证：四边形DEBF是菱形．【考点】菱形的判定；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】利用平行四边形的性质结合平行四边形的判定与性质得出四边形DEBF为平行四边形，进而得出BF=DC=DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．【解答】证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，∴DF=DC，BE=AB，又∵在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴DF∥BE，DF=BE，∴四边形DEBF为平行四边形，∵DB⊥BC，∴∠DBC=90°，∴△DBC为直角三角形，又∵F为边DC的中点，∴BF=DC=DF，又∵四边形DEBF为平行四边形，∴四边形DEBF是菱形．【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定等知识，正确得出四边形DEBF为平行四边形是解题关键．22．如图所示，港口A位于灯场C的正南方向，港口B位于灯场C的南偏东60°方向，且港口B在港口A的正东方向的90海里处．一艘货轮在上午8时从港口A出发，匀速向港口B航行．当航行到位于灯场C的南偏东30°方向的D处时，接到公司要求提前交货的通知，于是提速到原来速度的1.2倍，于上午12时准时列达港口B，顺利完成交货，求货轮原来的速度是多少？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】根据方向角、等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质得到CD=BD，CD=2AD，求出AD、BD的长，根据题意列出分式方程，解方程即可．【解答】解：由题意得，∠A=90°，∠ACB=60°，∠ACD=30°，∴∠DCB=30°，∠B=30°，∴∠DCB=∠B，∴CD=BD，∵∠A=90°，∠ACD=30°，∴CD=2AD，∴BD=2AD，又AB=90，∴AD=30，BD=60，设货轮原来的速度是x海里/时，由题意得，+=12﹣8，解得，x=20，检验：当x=20时，1.2x≠0，∴x=20是原方程的解，答：货轮原来的速度是20海里/时．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题以及两分式方程解应用题，正确理解方向角、掌握等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质、根据题意列出分式方程、正确解出分式方程是解题的关键．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，过点D作DF∥BE交AC于点F．（1）求证，DF为⊙O的切线；（2）若AB=5，BC=2，求DF的长．【考点】切线的判定．【分析】（1）要证得DF为⊙O的切线，只要证得OD⊥DF即可，根据圆周角定理和平行线的性质即可证得；（2）根据勾股定理求得AD，然后证得△DFC∽△ADB，对应边成比例即可求得．【解答】（1）证明：∵AB为直径，∴BE⊥AC，∵DF∥BE，∴DF⊥AC，连接AD，OD，∵AB为直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∵OA=OB，∴OD∥AC，∴∠ODF+∠AFD=180°，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）解：∵AB=5，BC=2，∴BD=DC=，∴AD==2，∵AB=AC，∴∠ABD=∠C，∵∠ADB=∠DFC=90°，∴△DFC∽△ADB，∴=，即=，∴DF=2．【点评】本题考查了切线的判定，圆周角定理的应用，等腰三角形三线合一的性质以及三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．24．如图，已知抛物线的顶点为A（3，﹣3.2），且与y轴交于点B（0，4），交x轴于点C和点D．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M的坐标为（0，a），求当|MA﹣MC|最大时a的值；（3）连接BD，探索：在直线BD下方的抛物线上是否存在一点N，使△BND的面积最大？若存在，请你求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）直接利用顶点式求出抛物线解析即可；（2）利用点M在直线AC上时，|MA﹣MC|最大，进而得出直线AC的解析式，求出a的值；（3）首先表示出直线BD的解析式，进而表示出G点坐标，再表示出NG的长，利用二次函数最值求法得出答案．【解答】解；（1）∵抛物线的顶点为A（3，﹣3.2），∴设此抛物线解析式为：y=a（x﹣3）2﹣3.2，∵与y轴交于点B（0，4），∴a（0﹣3）2﹣3.2=4，解得：a=，∴此抛物线的解析式为：y=（x﹣3）2﹣3.2，即y=x2﹣x+4；（2）∵在三角形中两边之差小于第三边，∴点M在直线AC上时，|MA﹣MC|最大，如图所示，连接AC并延长交y轴于点M，对于y=（x﹣3）2﹣3.2，取y=0，得0=（x﹣3）2﹣3.2，解得：x1=1，x2=5，∴抛物线与x轴交点为：C（1，0），D（5，0），设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵y=kx+b的图象过点（3，﹣3.2）与（1，0）所以，解得：，∴直线AC的解析式为：y=﹣x+，∵点M坐标为：（0，a），∴a=；（3）如图所示：在直线BD的下方的抛物线上存在点N，使△BND面积最大，设点N的横坐标为t，则点N（t，t2﹣t+4），其中0＜t＜5，过点N作NG∥y轴，交BD于G，设直线BD的解析式为y=cx+d，把点B（0，4）和点D（5，0），代入得：，解得：，故直线BD的解析式为：y=﹣x+4，把x=t代入得：y=﹣t+4，则G（t，﹣t+4），∴NG=﹣t+4﹣（t2﹣t+4）=﹣t2﹣4t，∴S△BND=NGoOD=（﹣t2+4t）×5=﹣2t2+10t=﹣2（t﹣）2+，∴当t=时，△BND的面积最大为：，由t=，得y=×（）2﹣×+4=﹣3，∴N点的坐标为：N（，﹣3）．【点评】此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求函数解析式、二次函数最值求法、三角形面积表示方法等知识，正确表示出NG的长是解题关键．