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南京市秦淮区2016年中考数学一模试卷含答案解析江苏省南京市秦淮区2016年中考数学一模试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．C．D．（）22．"秦淮灯彩甲天下"的美誉已从南京走向国内外．截至2016年2月22日晚10点，超过350000名国内外游客来到夫子庙、老门东和大报恩寺遗址公园等景区观灯赏景．将350000用科学记数法表示为（）A．0.35×106B．3.5×104C．3.5×105D．3.5×1063．计算（﹣2xy2）3的结果是（）A．﹣2x3y6B．﹣6x3y6C．8x3y6D．﹣8x3y64．甲、乙两名运动员在六次射击测试中的成绩如下表（单位：环）：甲的成绩 6 7 8 8 9 9乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为"？"）可以是（）A．6环B．7环C．8环D．9环5．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，△AOB是等边三角形，AB=4，则点A的坐标为（）A．（2，）B．（2，4）C．（2，2）D．（2，2）6．（2016秦淮区一模）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（）A．（1，2）B．（2，2）C．（2，1）D．（2，2）7．（2016秦淮区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等边三角形，BC∥x轴，AB=4，AC的中点D在x轴上，且D（，0），则点A的坐标为（）A．（2，﹣）B．（﹣1，）C．（+1，﹣）D．（﹣1，﹣）8．已知O是矩形ABCD的对角线的交点，AB=6，BC=8，则点O到AB、BC的距离分别是（）A．3、5B．4、5C．3、4D．4、39．A．10B．5C．2.5D．2.410．A．一组邻边相等B．一组对边平行C．两组对边分别相等D．两组对边的和相等二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）11．﹣2倒数是，﹣2绝对值是．12．分式有意义的x的取值范围为．13．计算：的结果是．14．在平面直角坐标系中，将函数y=﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是．15．如图，在△ABC和△EDB中，∠C=∠EBD=90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC=4，BC=3，则AE=．16．如图，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE=°．17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD=°．18．（2016广陵区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=°．19．（2016秦淮区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D、E，连接DE，则∠ADE=°．20．已知关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根是1和﹣1，则mn的值是．21．如图，在?ABCD中，AC是对角线，∠BAE=∠DAC，已知AB=7，AD=10，则CE=．22．我们知道，在反比例函数y=的图象上任取一点，过该点分别向两条坐标轴画垂线，这两条垂线与坐标轴围成的矩形面积始终是2．如果在某个函数的图象上任取一点，按同样的方式得到的矩形的周长始终是2，这个函数是．23．解不等式组．24．化简（1﹣）÷．25．如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC的外心，连接AD、CD．将△ADC绕点A顺时针旋转到△AEB，连接ED．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）连接BD，判断四边形AEBD的形状并证明．26．如图，转盘上1、2、3、4四个数字分别代表鸡、猴、鼠、羊四种生肖邮票（每种邮票各两枚，鸡年邮票面值"80分"，其它邮票都是面值"1.20元"），转动转盘后，指针每落在某个数字所在扇形一次就表示获得该种邮票一枚．（1）任意转动转盘一次，获得猴年邮票的概率是；（2）任意转动转盘两次，求获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.4元邮资的信件的概率．27．某校九年级共有450名学生，为了了解该年级学生的数学解题能力情况，该校数学兴趣小组随机抽取了90人进行调查分析，并将抽取的学生的数学解题成绩进行分组，绘制如下频数分布表和成绩分布扇形统计图（图1）：该校90名学生数学解题成绩频数分布表成绩 划记 频数不及格 正 9及格 正正正 18良好 正正正正正正一 36优秀 正正正正正 27合计  90（1）根据抽样调查的结果，将估计出该校九年级450名学生数学解题成绩情况在图2中绘制成条形统计图：（2）请你结合上述统计的结果，提出一条合理化建议．28．已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象经过点（0，3）．（1）求a的值；（2）将该函数的图象沿y轴翻折，求翻折后所得图象的函数表达式．29．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角分别为∠ACE=α，∠BCF=β，这时点F相对于点E升高了acm．求该摆绳CD的长度．（用含a、α、β的式子表示）30．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若要使一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．31．如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点．（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O经过点A、B、E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若正方形ABCD的边长为2，求（1）中所作⊙O的半径．32．小东从甲地出发匀速前往相距20km的乙地，一段时间后，小明从乙地出发沿同一条路匀速前往甲地．小东出发2.5h后，在距乙地7.5km处与小明相遇，之后两人同时到达终点．图中线段AB、CD分别表示小东、小明与乙地的距离y（km）与小东所用时间x（h）的关系．（1）求线段AB、CD所表示的y与x之间的函数表达式；（2）小东出发多长时间后，两人相距16km？33．在平面几何的学习过程中，我们经常会研究角和线之间的关系．（1）如图①，直线a、b被直线c所截，交点分别为A、B．当∠1、∠2满足数量关系时，a∥b；（2）如图②，在（1）中，作射线BC，与直线a的交点为C，当∠3、∠4满足何种数量关系时，AB=AC？证明你的结论；（3）如图③，在（2）中，若∠BAC=90°，AB=2，⊙I为△ABC的内切圆．①求⊙I的半径；②P为直线a上一点，若⊙I上存在两个点M、N，使∠MPN=60°，直接写出AP长度的取值范围．2016年江苏省南京市秦淮区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上）1．下列四个数中，是无理数的是（）A．B．C．D．（）2【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．【解答】解：A、是无理数，，，（）2是有理数，故选：A．【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2．"秦淮灯彩甲天下"的美誉已从南京走向国内外．截至2016年2月22日晚10点，超过350000名国内外游客来到夫子庙、老门东和大报恩寺遗址公园等景区观灯赏景．将350000用科学记数法表示为（）A．0.35×106B．3.5×104C．3.5×105D．3.5×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，所以可以确定n=6﹣1=5．【解答】解：350000=3.5×105．故选：C．【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．3．计算（﹣2xy2）3的结果是（）A．﹣2x3y6B．﹣6x3y6C．8x3y6D．﹣8x3y6【分析】直接利用积的乘方运算法则化简求出答案．【解答】解：（﹣2xy2）3=﹣8x3y6．故选：D．【点评】此题主要考查了积的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键．4．甲、乙两名运动员在六次射击测试中的成绩如下表（单位：环）：甲的成绩 6 7 8 8 9 9乙的成绩 5 9 6 ？ 9 10如果两人测试成绩的中位数相同，那么乙第四次射击的成绩（表中标记为"？"）可以是（）A．6环B．7环C．8环D．9环【分析】根据中位数的定义，结合表中数据，求出答案来．【解答】解：根据题意可得甲的中位数是8，因为两人测试成绩的中位数相同，所以乙的中位数是8，8=（9+？）÷2，所以可得？=7，故选B【点评】本题考查了中位数的概念以及中位数的计算问题，解题关键是得出甲的中位数．5．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，△AOB是等边三角形，AB=4，则点A的坐标为（）A．（2，）B．（2，4）C．（2，2）D．（2，2）【分析】先过点A作AC⊥OB，根据△AOB是等边三角形，求出OA=OB，OC=BC，∠AOB=60°，再根据点B的坐标，求出OB的长，再根据勾股定理求出AC的值，从而得出点A的坐标．【解答】解：过点A作AC⊥OB，∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB，OC=BC，∠AOB=60°，∵点B的坐标为（4，0），∴OB=4，∴OA=4，∴OC=2，∴AC=，∴点A的坐标是（2，2）．故选C．【点评】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A的坐标．6．（2016秦淮区一模）如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（）A．（1，2）B．（2，2）C．（2，1）D．（2，2）【分析】先过点A作AE⊥OB，根据△ABC是等边三角形，求出AE，再根据点D的坐标，得出点A的坐标．【解答】解：过点A作AE⊥OB，如图：∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），∴AE=2，，可得：，解得：OC=1，OE=EC﹣OC=2﹣1=1，所以点A的坐标为（2，1），故选C．【点评】此题考查了等边三角形的性质，用到的知识点是勾股定理，关键是作出辅助线，求出点A的坐标．7．（2016秦淮区一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC是等边三角形，BC∥x轴，AB=4，AC的中点D在x轴上，且D（，0），则点A的坐标为（）A．（2，﹣）B．（﹣1，）C．（+1，﹣）D．（﹣1，﹣）【分析】根据等边三角形的轴对称性质得到点D，由此求得点A的坐标．【解答】解：因为△ABC是等边三角形，BC∥x轴，AB=4，AC的中点D在x轴上，且D（，0），所以可得点A的纵坐标为﹣，横坐标为．故选C．【点评】本题考查了等边三角形的性质和坐标与图形性质，熟练掌握等边三角形的轴对称性质是解题的关键．8．已知O是矩形ABCD的对角线的交点，AB=6，BC=8，则点O到AB、BC的距离分别是（）A．3、5B．4、5C．3、4D．4、3【分析】作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，由矩形的性质得出OA=OB=OC=OD，由等腰三角形的性质得出AM=BM，BN=CN，证出OM、ON是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出OM=BC=4，ON=AB=3即可．【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB=OC=OD，∵OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，∴AM=BM，BN=CN，∴OM、ON是△ABC的中位线，∴OM=BC=4，ON=AB=3；故选：D．【点评】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，由三角形中位线定理得出结果是解决问题的关键．9．A．10B．5C．2.5D．2.4【分析】首先根据题意画出图形，由菱形ABCD中，AC=6，BD=8，即可得AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，然后利用勾股定理求得这个菱形的边长，再由三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：如图所示，∵菱形ABCD中，AC=6，BD=8，∴AC⊥BD，OA=AC=3，OB=BD=4，∴AB==5，∴点O到AB的距离===2.4．故选D．【点评】本题考查的是菱形的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．10．A．一组邻边相等B．一组对边平行C．两组对边分别相等D．两组对边的和相等【分析】由四边形内的一个点到四条边的距离相等，可得出该四边形为圆外切四边形，画出图形，根据切线的性质即可得出各组相等的线段，根据线段间的关系即可得出结论．【解答】解：依照题意，画出图形，如图所示．∵如果四边形内的一个点到四条边的距离相等，∴四边形ABCD为⊙O的外切四边形，∴AE=AN，DN=DM，CM=CF，BF=BE，∵AD=AN+DN，BC=BF+CF，AB=AE+BE，CD=CM+DM，∴AD+BC=AB+CD．故选D．【点评】本题考查了角平分线的性质以及切线的性质，解题的关键是得出该四边形为圆外切四边形．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据角平分线的性质确定该四边形为圆外切四边形是关键．二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）11．﹣2倒数是﹣，﹣2绝对值是2．【分析】分别根据倒数的定义以及绝对值的意义即可得到答案．【解答】解：﹣2的倒数为﹣，﹣2的绝对值为2．故答案为﹣；2．【点评】本题考查了倒数的定义：a与互为倒数（a≠0）．也考查了绝对值的意义．12．分式有意义的x的取值范围为x≠1．【分析】分式有意义时，分母不等于零．【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．故答案是：x≠1．【点评】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义?分母为零；（2）分式有意义?分母不为零；（3）分式值为零?分子为零且分母不为零．13．计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．14．在平面直角坐标系中，将函数y=﹣2x2的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，所得图象的函数表达式是y=﹣2（x﹣1）2+5．【分析】直接根据"上加下减，左加右减"的原则进行解答即可．【解答】解：由"左加右减"的原则可知，抛物线y=﹣2x2的图象向右平移1个单位所得函数图象的关系式是：y=﹣2（x﹣1）2；由"上加下减"的原则可知，抛物线y=﹣2（x﹣1）2的图象向上平移5个单位长度所得函数图象的关系式是：y=2（x﹣1）2+5．故答案为y=﹣2（x﹣1）2+5．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．15．如图，在△ABC和△EDB中，∠C=∠EBD=90°，点E在AB上．若△ABC≌△EDB，AC=4，BC=3，则AE=1．【分析】根据勾股定理求出AB，根据全等得出BE=AC=4，即可求出答案．【解答】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=4，BC=3，由勾股定理得：AB=5，∵△ABC≌△EDB，∴BE=AC=4，∴AE=5﹣4=1，故答案为：1．【点评】本题考查了全等三角形的性质和勾股定理的应用，能求出BE的长是解此题的关键，全等三角形的对应角相等，对应边相等．16．如图，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE=67.5°．【分析】先根据多边形内角和定理求出正八边形的内角和，再求出各内角的度数，根据正八边形的特点即可得出结论．【解答】解：∵图中是正八边形，∴各内角度数和=（8﹣2）×180°=1080°，∴∠HAB==135°，∴∠BAE==67.5°．故答案为：67.5．【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正八边形的各内角都相等是解答此题的关键．17．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD=36°．【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣36°）÷2=72°，又∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=36°，故答案为：36【点评】本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．18．（2016广陵区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD=36°．【分析】在△ABC中可求得∠ACB=∠ABC=72°，在△BCD中可求得∠DBC=36°，可求出∠ABD．【解答】解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=72°，又∵BC=BD，∴∠BDC=∠BCD=72°，∴∠DBC=36°，∴∠ABD=∠ABC﹣∠DBC=72°﹣36°=36°，故答案为：36【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角形内角和定理的应用．19．（2016秦淮区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，以B为圆心，BC为半径作弧，分别交AC、AB于点D、E，连接DE，则∠ADE=36°．【分析】连接BD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答即可．【解答】解：连接BD，∵AB=AC，∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°，∵BE=BD=BC，∴∠BDC=72°，∴∠DBC=36°，∴∠EBD=36°，∴∠EDB=72°，∴∠ADE=180°﹣72°﹣72°=36°，故答案为：36【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是利用等腰三角形的性质和三角形内角和解答．20．已知关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根是1和﹣1，则mn的值是0．【分析】由根与系数的关系求出一元二次方程中系数m、n的值，将其代入mn中即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0的两个根是1和﹣1，∴1+（﹣1）=﹣=﹣=0，1×（﹣1）===﹣1，∴m=0，n=﹣2．∴mn=0．故答案为0．【点评】本题考查了根与系数的关系，解题的关键分别求出m、n的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根与系数的关系结合两根的数值求出各系数的值是关键．21．如图，在?ABCD中，AC是对角线，∠BAE=∠DAC，已知AB=7，AD=10，则CE=5.1．【分析】由?ABCD的性质及∠BAE=∠DAC可得∠BAE=∠BCA，进而可判定△BAE∽△BCA，根据对应边成比例可得即，解之即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD=BC=10，∴∠DAC=∠BCA，又∵∠BAE=∠DAC，∴∠BAE=∠BCA，∵∠B=∠B，∴△BAE∽△BCA，∴，∵AB=7，BC=10，∴，解得：EC=5.1．故答案为：5.1．【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到∠BAE=∠BCA是判定三角形相似的前提，熟练运用相似形的性质是解题的关键．22．我们知道，在反比例函数y=的图象上任取一点，过该点分别向两条坐标轴画垂线，这两条垂线与坐标轴围成的矩形面积始终是2．如果在某个函数的图象上任取一点，按同样的方式得到的矩形的周长始终是2，这个函数是y=﹣x+1（0＜x＜1）．（写出一个满足条件的函数表达式及自变量的取值范围）【分析】根据矩形的周长公式进行列式计算．【解答】解：答案不唯一，如y=﹣x+1（0＜x＜1），y=﹣x﹣1（﹣1＜x＜0），y=x+1（﹣1＜x＜0），y=x﹣1（0＜x＜1）．故答案可以是：如y=﹣x+1（0＜x＜1）．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和反比例函数系数k的几何意义．解题时需要掌握矩形的周长的计算方法．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）23．解不等式组．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①，得x＜﹣2．解不等式②，得x＜1．故不等式组的解集是x＜﹣2．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．24．化简（1﹣）÷．【分析】首先计算括号内的分式，把第二个分式的分子和分母分解因式，然后把除法转化为乘法计算即可．【解答】解：（1﹣）÷=÷==．【点评】本题考查了分式的混合运算，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．25．如图，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC的外心，连接AD、CD．将△ADC绕点A顺时针旋转到△AEB，连接ED．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）连接BD，判断四边形AEBD的形状并证明．【分析】（1）由旋转性质可得∠DAE=∠CAB、AE=AD，结合AB=AC根据=且∠DAE=∠CAB可证得；（2）由三角形外心可得DB=DA=DC，结合△ADC≌△AEB知DB=DA=BE=AE，即可判定四边形AEBD的形状．【解答】证明：（1）∵△ADC绕点A顺时针旋转得到△AEB，∴△ADC≌△AEB．∴∠BAE=∠CAD，AE=AD．∴∠DAE=∠CAB．∵AB=AC，∴=．∴△AED∽△ABC．（2）四边形AEBD是菱形．∵D是△ABC的外心，∴DB=DA=DC．又∵△ADC≌△AEB，∴AE=AD，BE=DC．∴DB=DA=BE=AE．∴四边形AEBD是菱形．【点评】本题主要考查相似三角形的判定及菱形的判定，熟练掌握旋转的性质及三角形外心的性质是解题的关键．26．如图，转盘上1、2、3、4四个数字分别代表鸡、猴、鼠、羊四种生肖邮票（每种邮票各两枚，鸡年邮票面值"80分"，其它邮票都是面值"1.20元"），转动转盘后，指针每落在某个数字所在扇形一次就表示获得该种邮票一枚．（1）任意转动转盘一次，获得猴年邮票的概率是；（2）任意转动转盘两次，求获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.4元邮资的信件的概率．【分析】（1）根据题意可以求得任意转动转盘一次，获得猴年邮票的概率；（2）根据题意可以写出转动转盘两次，所有可能出现的结果，然后找出符合要求的可能结果，即可求得相应的概率．【解答】解：（1）由题意可得，任意转动转盘一次，获得猴年邮票的概率是，故答案为：；（2）∵转动转盘两次，所有可能出现的结果有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共有16种，它们出现的可能性相同，∴所有的结果中，满足"转动转盘两次，获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.4元邮资的信件"（记为事件A）的结果有9种，所以P（A）=，即任意转动转盘两次，获得的两枚邮票可以邮寄一封需2.4元邮资的信件的概率是．【点评】本题考查列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，可以算出相应事件发生的可能性和发生的所有可能性，会计算相应的事件的概率．27．某校九年级共有450名学生，为了了解该年级学生的数学解题能力情况，该校数学兴趣小组随机抽取了90人进行调查分析，并将抽取的学生的数学解题成绩进行分组，绘制如下频数分布表和成绩分布扇形统计图（图1）：该校90名学生数学解题成绩频数分布表成绩 划记 频数不及格 正 9及格 正正正 18良好 正正正正正正一 36优秀 正正正正正 27合计  90（1）根据抽样调查的结果，将估计出该校九年级450名学生数学解题成绩情况在图2中绘制成条形统计图：（2）请你结合上述统计的结果，提出一条合理化建议．【分析】（1）用总人数乘以各自所占的百分比，求出不及格、及格、良好和优秀的人数，从而补全统计图；（2）根据所画出的图形，提出一条合理化建议即可，但答案不唯一．【解答】解：（1）不及格的人数是：450×10%=45（人）；及格的人数是：450×20%=90（人）；良好的人数是：450×40%=180（人）；优秀的人数是：450×30%=135（人）；画图如下：（2）如该校九年级学生解题能力整体较好，但仍有约45名同学不及格，提议该校九年级仍需加强对这部分学生的训练．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．28．已知二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象经过点（0，3）．（1）求a的值；（2）将该函数的图象沿y轴翻折，求翻折后所得图象的函数表达式．【分析】（1）代入（0，3）点，根据待定系数法即可求得；（2）根据抛物线的解析式求得顶点坐标，然后求得翻折后图象的顶点坐标，设成顶点式，代入（0，3），根据待定系数法即可求得．【解答】解：（1）∵二次函数y=ax2﹣4ax+3a的图象经过点（0，3），∴3=3a．解得a=1．（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1．∴图象的顶点坐标为（2，﹣1）．∴翻折后图象的顶点坐标为（﹣2，﹣1）．设新函数的表达式为y=b（x+2）2﹣1．由题意得新函数的图象经过点（0，3），∴3=b22﹣1．解得b=1．∴新函数的表达式为y=（x+2）2﹣1（或y=x2+4x+3）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，对折的性质以及二次函数的性质，求得对折后的顶点坐标是解题的关键．29．如图，物理实验室有一单摆在左右摆动，摆动过程中选取了两个瞬时状态，从C处测得E、F两点的俯角分别为∠ACE=α，∠BCF=β，这时点F相对于点E升高了acm．求该摆绳CD的长度．（用含a、α、β的式子表示）【分析】过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，根据直角三角形的解法解答即可．【解答】解：分别过点E、F作EG⊥CD，FH⊥CD，垂足分别为G、H，设摆绳CD的长度为xcm．则CE=CF=xcm．由题意知：HG=a，∠CEG=α，∠CFH=β．在Rt△CEG中，sin∠CEG=，∴CG=CEsin∠CEG=xsinα，在Rt△CFH中，sin∠CFH=，∴CH=CFsin∠CFH=xsinβ．∵HG=CG﹣CH，∴xsinα﹣xsinβ=a，解得x=．答：摆绳CD的长度为cm．【点评】此题主要考查了解直角三角形中俯角问题的应用，根据锐角三角函数的关系得出CG与CH的长是解题关键．30．某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，第1档次（最低档次）的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．若要使一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．【分析】设该产品的质量档次为x，则每件利润为6+2（x﹣1），一天的产量为95﹣5（x﹣1），根据要使一天的总利润为1120元，列出方程求解．【解答】解：设该产品的质量档次为x，则每件利润为6+2（x﹣1），一天的产量为95﹣5（x﹣1），由题意得，[6+2（x﹣1）][95﹣5（x﹣1）]=1120，整理得，（x+2）（20﹣x）=112，解得：x1=6，x2=12（不合题意，舍去）．答：该产品的质量档次是6．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程求解．31．如图，在正方形ABCD中，E是边CD的中点．（1）用直尺和圆规作⊙O，使⊙O经过点A、B、E（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若正方形ABCD的边长为2，求（1）中所作⊙O的半径．【分析】（1）连接AE，分别作出AE，AB的垂直平分线，进而得到交点，即为圆心，求出答案；（2）根据题意首先得出四边形AFE′D是矩形，进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：（1）如图1所示：⊙O即为所求．（2）如图2，在（1）中设AB的垂直平分线交AB于点F，交CD于点E′．则AF=AB=1，∠AFE′=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠FAD=∠D=90°，∴四边形AFE′D是矩形，∴E′F=AD=2，DE′=AF=1，∴点E′与点E重合，连接OA，设⊙O的半径为r，可得OA=OE=r，∴OF=EF﹣OE=2﹣r，∴在Rt△AOF中，AO2=AF2+OF2，∴r2=12+（2﹣r）2，∴解得：r=，∴⊙O的半径为．【点评】此题主要考查了复杂作图以及勾股定理和矩形的判定与性质等知识，正确应用勾股定理是解题关键．32．小东从甲地出发匀速前往相距20km的乙地，一段时间后，小明从乙地出发沿同一条路匀速前往甲地．小东出发2.5h后，在距乙地7.5km处与小明相遇，之后两人同时到达终点．图中线段AB、CD分别表示小东、小明与乙地的距离y（km）与小东所用时间x（h）的关系．（1）求线段AB、CD所表示的y与x之间的函数表达式；（2）小东出发多长时间后，两人相距16km？【分析】（1）分别利用A，B和（2.5，7.5），D点坐标求出函数解析式得出答案；（2）利用①当0≤x＜1.6时，②当1.6≤x＜2.5时，y1﹣y2=16，③当2.5≤x≤4时，分别得出x的值进而得出答案．【解答】解：（1）设线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1=kx+b，由图象可知，函数图象经过点（0，20）、（2.5，7.5）．得，解得：，所以线段AB所表示的y与x之间的函数表达式为y1=﹣5x+20．令y1=0，得x=4．所以B点的坐标为（4，0）．所以D点的坐标为（4，20）．设线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2=mx+n，因为函数图象经过点（4，20）、（2.5，7.5）．得，解得：，所以线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为：y2=x﹣；（2）线段CD所表示的y与x之间的函数表达式为y2=x﹣，令y2=0，得x=1.6．即小东出发1.6h后，小明开始出发．①当0≤x＜1.6时，y1=16，即﹣5x+20=16，解得：x=0.8，②当1.6≤x＜2.5时，y1﹣y2=16，即﹣5x+20﹣（x﹣）=16，解得：x=1.3（舍去）③当2.5≤x≤4时，y2﹣y1=16，即x﹣﹣（﹣5x+20）=16，解得：x=3.7．答：小东出发0.8h或3.7h后，两人相距16km．【点评】本题考查了一次函数的应用以及待定系数求一次函数解析式，解决本题的关键是利用分类讨论法得出x的值．33．在平面几何的学习过程中，我们经常会研究角和线之间的关系．（1）如图①，直线a、b被直线c所截，交点分别为A、B．当∠1、∠2满足数量关系∠1+∠2=180°时，a∥b；（2）如图②，在（1）中，作射线BC，与直线a的交点为C，当∠3、∠4满足何种数量关系时，AB=AC？证明你的结论；（3）如图③，在（2）中，若∠BAC=90°，AB=2，⊙I为△ABC的内切圆．①求⊙I的半径；②P为直线a上一点，若⊙I上存在两个点M、N，使∠MPN=60°，直接写出AP长度的取值范围．【分析】（1）根据平行线的性质和邻补角的定义即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到∠ACB=∠4，等量代换得到∠ACB=∠3，由等腰三角形的判定即可得到结论；（3）①由（2）得AB=AC，推出△ABC是等腰直角三角形．根据勾股定理得到BC==2，由⊙I为△ABC的内切圆，得到四边形ADIF是正方形．根据切线长定理得到r=AD==2﹣，于是得到结论；②当点P在射线AC上时，得到0≤AP≤2﹣+2﹣，当点P在射线AC的反向延长线上时，得到0≤AP≤2﹣﹣2+．【解答】解：（1）∠1+∠2=180°，故答案为：∠1+∠2=180°；（2）当∠3=∠4时，AB=AC，证明：∵a∥b，∴∠ACB=∠4，又∵∠3=∠4，∴∠ACB=∠3，∴AB=AC；（3）①由（2）得AB=AC，又∵∠BAC=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．∵AB=2，∴AC=2．∴在Rt△ABC中，BC==2．设D、E、F分别为边AB、BC、AC上的切点，连接ID、IE、IF，∵⊙I为△ABC的内切圆，∴ID⊥AB、IE⊥BC、IF⊥AC．∴AD=AF，BD=BE，CE=CF．∵∠BAC=90°，∴四边形ADIF是矩形．∵ID=IF，∴矩形ADIF是正方形．∴r=AD==2﹣．∴⊙I的半径为2﹣；②当点P在射线AC上时，0≤AP≤2﹣+2﹣，当点P在射线AC的反向延长线上时，0≤AP≤2﹣﹣2+．【点评】本题考查了切线的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，内切圆的性质，等腰三角形的判定，等腰直角三角形的性质，证得矩形ADIF是正方形，是解决（3）小题的关键．