资源资源简介：

免费长沙市中考数学模拟试卷含解析中考数学试题试卷网湖南省长沙市2016年中考数学模拟试卷（三）(解析版)一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．﹣4的相反数（）A．4 B．﹣4 C． D．﹣2．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（）A． B． C． D．3．下列运算正确的是（）A．x2+x3=x5 B．x8÷x2=x4 C．3x﹣2x=1 D．（x2）3=x64．如图所示是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．5．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c6．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.3环，方差分别为S=0.56，S=0.60，S=0.50，S=0.45，则成绩最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁7．反比例函数y=﹣的图象在（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限8．一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．89．在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的扇形的面积为（）A．6π B．4π C．2π D．π10．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（）A． B．C． D．11．如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（）A．164m B．178m C．200m D．1618m12．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则tan∠AHE的值为（）A． B． C． D．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．一次函数y=3x+6中，y的值随x的增大而．14．不等式组的解集是．15．若∠A=45°30′，那么∠A的余角是．16．已知一组数据3，4，4，2，5，这组数据的中位数为．17．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，点P是上任意一点（不与A、B重合，点C在AP的延长线上），则∠BPC=．18．在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是．三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分）19．（6分）计算：（）﹣2﹣+（﹣1）0﹣|﹣2|．20．（6分）先化简再求值：，其中．21．（8分）今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班学生人数和m的值．（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用"列表法"或"画树状图法"求出恰好选到一男一女的概率．分组 分数段（分） 频数A 36≤x＜41 2B 41≤x＜46 5C 46≤x＜51 15D 51≤x＜56 mE 56≤x＜61 1022．（8分）如图，点E、F分别是等边△ABC中AC、AB边上的中点，以AE为边向外作等边△ADE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）连接DC，若BC=10，求四边形ABCD的面积．23．（9分）为了促进营业额不断增长，某大型超市决定购进甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价为150元，售价为168元；乙种商品每件进价为120元，售价为140元，该超市用42000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利5600元．（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）超市第二次以原价购进甲、乙两种商品共400件，且购进甲种商品的件数多于乙种商品的件数，要使第二次经营活动的获利不少于7580元，共有几种进货方案？写出利润最大的进货方案．24．（9分）如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；（3）求证：AF+2DF=AB．25．（10分）已知二次函数y=kx2+x+（k是常数）．（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx2+x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；（3）若抛物线y=kx2+x+与x轴交于A（xA，0）、B（xB，0）两点，且xA＜xB，xA2+xB2=34，若与y轴不平行的直线y=ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．26．（10分）已知直线y=﹣x+3与两坐标轴分别相交于A、B两点，若点P、Q分别是线段AB、OB上的动点，且点P不与A、B重合，点Q不与O、B重合．（1）若OP⊥AB于点P，△OPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？请直接写出相应的OQ的长；（2）当点P是AB的中点时，若△OPQ与△ABO相似，这时满足条件的点Q有几个？请分别求出相应的OQ的长；（3）试探究是否存在以点P为直角顶点的Rt△OPQ？若存在，求出相应的OQ的范围，并求出OQ取最小值时点P的坐标；若不存在，请说明理由．2016年湖南省长沙市中考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分）1．﹣4的相反数（）A．4 B．﹣4 C． D．﹣【考点】相反数．【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【解答】解：﹣4的相反数4．故选：A．【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．2．下列图形中，是中心对称但不是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合所给图形进行判断即可．【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；故选C．【点评】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合，难度适中．3．下列运算正确的是（）A．x2+x3=x5 B．x8÷x2=x4 C．3x﹣2x=1 D．（x2）3=x6【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的乘法与除法，幂的乘方的运算法则计算即可．【解答】解：A、x2与x3不是同类项不能合并，故选项错误；B、应为x8÷x2=x6，故选项错误；C、应为3x﹣2x=x，故选项错误；D、（x2）3=x6，正确．故选D．【点评】本题主要考查同底数幂的除法，幂的乘方的性质以及合并同类项的法则；合并同类项时，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，不是同类项的一定不能合并．4．如图所示是由六个相同的小立方块搭成的几何体，这个几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【解答】解：从上面看易得：第一层最左边有1个正方形，第二层有3个正方形．故选A．【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．5．下列各式从左到右的变形中，为因式分解的是（）A．x（a﹣b）=ax﹣bx B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1） D．ax+by+c=x（a+b）+c【考点】因式分解的意义．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，故A错误；B、没把一个多项式转化成几个整式积，故B错误；C、把一个多项式转化成几个整式积，故C正确；D、没把一个多项式转化成几个整式积，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积是解题关键．6．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数都是9.3环，方差分别为S=0.56，S=0.60，S=0.50，S=0.45，则成绩最稳定的是（）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【考点】方差；算术平均数．【分析】直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可．【解答】解：∵S=0.56，S=0.60，S=0.50，S=0.45，∴S＜S＜S＜S，∴成绩最稳定的是丁．故选：D．【点评】此题主要考查了方差，正确理解方差的意义是解题关键．7．反比例函数y=﹣的图象在（）A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限【考点】反比例函数的性质．【分析】根据反比例函数的图象与系数的关系即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数y=﹣中，k=﹣5＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二四象限．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．8．一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】一次函数图象上点的坐标特征．【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：∵令x=0，则y=4；令y=0，则x=4，∴直线与两坐标轴的交点分别为：（0，4），（4，0），∴一次函数y=﹣x+4的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积=×4×4=8．故选D．【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知坐标轴上点的坐标特点是解答此题的关键．9．在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的扇形的面积为（）A．6π B．4π C．2π D．π【考点】扇形面积的计算．【分析】根据扇形的面积公式S=进行解答即可．【解答】解：依题意到所求扇形的面积==6π．故选：A．【点评】此题主要考查了扇形的面积公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=．熟记公式是解题的关键．10．如图，以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是（）A． B．C． D．【考点】一次函数与二元一次方程（组）．【分析】两条直线的交点坐标应该是联立两个一次函数解析式所组方程组的解．因此本题需先根据两直线经过的点的坐标，用待定系数法求出两直线的解析式．然后联立两函数的解析式可得出所求的方程组．【解答】解：直线l1经过（2，3）、（0，﹣1），易知其函数解析式为y=2x﹣1；直线l2经过（2，3）、（0，1），易知其函数解析式为y=x+1；因此以两条直线l1，l2的交点坐标为解的方程组是：．故选C．【点评】本题主要考查了函数解析式与图象的关系，满足解析式的点就在函数的图象上，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．11．如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（）A．164m B．178m C．200m D．1618m【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】首先在直角三角形ABC中根据坡角的正切值用AB表示出BC，然后在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根据BD与BC之间的关系列出方程求解即可．【解答】解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=1，∴BC=AB，∵在直角三角形ADB中，∴=tan26.6°=0.50，即：BD=2AB，∵BD﹣BC=CD=200，∴2AB﹣AB=200，解得：AB=200米，答：小山岗的高度为200米；故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并求解．12．如图，四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则tan∠AHE的值为（）A． B． C． D．【考点】勾股定理；全等三角形的性质；全等三角形的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】先求出△AEH与△BFE相似，再根据其相似比EF：FG=3：1设出AE、BF的长及AB、BC的长，求出的值即可．【解答】解：∵四边形EFGH是矩形ABCD的内接矩形，EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，∴∠HEA+∠FEB=90°，∵∠FEB+∠EFB=90°，∴∠HEA=∠EFB，∵∠HAE=∠B，∴Rt△HAE∽△EBF，∴===，同理可得，∠GHD=∠EFB，HG=EF，∴△GDH≌△EBF，DH=BF，DG=EB，设AB=2x，BC=x，AE=a，BF=3a，则AH=x﹣3a，AE=a，∴tan∠AHE=tan∠BEF，即=，解得：x=8a，∴tan∠AHE===．故选A【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是根据题意求出相似三角形的相似比，根据各边之间的关系列出方程解答．二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分）13．一次函数y=3x+6中，y的值随x的增大而增大．【考点】一次函数的性质．【分析】根据一次函数的性质可知"当k＞0时，变量y的值随x的值增大而增大"，由此可得出结论．【解答】解：∵一次函数y=3x+6中，k＞0，∴变量y的值随x的值增大而增大，故答案为：增大【点评】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据k的取值范围确定函数的单调性．14．不等式组的解集是﹣1≤x≤1．【考点】解一元一次不等式组．【分析】先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．【解答】解：由（1）去括号得，4≥2﹣2x，移项、合并同类项得，﹣2x≤2，系数化为1得，x≥﹣1．由（2）移项、合并同类项得，﹣3x≥﹣3，系数化为1得，x≤1．故原不等式组的解集为：﹣1≤x≤1．【点评】主要考查了一元一次不等式解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．15．若∠A=45°30′，那么∠A的余角是44°30′．【考点】余角和补角；度分秒的换算．【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°列式进行计算即可得解．【解答】解：90°﹣45°30′=44°30′．答：∠A的余角是44°30′．故答案为：44°30′．【点评】本题考查了余角和补角，解决本题的关键是熟记互为余角的和等于90°．16．已知一组数据3，4，4，2，5，这组数据的中位数为4．【考点】中位数．【分析】要求中位数，是按从小到大的顺序排列的，所以只要找出最中间的一个数（或最中间的两个数）即可．【解答】解：从小到大排列此数据为：2、3、4、4、5，第3位是4，则这组数据的中位数是4．故答案为：4．【点评】考查了中位数的知识，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数．如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求；如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．17．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=100°，点P是上任意一点（不与A、B重合，点C在AP的延长线上），则∠BPC=50°．【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【分析】在优弧上取点D，连接AD、BD，根据圆周角定理求出∠ADB的度数，根据圆内接四边形的性质得到答案．【解答】解：在优弧上取点D，连接AD、BD，由圆周角定理得，∠ADB=∠AOB=50°，∵四边形ADBP是圆内接四边形，∴∠BPC=∠ADB=50°，故答案为：50°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．18．在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转45°，再作出旋转后的点关于原点的对称点，这称为一次变换，已知点A的坐标为（﹣1，0），则点A经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是（﹣1，0）．【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】分别求得第一、二、三…八次变换后的坐标，得到每8次循环一次．则2016÷8=252即可求得结果．【解答】解：由题意第一次旋转后的坐标为（，），第二次旋转后的坐标为（0，﹣1），第三次旋转后的坐标为（﹣，），第四次旋转后的坐标为（1，0），第五次旋转后的坐标为（﹣，﹣），第六次旋转后的坐标为（0，1），第七次旋转后的坐标为（，1），第八次旋转后的坐标为（﹣1，0）因为2016÷8=252，所以把点A经过连续2016次这样的变换得到的点A2016的坐标是（﹣1，0）．故答案是：（﹣1，0）．【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣旋转．解答此类找规律的问题的关键是仔细分析题中所给的特征得到规律，再把这个规律应用于解题．三、解答题（本题共8个小题，第19、20小题每小题6分，第21、22小题每小题6分，第23、24小题每小题6分，第25、26小题每小题6分，共66分）19．计算：（）﹣2﹣+（﹣1）0﹣|﹣2|．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．【解答】解：原式=4﹣2+1﹣2=1．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．先化简再求值：，其中．【考点】分式的化简求值；分母有理化．【分析】先把括号里式子通分，再把除法转化为乘法，约分化为最简，最后代值计算．【解答】解：原式=（﹣×=×=﹣，当时，原式=﹣=﹣．【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．21．今年5月份，某校九年级学生参加了南宁市中考体育考试，为了了解该校九年级（1）班同学的中考体育情况，对全班学生的中考体育成绩进行了统计，并绘制以下不完整的频数分布表（如表）和扇形统计图（如图），根据图表中的信息解答下列问题：（1）求全班学生人数和m的值．（2）直接学出该班学生的中考体育成绩的中位数落在哪个分数段．（3）该班中考体育成绩满分共有3人，其中男生2人，女生1人，现需从这3人中随机选取2人到八年级进行经验交流，请用"列表法"或"画树状图法"求出恰好选到一男一女的概率．分组 分数段（分） 频数A 36≤x＜41 2B 41≤x＜46 5C 46≤x＜51 15D 51≤x＜56 mE 56≤x＜61 10【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数．【分析】（1）利用C分数段所占比例以及其频数求出总数即可，进而得出m的值；（2）利用中位数的定义得出中位数的位置；（3）利用列表或画树状图列举出所有的可能，再根据概率公式计算即可得解．【解答】解：（1）由题意可得：全班学生人数：15÷30%=50（人）；m=50﹣2﹣5﹣15﹣10=18（人）；（2）∵全班学生人数：50人，∴第25和第26个数据的平均数是中位数，∴中位数落在51﹣56分数段；（3）如图所示：将男生分别标记为A1，A2，女生标记为B1 A1 A2 B1A1  （A1，A2） （A1，B1）A2 （A2，A1）  （A2，B1）B1 （B1，A1） （B1，A2） P（一男一女）==．【点评】此题主要考查了列表法求概率以及扇形统计图的应用，根据题意利用列表法得出所有情况是解题关键．22．如图，点E、F分别是等边△ABC中AC、AB边上的中点，以AE为边向外作等边△ADE．（1）求证：四边形AFED是菱形；（2）连接DC，若BC=10，求四边形ABCD的面积．【考点】菱形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】（1）由等边三角形的性质得出AF=EF=AE=DE=AD，由四边相等的四边形是菱形，即可得出结论；（2）作AM⊥BC于M，由等边三角形的性质和三角函数求出AM，在求出AD的长，证出四边形ABCD是梯形，由梯形的面积公式即可得出结果．【解答】（1）证明：∵△ABC、△ADE是等边三角形，∴AF=EF=AE=DE=AD，∠ACB=∠DAE=60°，∴四边形AFED是菱形；（2）解：作AM⊥BC于M，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC=10，∠B=60°，∴AM=ABosin60°=10×=5，∵E是AC的中点，∴AE=AD=AC=5，∵∠ACB=∠DAE=60°，∴AD∥BC，∴四边形ABCD是梯形，∴四边形ABCD的面积=（AD+BC）×AM=（5+10）×5=．【点评】本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质、平行线的判定、梯形的判定、三角函数等知识；熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形ABCD是梯形是解决问题（2）的关键．23．为了促进营业额不断增长，某大型超市决定购进甲、乙两种商品，已知甲种商品每件进价为150元，售价为168元；乙种商品每件进价为120元，售价为140元，该超市用42000元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利5600元．（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？（2）超市第二次以原价购进甲、乙两种商品共400件，且购进甲种商品的件数多于乙种商品的件数，要使第二次经营活动的获利不少于7580元，共有几种进货方案？写出利润最大的进货方案．【考点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，利用总成本和总利润列二元一次方程组，然后解方程组即可；（2）设超市第二次以原价购进甲a件，则乙种商品购进（400﹣a）件，利用"购进甲种商品的件数多于乙种商品的件数，要使第二次经营活动的获利不少于7580元"列不等式组，然后求出不等式组的整数解即可得到进货方案，再利用每件乙商品的利润比每件甲商品的利润大可确定利润最大的进货方案．【解答】解：（1）设购进甲种商品x件，购进乙种商品y件，根据题意得，解得，答：该超市购进甲、乙两种商品分别为200件和100件；（2）设超市第二次以原价购进甲a件，则乙种商品购进（400﹣a）件，根据题意得，解得200＜a≤210，因为a为整数，所以a=201、202、203、204、205、206、207、208、209、210，所以共有10种进货方案，因为每件乙商品的利润比每件甲商品的利润大，所以当购进甲201件，乙种商品购进199件时，利润最大，最大利润为201×18+199×20=7598（元）．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用：从实际问题中找出不等关系，列出不等式组，通过解不等式组可确定某个量的取值范围，从而确定设计方案．也考查了二元一次方程组的应用．24．如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD=6，DE=8，求BE的长；（3）求证：AF+2DF=AB．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，求得∠ACB=∠D，根据角平分线的性质得到∠BAC=∠CAD，通过相似三角形得到∠ABC=∠ACD，等量代换得到∠OCB=∠ACD，求出∠OCD=90°，即可得到结论；（2）根据勾股定理得到AE==10，根据相似三角形的性质得到，代入数据得到r=，于是得到结论；（3）过C作CG⊥AE于G，根据全等三角形的性质得到AG=AD，CG=CD，推出Rt△BCG≌Rt△FCD，由全等三角形的性质得到BG=FD，等量代换即可得到结论．【解答】解：（1）连接OC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵CD⊥AF，∴∠D=90°，∴∠ACB=∠D，∵AC平分∠BAF，∴∠BAC=∠CAD，∴△ABC∽△ACD，∴∠ABC=∠ACD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠ACD，∵∠OCB+∠ACO=∠ACO+∠ACD=90°，∴∠OCD=90°，∴CD是⊙O的切线；（2）∵AD=6，DE=8，∴AE==10，∵OC∥AD，∴∠OCE=∠ADE，∴△OCE∽△ADE，∴，即，∴r=，∴BE=10﹣=；（3）过C作CG⊥AE于G，在△ACG与△ACD中，，∴△ACG≌△ACD，∴AG=AD，CG=CD，∵BC=CF，在Rt△BCG与Rt△FCD中，，∴Rt△BCG≌Rt△FCD，∴BG=FD，∴AF+2DF=AD+DF=AG+GB=AB，即AF+2DF=AB．【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25．（10分）（2016o长沙模拟）已知二次函数y=kx2+x+（k是常数）．（1）若该函数的图象与x轴有两个不同的交点，试求k的取值范围；（2）若点（1，k）在某反比例函数图象上，要使该反比例函数和二次函数y=kx2+x+都是y随x的增大而增大，求k应满足的条件及x的取值范围；（3）若抛物线y=kx2+x+与x轴交于A（xA，0）、B（xB，0）两点，且xA＜xB，xA2+xB2=34，若与y轴不平行的直线y=ax+b经过点P（1，3），且与抛物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，试探究是否为定值，并写出探究过程．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意k≠0，△＞0，列出不等式组即可解决问题．（2）设反比例函数解析式为y=，因为经过点（1，k），所以m=k，再根据条件即可确定k的值以及x的范围．（3）结论：=1．令y=0，则有kx2+x+=0，所以xA+xB=﹣，xAoxB=，根据xA2+xB2=34，列出方程求出k的值，设过点P的直线为y=kx+3﹣k，由由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，得x1+x2=﹣（4k﹣2），x1x2=﹣3﹣4k，根据=，代入化简即可解决问题．【解答】解：（1）∵二次函数y=kx2+x+与x轴有两个不同的交点，∴，解得k＜且k≠0．（2）设反比例函数解析式为y=，∵经过点（1，k），∴m=k，∵反比例函数和二次函数y=kx2+x+都是y随x的增大而增大，∴k＜0，x＜﹣，即x＜﹣．（3）结论：=1．理由：令y=0，则有kx2+x+=0，∴xA+xB=﹣，xAoxB=，∵xA2+xB2=34，∴（xA+xB）2﹣2xAoxB=34，∴（）2﹣﹣34=0，解得k=﹣或由（1）可知k＜，∴k=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣x2+x+，设过点P的直线为y=kx+b，把P（1，3）代入得3=k+b，∴b=3﹣k，∴过点P的直线为y=kx+3﹣k，∵过点P的直线为y=kx+3﹣k与物线交于Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2）两点，∴y1=kx1+3﹣k，y2=kx2+3﹣k，由消去y得x2+（4k﹣2）x﹣3﹣4k=0，∴x1+x2=﹣（4k﹣2），x1x2=﹣3﹣4k，∴=====1．【点评】本题考查二次函数综合题、抛物线与x轴的交点、两点间距离公式、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是熟练应用根与系数关系，学会利用参数解决问题，本题化简有一定的难度，属于中考压轴题．26．（10分）（2016o长沙模拟）已知直线y=﹣x+3与两坐标轴分别相交于A、B两点，若点P、Q分别是线段AB、OB上的动点，且点P不与A、B重合，点Q不与O、B重合．（1）若OP⊥AB于点P，△OPQ为等腰三角形，这时满足条件的点Q有几个？请直接写出相应的OQ的长；（2）当点P是AB的中点时，若△OPQ与△ABO相似，这时满足条件的点Q有几个？请分别求出相应的OQ的长；（3）试探究是否存在以点P为直角顶点的Rt△OPQ？若存在，求出相应的OQ的范围，并求出OQ取最小值时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）如图1中，满足条件的点Q有三个，分三种情形讨论即可①QO=QP，②OP=OQ，③PO=PQ．（2）如图2中，满足条件的点Q有2个．作PQ1⊥OB于Q1，Q2P⊥OP于Q2，可以证明Q1、Q2满足条件，理由相似三角形的性质即可解决问题．（3）存在．以OQ为直径作⊙G，当⊙G与AB相切于点P时，∠OPQ=90°，此时OQ的值最小．由此求出OQ，即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，满足条件的点Q有三个．理由：作PM⊥OB于M，作OP的垂直平分线交OP于F，交OB于Q1．则Q1P=Q1O，△OPQ1是等腰三角形，此时OQ1=OB=2．∵A（0，3），B（4，0），∴OA=3，OB=4，AB=5，∵OP⊥AB，∴oOAoOB=oABoOP，∴OP==，当OQ2=OP时，△OPQ2是等腰三角形，此时OQ2=，当PO=PQ3时，∵PM⊥OQ3，∴OQ3=2OM，∵∠POM=∠POQ3，∠PMO=∠OPB，∴△OPM∽△OBP，∴OP2=OMoOB，∴OM==，∴OQ3=．综上所述，△OPQ为等腰三角形时，满足条件的点Q有三个，OQ的长为2或或．（2）如图2中，满足条件的点Q有2个．理由：作PQ1⊥OB于Q1，Q2P⊥OP于Q2，∵PA=PB，∠AOB=90°，∴PA=PB=PO，∴∠POQ1=∠ABO，∵∠PQ1O=∠AOB，∴△OPQ1∽△BAO，∵PA=PB，PQ1∥OA，∴OQ1=BQ1=OB=2，∵∠POQ2=∠ABO，∠OPQ2=∠AOB，∴△OPQ2∽△BOA，∴=，∴=，∴OQ2=，综上所述，△OPQ与△ABO相似时，满足条件的点Q有2个，OQ的长为2或．（3）存在．理由如下：如图3中，以OQ为直径作⊙G，当⊙G与AB相切于点P时，∠OPQ=90°，此时OQ的值最小．∴设OG=GP=r，∵AO=AP=3，∴PB=AB=AP=2，在Rt△PBG中，∵∠GPB=90°，PG=r，BG=4﹣r，PB=2，∴r2+22=（4﹣r）2，∴r=，∴OQ=2r=3，∴当3≤OQ＜4时，△OPQ可为直角三角形．作PM⊥OB于M．∵PM∥OA，∴==，∴==，∴PM=，BM=，∴OM=4﹣=，∴OQ取最小值时点P的坐标（，）．【点评】本题考查一次函数综合题、圆的有关性质、切线长定理、切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，学会利用圆的性质解决问题，属于中考压轴题．