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免费富顺县赵化中学中考数学模拟试卷含答案解析中考数学试题网2016年四川省自贡市富顺县赵化中学中考数学模拟试卷（三）一.选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．在﹣3，4，﹣5，﹣6，7中，任取两个数相乘，积最大的是（）A．15 B．18 C．28 D．302．下列计算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．（x﹣3）2=x2﹣9 C．=a﹣1 D．（﹣2x）3=﹣8x33．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据：a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（）A．a，a3 B．a， C．a， D．，4．把分式的x、y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（）A．不变 B．为原分式值的10倍C．为原分式值的 D．为原分式值的5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣4x+8；②﹣x2﹣2x﹣1；③4m2+4m﹣1；④﹣m2+m﹣；⑤4a4﹣a2+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个8．如若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则E点的坐标是（）A． B． C． D．（1，1）9．△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（）A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）10．已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A． B． C． D．二.填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanA的值为．12．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示"实验结果落在D中的某个小区域M中"这个事件，那么事件A发生的概率P（A）=（M和D分别表示相应区域的面积）．如图，现有一边长为a的等边△ABC，分别以此三角形的三个顶点为圆心，以一边的一半长为半径画圆与△ABC的内切圆有重叠（见图中阴影部分）；现在在等边△ABC内注射一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是．13．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为．14．观察下列的有序数对：（3，﹣1），，根据你发现的规律，第2016个有序数对是．15．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b=0；⑤b2﹣4ac＜0；⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是（把正确的序号都填上）．三.解答题（共2个题，每题8分，共16分）16．计算：﹣2|1﹣|．17．解不等式组：，并在数轴上表示出解集．四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）18．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就"我最喜爱的课外读物"从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查近几年我国高速公路的建设有了飞速的发展，现正在修建中的某段高速公路要招标．现有甲乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可完成任务，需要费用120万元；若甲队单独做20天，剩下的工程由乙做，还需要40天才能完成此项工程，这样需要110万元，问：（1）甲乙两队单独完成此项工程，各需多少天？（2）甲乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元．五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）20．在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边上的中点，点M是AB上的一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连结MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM=时，四边形AMDN是矩形；②当AM=时，四边形AMDN是菱形．21．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．六、解答题（本题满分12分）22．用换元法解分式方程：=2解：设=m，则原方程可化为m﹣=2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0解得：m1=﹣1，m2=3即：=﹣1或=3；解得：x=或x=﹣经检验：x=或x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=，x2=﹣．请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值：已知a是方程的根，并求代数式的值？七、解答题（本题满分12分）23．如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否成立？请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？八、解答题（本题满分14分）24．（14分）已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．2016年四川省自贡市富顺县赵化中学中考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一.选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）1．在﹣3，4，﹣5，﹣6，7中，任取两个数相乘，积最大的是（）A．15 B．18 C．28 D．30【考点】有理数大小比较．【分析】根据乘法法则：同号得正，异号得负计算，最大的两个正数相乘与最大的两个负数相乘，作比较，得出结论．【解答】解：﹣5×（﹣6）=30，4×7=28，故选D．【点评】本题考查了有理数的乘法和大小比较，熟练掌握乘法法则是关键；对于有理数的大小比较中，正数大于一切负数；本题属于易错题，容易漏乘．2．下列计算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．（x﹣3）2=x2﹣9 C．=a﹣1 D．（﹣2x）3=﹣8x3【考点】二次根式的性质与化简；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据二次根式的性质、完全平方公式、积的乘方，可得答案．【解答】解：A、不是同底数幂的乘法，指数不能相加，故A错误；B、差的平方等于平方和减积的二倍，故B错误；C、二次根式开方是非负数，故C错误；D、积的乘方每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故D正确；故选：D．【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，根据法则计算是解题关键．3．已知5个正数a1，a2，a3，a4，a5的平均数是a，且a1＞a2＞a3＞a4＞a5，则数据：a1，a2，a3，0，a4，a5的平均数和中位数是（）A．a，a3 B．a， C．a， D．，【考点】中位数；算术平均数．【专题】计算题；压轴题．【分析】对新数据按大小排列，然后根据平均数和中位数的定义计算即可．【解答】解：由平均数定义可知：（a1+a2+a3+0+a4+a5）=×5a=a；将这组数据按从小到大排列为0，a5，a4，a3，a2，a1；由于有偶数个数，取最中间两个数的平均数．∴其中位数为．故选D．【点评】本题考查了平均数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．4．把分式的x、y均扩大为原来的10倍后，则分式的值（）A．不变 B．为原分式值的10倍C．为原分式值的 D．为原分式值的【考点】分式的基本性质．【分析】根据分式的分子分母都乘或除以同一个不为零的整式，分式的结果不变，可得答案．【解答】解：分式的x、y均扩大为原来的10倍后，则分式的值变为原分式的，故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，注意分母扩大了100倍，分子扩大了10倍．5．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（）①x2﹣4x+8；②﹣x2﹣2x﹣1；③4m2+4m﹣1；④﹣m2+m﹣；⑤4a4﹣a2+．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】因式分解-运用公式法．【专题】计算题；因式分解．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可．【解答】解：①x2﹣4x+8，不能；②﹣x2﹣2x﹣1，能；③4m2+4m﹣1，不能；④﹣m2+m﹣，能；⑤4a4﹣a2+，不能，则不能用完全平方公式分解的个数为3个，故选C【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6．若关于x的一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，则一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】根的判别式；一次函数的图象．【专题】压轴题．【分析】一次函数y=kx+b的图象，根据k、b的取值确定直角坐标系的位置．在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在无实数根下必须满足△=b2﹣4ac＜0．【解答】解：一元二次方程nx2﹣2x﹣1=0无实数根，说明△=b2﹣4ac＜0，即（﹣2）2﹣4×n×（﹣1）＜0，解得n＜﹣1，所以n+1＜0，﹣n＞0，故一次函数y=（n+1）x﹣n的图象不经过第三象限．故选C【点评】一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．对于一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，它的图象经过一、二、四象限．7．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体的三种视图，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【考点】由三视图判断几何体．【专题】压轴题．【分析】结合三视图的知识，主视图以及左视图底面有6个小正方体，共有两层三行，第二层有2个小正方体．【解答】解：综合主视图，俯视图，左视图底面有6个正方体，第二层有2个正方体，所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数是8．故选D．【点评】本题考查对三视图的理解应用及空间想象能力．可从主视图上分清物体的上下和左右的层数，从俯视图上分清物体的左右和前后位置，综合上述分析数出小立方块的个数．8．如若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，则E点的坐标是（）A． B． C． D．（1，1）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；解一元二次方程-公式法；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质．【专题】数形结合．【分析】在正方形ABCO中四边都相等，由反比例函数比例系数k的几何意义可得，正方形OABC的面积为1，求得OA=1．若设AD=DE=m，则OD=1+m，再根据反比例函数图象上点的坐标特征，可列方程求得m的值，即可得出E点的坐标．【解答】解：依据反比例函数比例系数k的几何意义可得，正方形OABC的面积为1，∴OA的长为1，设AD=DE=m，则OD=1+m，∴E（1+m，m），将E（1+m，m）代入反比例函数y=可得，m（1+m）=1，解得，m1=，m2=（不合题意，舍去），∴1+m=，故点E的坐标是（，）．故选（B）【点评】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据正方形的四条边都相等，并利用两正方形的边长表示出点B、E的坐标是解题的关键．在反比例函数y=图象上任取一点，过这点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|，这是反比例函数比例系数k的几何意义．9．△ABC经过一定的运动得到△A1B1C1，然后以点A1为位似中心按比例尺A1B2：A1B1=2：1，△A1B1C1放大为△A1B2C2，如果△ABC上的点P的坐标为（a，b），那么这个点在△A1B2C2中的对应点P2的坐标为（）A．（a+3，b+2） B．（a+2，b+3） C．（2a+6，2b+4） D．（2a+4，2b+6）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【专题】常规题型．【分析】观察图形，看△A1B1C1是如何从△ABC得到的，发现其变化规律．再根据位似变换，得到△A1B2C2中各点的坐标特点，从而得到P2的坐标．【解答】解：△A1B1C1是由△ABC通过平移得到的，其平移规律是右移三个单位后，再上移2个单位，所以点P移到P1的坐标为（a+3，b+2）．△A1B2C2是由三角线A1B1C1通过位似变换得到的，所以在△A1B2C2上的各点坐标，都做了相应的位似变换，即乘以了2．∴点P1的对应点P2的坐标为（2a+6，2b+4）．故选C．【点评】本题考查了平移变化和位似变化及相关知识，点的变化与平移规律和位似变化规律相一致．10．已知AC⊥BC于C，BC=a，CA=b，AB=c，下列选项中⊙O的半径为的是（）A． B． C． D．【考点】三角形的内切圆与内心；解一元一次方程；正方形的判定与性质；切线的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】连接OE、OD，根据AC、BC分别切圆O于E、D，得到∠OEC=∠ODC=∠C=90°，证出正方形OECD，设圆O的半径是r，证△ODB∽△AEO，得出=，代入即可求出r=；设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，且AB于F，同样得到正方形OECD，根据a﹣x+b﹣x=c，求出x即可；设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，则△BCA∽△OFA得出=，代入求出y即可．【解答】解：A、设圆的半径是x，圆切AC于E，切BC于D，切AB于F，如图（1）同样得到正方形OECD，AE=AF，BD=BF，则a﹣x+b﹣x=c，求出x=，故本选项错误；B、设圆切AB于F，圆的半径是y，连接OF，如图（2），则△BCA∽△OFA，∴=，∴=，解得：y=，故本选项错误；C、连接OE、OD，∵AC、BC分别切圆O于E、D，∴∠OEC=∠ODC=∠C=90°，∵OE=OD，∴四边形OECD是正方形，∴OE=EC=CD=OD，设圆O的半径是r，∵OE∥BC，∴∠AOE=∠B，∵∠AEO=∠ODB，∴△ODB∽△AEO，∴=，=，解得：r=，故本选项正确；从上至下三个切点依次为D，E，F；并设圆的半径为x；容易知道BD=BF，所以AD=BD﹣BA=BF﹣BA=a+x﹣c；又∵b﹣x=AE=AD=a+x﹣c；所以x=，故本选项错误．故选：C．【点评】本题主要考查对正方形的性质和判定，切线的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的内切圆与内心，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能根据这些性质求出圆的半径是解此题的关键．二.填空题（共5个小题，每小题4分，共20分）11．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，则tanA的值为．【考点】同角三角函数的关系．【分析】直接利用已知结合勾股定理表示出AC，BC的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．【解答】解：如图所示：∵∠C=90°，sinA=，∴设BC=2x，AB=3x，则AC=x，故tanA的值为：==．故答案为：．【点评】此题主要考查了同角三角函数关系、勾股定理等知识，正确表示出AC的长是解题关键．12．一般地，如果在一次实验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，用A表示"实验结果落在D中的某个小区域M中"这个事件，那么事件A发生的概率P（A）=（M和D分别表示相应区域的面积）．如图，现有一边长为a的等边△ABC，分别以此三角形的三个顶点为圆心，以一边的一半长为半径画圆与△ABC的内切圆有重叠（见图中阴影部分）；现在在等边△ABC内注射一个点，则该点落在△ABC内切圆中的概率是．【考点】几何概率；等边三角形的性质；三角形的内切圆与内心．【分析】利用等边三角形以及其内切圆的性质以及锐角三角函数关系得出DO，AD的长，从而可以求得△ABC的面积和内切圆的面积，本题得以解决．【解答】解：作AD⊥BC于点D，作BE⊥AC于点E，∵等边△ABC的边长为a，∴∠OBD=30°，BD=，AD=∴OD=BDotan30°=，∴内切圆⊙O的面积是：，等边△ABC的面积是：，∴该点落在△ABC内切圆中的概率是：，故答案为：．【点评】此题主要考查了几何概率以及三角形内切圆的性质以及等边三角形的性质等知识，得出等边三角形与内切圆的关系是解题关键．13．如图，在一根长90cm的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为4cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈，则彩色丝带的总长度为150cm．【考点】勾股定理的应用．【分析】根据题意抽象出直角三角形，利用勾股定理求得彩色丝带的长即可．【解答】解：如下图，彩色丝带的总长度为=150cm，故答案为：150cm．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．14．观察下列的有序数对：（3，﹣1），，根据你发现的规律，第2016个有序数对是（﹣4033，）．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先不看符号找规律：第一个数：连续奇数；第二个数是序号的倒数；再看符号的规律，最后得出答案．【解答】解：根据题意得：第一个数：3=2×1+1，﹣5=﹣（2×2+1），7=2×3+1，﹣9=﹣（2×4+1），…，所以第2016个有序数对的第一个数为：﹣（2×2016+1）=﹣4033，第二个数：﹣1，，﹣，，…，所以第2016个有序数对的第二个数为：，故答案为：（﹣4033，）．【点评】本题是数字类的变化题，此类题应该从第一个数起，分析其形成过程及与其它数的关系，找出满足条件的通项公式，并一一检验，最后确定其变化规律．15．二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x=1，其图象的一部分如图所示，对于下列说法：①abc＜0；②a﹣b+c＜0；③3a+c＜0；④2a+b=0；⑤b2﹣4ac＜0；⑥当﹣1＜x＜3时，y＞0．其中正确的是①②③④（把正确的序号都填上）．【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b=0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c；由抛物线和x轴的交点个数判断b2﹣4ac的符号；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．【解答】解：①∵开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴右侧，∴﹣＞0，∴b＞0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故正确；②∵对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点横坐标在2与3之间，∴另一个交点的横坐标在0与﹣1之间；∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，故正确；③∵2a+b=0，∴b=﹣2a，∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故正确；④∵对称轴x=﹣=1，∴2a+b=0；故正确；⑤∵抛物线和x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，故错误；⑥如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故错误；∴正确的有4个．故答案为①②③④．【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数a决定抛物线的开口方向，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点，抛物线与y轴交于（0，c）．三.解答题（共2个题，每题8分，共16分）16．计算：﹣2|1﹣|．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用负整数指数幂法则，特殊角的三角函数值，算术平方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣8﹣6×+9×﹣2（﹣1）=﹣8﹣2+﹣2+2=﹣6﹣3．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．解不等式组：，并在数轴上表示出解集．【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．【专题】方程与不等式．【分析】根据解不等式组的方法可以求得不等式组的解集，从而可以将不等式组的解集在数轴上表示出来．【解答】解：，解不等式①，得x≥﹣12，解不等式②，得x＜，不等式①、②的解集在数轴上表示如下图所示，故原不等式组的解集是﹣12≤x＜．【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．四、解答题（共2个题，每小题8分，共16分）18．在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物，为使课外读物满足同学们的需求，学校就"我最喜爱的课外读物"从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调查（2016o富顺县校级模拟）近几年我国高速公路的建设有了飞速的发展，现正在修建中的某段高速公路要招标．现有甲乙两个工程队，若甲、乙两队合作，24天可完成任务，需要费用120万元；若甲队单独做20天，剩下的工程由乙做，还需要40天才能完成此项工程，这样需要110万元，问：（1）甲乙两队单独完成此项工程，各需多少天？（2）甲乙两队单独完成此项工程，各需费用多少万元．【考点】二元一次方程组的应用；分式方程的应用．【分析】（1）两个等量关系为：甲工效+乙工效=；甲工效×20+乙工效×40=1．（2）两个等量关系为：（甲每天需要的工程费+乙每天需要的工程费）×24=120；甲每天需要的工程费×20+乙每天需要的工程费×40=110．【解答】解：（1）设甲队独做需a天，乙队独做需b天．建立方程组，解得a=30（天），b=120（天）经检验a=30，b=120是原方程组的解．答：甲队独做需30天，乙队独做需120天．（2）设甲队独做需x万元，乙队独做需y万元，建立方程组，解得x=135，y=60答：甲队独做需135万元，乙队独做需60万元．【点评】本题主要考查了分式方程以及二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：甲工效+乙工效=；甲工效×20+乙工效×40=1．（甲每天需要的工程费+乙每天需要的工程费）×24=120；甲每天需要的工程费×20+乙每天需要的工程费×40=110．列出方程组，再求解．五、解答题（共2个题，每题10分，共20分）20．在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边上的中点，点M是AB上的一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连结MD、AN．（1）求证：四边形AMDN是平行四边形；（2）填空：①当AM=1时，四边形AMDN是矩形；②当AM=2时，四边形AMDN是菱形．【考点】矩形的判定；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质．【分析】（1）利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；（2）①有（1）可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1时即可；②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，又∵点E是AD边的中点∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；（2）解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形；故答案为：1；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴平行四边形AMDN是菱形，故答案为：2．【点评】本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定以及重要的性质．21．如图，在半径为5的扇形AOB中，∠AOB=90°，点C是弧AB上的一个动点（不与点A、B重合）OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E．（1）当BC=6时，求线段OD的长；（2）在△DOE中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．【考点】垂径定理；三角形中位线定理．【分析】（1）如图（1），根据垂径定理可得BD=BC，然后只需运用勾股定理即可求出线段OD的长；（2）连接AB，如图（2），用勾股定理可求出AB的长，根据垂径定理可得D和E分别是线段BC和AC的中点，根据三角形中位线定理就可得到DE=AB，DE保持不变；【解答】解：（1）如图（1），∵OD⊥BC，∴BD=BC=×6=3，∵∠BDO=90°，OB=5，BD=3，∴OD==4，即线段OD的长为4．（2）存在，DE保持不变．理由：连接AB，如图（2），∵∠AOB=90°，OA=OB=5，∴AB==5，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D和E分别是线段BC和AC的中点，∴DE=AB=，∴DE保持不变．【点评】本题考查了垂径定理、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角函数、勾股定理等知识，运用垂径定理及三角形中位线定理是解决第（2）小题的关键．六、解答题（本题满分12分）22．用换元法解分式方程：=2解：设=m，则原方程可化为m﹣=2；去分母整理得：m2﹣2m﹣3=0解得：m1=﹣1，m2=3即：=﹣1或=3；解得：x=或x=﹣经检验：x=或x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=，x2=﹣．请同学们借鉴上面换元法解分式方程的方法，先解下列方程，然后再化简求值：已知a是方程的根，并求代数式的值？【考点】换元法解分式方程；分式方程的解．【专题】计算题．【分析】先仿照题例，设=m，将原方程化为m2﹣m﹣2=0，然后解这个整式方程，再还元求得原方程的解，另外要注意求代数式的值时，注意a的取值之合理性．【解答】解：（）2﹣（）﹣2=0设=m，则原方程可化为m2﹣m﹣2=0，解这个整式方程得：m1=2，m2=﹣1即：=2或=﹣1；解得：x=4或x=﹣经检验：x=4或x=﹣是原方程的解．故原方程的解为：x1=4，x2=﹣．因为a是方程的根，所以，a=4或a=﹣=÷=÷=o=则①当a=4时，原式===2；②当a=﹣时，原式===﹣1即：所求代数式的值为2或﹣1【点评】此题是换元法解分式方程，换元法解分式方程是难点，关键是换元之后把方程化成整式方程，要将所解整式方程的解还原回来，求出原分式方程的解，并要进行验根；七、解答题（本题满分12分）23．如图，以等腰△ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于D，过D作DE⊥AC于E，可得结论：DE是⊙O的切线．问：（1）若点O在AB上向点B移动，以O为圆心，OB长为半径的圆仍交BC于D，DE⊥AC的条件不变，那么上述结论是否成立？请说明理由；（2）如果AB=AC=5cm，sinA=，那么圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切？【考点】切线的判定．【专题】几何综合题．【分析】（1）结论仍然成立．在连接OD后，因为OD=OB，AB=AC，则有∠ABC=∠ACB=∠ODB，所以OD和AC永远平行；又DE和AC垂直，所以DE和OD也垂直，即DE是⊙O的切线．（2）当⊙O与AC相切时，若假设切点为F，⊙O与AB相交于G，则OF和AC垂直，即△AOF是一个以AO为斜边的直角三角形；从而根据三角函数求得OF，OB的长，即可确定圆心O在AB的什么位置时，⊙O与AC相切．【解答】解：（1）结论成立．理由如下：如图，连接OD；∵OD=OB，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=∠ODB，∴OD∥AC；又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，即DE是⊙O的切线．（2）当圆心O在AB上距B点为3x=时，⊙O与AC相切．如图所示，⊙O与AC相切于F，⊙O与AB相交于G．则OF⊥AC；在RT△AOF中，sinA=OF：AO=3：5；设OF=3x，AO=5x，则OB=OG=OF=3x，AG=2x，∴8x=AB=5，∴x=，此时OB=3x=时，即当圆心O在AB上距B点为3x=时，⊙O与AC相切．【点评】此题主要考查了切线的判定，以及圆中一些基本性质．八、解答题（本题满分14分）24．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2）．（1）求这条抛物线的函数表达式；（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标；（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）已知抛物线过C（0，﹣2）点，那么c=﹣2；根据对称轴为x=﹣1，因此﹣=﹣1，然后将A点的坐标代入抛物线中，通过联立方程组即可得出抛物线的解析式．（2）本题的关键是确定P点的位置，由于A是B点关于抛物线对称轴的对称点，因此连接AC与抛物线对称轴的交点就是P点．可根据A，C的坐标求出AC所在直线的解析式，然后根据得出的一次函数的解析式求出与抛物线对称轴的交点即可得出P点的坐标．（3）△PDE的面积=△OAC的面积﹣△PDC的面积﹣△ODE的面积﹣△AEP的面积△OAC中，已知了A，C的坐标，可求出△OAC的面积．△PDC中，以CD为底边，P的横坐标的绝对值为高，即可表示出△PDC的面积．△ODE中，可先用m表示出OD的长，然后根据△ODE与△OAC相似，求出OE的长，根据三角形的面积计算公式可用m表示出△ODE的面积．△PEA中，以AE为底边（可用OE的长表示出AE），P点的纵坐标的绝对值为高，可表示出△PEA的面积．由此可表示出△ODE的面积，即可得出关于S，m的函数关系式．然后根据函数的性质求出三角形的最大面积以及对应的m的值．【解答】解：（1）由题意得，解得，∴此抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．（2）连接AC、BC．因为BC的长度一定，所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=﹣1的交点即为所求的点P．设直线AC的表达式为y=kx+b，则，解得，∴此直线的表达式为y=﹣x﹣2，把x=﹣1代入得y=﹣∴P点的坐标为（﹣1，﹣）．（3）S存在最大值，理由：∵DE∥PC，即DE∥AC．∴△OED∽△OAC．∴，即，∴OE=3﹣m，OA=3，AE=m，∴S=S△OAC﹣S△OED﹣S△AEP﹣S△PCD=×3×2﹣×（3﹣m）×（2﹣m）﹣×m×﹣×m×1=﹣m2+m=﹣（m﹣1）2+∵∴当m=1时，S最大=．【点评】本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形相似等重要知识点；（3）中无法直接求出三角形的面积时，可用其他图形的面积经过"和，差"的关系来求出其面积．