资源资源简介：

孝感市云梦县2016年中考数学模拟试卷含答案解析2016年湖北省孝感市云梦县中考数学一模试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列实数中，属于无理数的是（）A．|﹣0.57|B．C．3.14D．2．下列运算正确的是（）A．B．a6÷a2=a3C．（π﹣3）0=1D．（2a）3=6a33．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+（5﹣m）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m≥1C．m＜1D．m≤14．下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．在平面直角坐标系中，将点P（a，b）关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A．（b﹣2，﹣a）B．（b+2，﹣a）C．（﹣a+2，﹣b）D．（﹣a﹣2，﹣b）6．某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内累计的读书时间，如表所示，对于这10个同学的一周累计读书时间，下列说法错误的是（）一周内累计的读书时间（小时） 6 8 10 11人数（个） 1 4 3 2A．众数是8B．中位数是9C．平均数是9D．方差是1.57．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列条件中不能判断△CAB∽△CED的是（）A．∠CDE=∠BB．∠CED=∠AC．D．8．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为（）A．B．C．πD．2π9．如图，点A1，A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为（）A．（4，0）B．（4，0）C．（6，0）D．（6，0）10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③a＞c；④3a+c＞0．其中正确的结论有（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分式方程的解是．12．如图，AB∥CD，FE⊥CD，垂足为E，∠1=40°，则∠2的度数是．13．如图，是一个长方体的三视图（单位：cm），这个长方形的体积是cm3．14．已知a2﹣a﹣1=0，则的值为．15．如图，AB是圆O的直径，C是AB的一个四等分点，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则cos∠MBA=．16．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a2015+a2016=．三、解答题（共8小题，满分72分）17．计算：2sin60°﹣|1﹣|+（）﹣1．18．已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求实数a的值．19．在平面直角坐标系中，已知A（，1），B（2，0），O（0，0），反比例函数y=的图象经过点A．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上．20．九（1）班全体同学根据自己的爱好参加了六个兴趣小组（每个学生必须参加且只参加一个），为了了解学生参加兴趣小组的情况，班主任参加各个兴趣小组的人数进行了统计，绘制成了如图不完整的扇形统计图，已知参加"足球"小组的学生有7人，请解答下列问题：（1）九（1）班共有名学生；（2）若该班参加"吉他"小组与"街舞"小组的人数相同，请你计算，"吉他"小组对应扇形的圆心角的度数；（3）若"足球"兴趣小组7个同学编号为1，2，3，4，5，6，7，把这些号码制成大小相同的号码球，放到A、B、C三个口袋中，A口袋中装有1，2，3三个号码球，B口袋中装4，5两个号码球，C口袋中装6，7两个号码球，从三个口袋中各随机取出1个球，请用列表法或树状图求取出的3个号码球都是奇数的概率．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明．22．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？23．如图，在△ABC中，CA=CB，∠CAB=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AD在线段AB上．（1）试说明CB是⊙O的切线；（2）∠AOC的平分线OE交弧AC于点E，求证：四边形AOCE是菱形；（3）在（2）的条件下，设点M是线段AC上任意一点（不含端点），连接OM，当CM+OM的最小值为4时，求⊙O的半径r的值．24．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求AD的长．（2）求此抛物线的解析式．（3）若点P是此抛物线的对称轴上一动点，点Q是抛物线上的点，以点P、Q、O、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出P、Q的坐标；若不能，请说明理由．2016年湖北省孝感市云梦县中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．下列实数中，属于无理数的是（）A．|﹣0.57|B．C．3.14D．【考点】无理数．【分析】无理数就是无限不循环小数，根据定义即可判断．【解答】解：A、|﹣0.57|=0.57是有限小数，是有理数，选项错误；B、是无理数，选项正确；C、3.14是有限小数，是有理数，选项错误；D、是分数，是有理数，选项错误．故选B．2．下列运算正确的是（）A．B．a6÷a2=a3C．（π﹣3）0=1D．（2a）3=6a3【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方；零指数幂；二次根式的加减法．【分析】根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；零指数幂：a0=1（a≠0）；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，合并同类项，只把系数相加，字母部分不变进行分析即可．【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，故原题计算错误；B、a6÷a2=a4，故原题计算错误；C、（π﹣3）0=1，故原题计算正确；D、（2a）3=8a3，故原题计算错误；故选：C．3．若关于x的一元二次方程x2﹣4x+（5﹣m）=0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m≥1C．m＜1D．m≤1【考点】根的判别式．【分析】由方程有实数根，可得知b2﹣4ac≥0，套入数据得出关于m的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．【解答】解：∵方程x2﹣4x+（5﹣m）=0有实数根，∴b2﹣ac=（﹣4）2﹣4（5﹣m）≥0，解得：m≥1．故选B．4．下列命题：①两点确定一条直线；②两点之间，线段最短；③对顶角相等；④内错角相等；其中真命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】命题与定理．【分析】利于确定直线的条件、线段公理、对顶角的性质及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解答】解：①两点确定一条直线，正确，是真命题；②两点之间，线段最短，正确，是真命题；③对顶角相等，正确，是真命题；④两直线平行，内错角相等，故错误，是假命题；正确的有3个，故选：C．5．在平面直角坐标系中，将点P（a，b）关于原点对称得到点P1，再将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（）A．（b﹣2，﹣a）B．（b+2，﹣a）C．（﹣a+2，﹣b）D．（﹣a﹣2，﹣b）【考点】关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，点的坐标向左平移减，可得答案．【解答】解：由点P（a，b）关于原点对称得到点P1，得P1（﹣a，﹣b），将点P1向左平移2个单位长度得到点P2，则点P2的坐标是（﹣a﹣2，﹣b），故选：D．6．某班组织了一次读书活动，统计了10名同学在一周内累计的读书时间，如表所示，对于这10个同学的一周累计读书时间，下列说法错误的是（）一周内累计的读书时间（小时） 6 8 10 11人数（个） 1 4 3 2A．众数是8B．中位数是9C．平均数是9D．方差是1.5【考点】方差；加权平均数；中位数；众数．【分析】根据众数、中位数、方差、平均数的概念求解．【解答】解：众数是8，中位数是9，平均数==9，方差==3.4，故选D．7．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AC、BC上，下列条件中不能判断△CAB∽△CED的是（）A．∠CDE=∠BB．∠CED=∠AC．D．【考点】相似三角形的判定．【分析】由相似三角形的判定方法得出选项A、B、C能判断△CAB∽△CED，选项D不能判断△CAB∽△CED；即可得出结果．【解答】解：A、∵∠CDE=∠B，∠C=∠C，∴△CAB∽△CED，∴选项A能判断△CAB∽△CED；B、∵∠CED=∠A，∠C=∠C，∴△CAB∽△CED，∴选项B能判断△CAB∽△CED；C、∵，∠C=∠C，∴△CAB∽△CED，∴选项C能判断△CAB∽△CED；D、由，∠C=∠C，不能判断△CAB∽△CED；故选：D．8．如图，在扇形OAB中，∠AOB=90°，点C是上的一个动点（不与A，B重合），OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D，E．若DE=1，则扇形OAB的面积为（）A．B．C．πD．2π【考点】扇形面积的计算．【分析】连接AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长．利用勾股定理、OA=OB，且∠AOB=90°，可以求得该扇形的半径．【解答】解：连接AB，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴D、E分别为BC、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴AB=2DE=2．又∵在△OAB中，∠AOB=90°，OA=OB，∴OA=OB=AB=，∴扇形OAB的面积为：=．故选A．9．如图，点A1，A2依次在y=（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为（）A．（4，0）B．（4，0）C．（6，0）D．（6，0）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质．【分析】由于△A1OB1等边三角形，作A1C⊥OB1，垂足为C，由等边三角形的性质求出A1C=OC，设A1的坐标为（m，m），根据点A1是反比例函数y=（x＞0）的图象上的一点，求出BO的长度；作A2D⊥B1B2，垂足为D．设B1D=a，由于，△A2B1B2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点A2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出B2点的坐标．【解答】解：作A1C⊥OB1，垂足为C，∵△A1OB1为等边三角形，∴∠A1OB1=60°，∴tan60°==，∴A1C=OC，设A1的坐标为（m，m），∵点A1在y=（x＞0）的图象上，∴mom=4，解得m=2，∴OC=2，∴OB1=4，作A2D⊥B1B2，垂足为D．设B1D=a，则OD=4+a，A2D=a，∴A2（4+a，a）．∵A2（4+a，a）在反比例函数的图象上，∴代入y=，得（4+a）oa=4，化简得a2+4a﹣4=0解得：a=﹣2±2．∵a＞0，∴a=﹣2+2．∴B1B2=﹣4+4，∴OB2=OB1+B1B2=4，所以点B2的坐标为（4，0）．故选B．10．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0；②当x＞2时，y＞0；③a＞c；④3a+c＞0．其中正确的结论有（）A．①②B．①④C．①③④D．②③④【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=2对应y值的正负判断即可．【解答】解：①由二次函数图象开口向上，得到a＞0；与y轴交于负半轴，得到c＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，则b＜0，故abc＞0，②根据对称轴为x=1，以及抛物线与x轴负半轴交点可得A点横坐标＞2，因此当x＞2时，y＞0不正确；③由①分析可得a＞0，c＜0，因此a＞c；④∵x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，把b=﹣2a代入得：3a+c＞0；故选：C．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）11．分式方程的解是x=﹣1．【考点】分式方程的解．【分析】根据解分式方程的方法可以求得分式方程的解，记住最后要进行检验，本题得以解决．【解答】解：方程两边同乘以2x（x﹣3），得x﹣3=4x解得，x=﹣1，检验：当x=﹣1时，2x（x﹣3）≠0，故原分式方程的解是x=﹣1，故答案为：x=﹣1．12．如图，AB∥CD，FE⊥CD，垂足为E，∠1=40°，则∠2的度数是50°．【考点】平行线的性质．【分析】首先根据垂直的定义求出∠D的度数，再根据两直线平行，同位角相等求出∠2的度数．【解答】解：∵FE⊥CD，垂足为E，∠1=40°，∴∠D=90°﹣∠1=90°﹣40°=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠D=50°，故答案为50°．13．如图，是一个长方体的三视图（单位：cm），这个长方形的体积是16cm3．【考点】由三视图判断几何体．【分析】根据三视图我们可以得出这个几何体应该是个长方体，它的体积应该是2×2×4=16cm3．【解答】解：该几何体的主视图以及左视图都是相同的矩形，俯视图也为一个矩形，可确定这个几何体是一个长方体，依题意可求出该几何体的体积为2×2×4=16cm3．答：这个长方体的体积是16cm3．故答案为：16．14．已知a2﹣a﹣1=0，则的值为1．【考点】分式的化简求值．【分析】因为a2﹣a﹣1=0，所以可得a2=a+1，再代入要求的分式达到降次，即可求出问题答案．【解答】解：∵a2﹣a﹣1=0，∴a2=a+1，原式=，=，=，=1，故答案为：1．15．如图，AB是圆O的直径，C是AB的一个四等分点，过C作AB的垂线交圆O于M，N两点，连结MB，则cos∠MBA=．【考点】圆周角定理；特殊角的三角函数值．【分析】首先连接OM，由已知易得∠BOM=60°，继而可得△OBM是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：连接OM，∵AB是圆O的直径，C是AB的一个四等分点，∴OC=OM，∵MN⊥AB，∴cos∠BOM==，∴∠BOM=60°，∵OB=OM，∴△OBM是等边三角形，∴∠MBA=60°，∴cos∠MBA=．故答案为：．16．古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1，第二个三角数记为a2…，第n个三角数记为an，计算a1+a2，a2+a3，a3+a4，…由此推算a2015+a2016=20162．【考点】规律型：数字的变化类．【分析】先求出a1+a2，a2+a3，a3+a4，的值，根据规律可以推算a2015+a2016．【解答】解：∵a1+a2=4=22，a2+a3=9=32，a3+a4=16=42，…由此推算由此推算a2015+a2016=20162故答案为20162．三、解答题（共8小题，满分72分）17．计算：2sin60°﹣|1﹣|+（）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣（﹣1）+4=﹣+1+4=5．18．已知x2+（a+3）x+a+1=0是关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根为x1，x2，且x12+x22=10，求实数a的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】（1）先计算判别式，再进行配方得到△=（a+1）2+4，然后根据非负数的性质得到△＞0，再利用判别式的意义即可得到方程总有两个不相等的实数根；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，再利用完全平方公式由x12+x22=10得（x1+x2）2﹣2x1x2=10，则（a+3）2﹣2（a+1）=10，然后解关于a的方程即可．【解答】（1）证明：△=（a+3）2﹣4（a+1）=a2+6a+9﹣4a﹣4=a2+2a+5=（a+1）2+4，∵（a+1）2≥0，∴（a+1）2+4＞0，即△＞0，∴方程总有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得x1+x2=﹣（a+3），x1x2=a+1，∵x12+x22=10，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=10，∴（a+3）2﹣2（a+1）=10，整理得a2+4a﹣3=0，解得a1=﹣2+，a2=﹣2﹣，即a的值为﹣2+或﹣2﹣．19．在平面直角坐标系中，已知A（，1），B（2，0），O（0，0），反比例函数y=的图象经过点A．（1）求k的值；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转60°，得到△COD，其中点A与点C对应，点B与点D对应，试判断点D是否在该反比例函数的图象上．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-旋转．【分析】（1）根据反比例函数y=的图象经过点A（，1），可以求得k的值；（2）根据题目中信息可以画出旋转后的图形，然后求出点D的坐标，即可判断点D是否在该函数的图象上，本题得以解决．【解答】解：（1）∵反比例函数y=的图象经过点A（，1），∴，得k=，即k的值是；（2）∵B（2，0）∴OB=2又∵△AOB绕点O逆时针旋转60°得到△COD∴OD=OB=2，∠BOD=60°，如右图所示，过点D作DE⊥x轴于点E，在Rt△DOE中，OE=ODocos60°=，DE=ODosin60°=，∴D点坐标是（1，），由（1）知，反比例函数的解析式，当x=1时，，∴点D（1，）在该反比例函的图象上．20．九（1）班全体同学根据自己的爱好参加了六个兴趣小组（每个学生必须参加且只参加一个），为了了解学生参加兴趣小组的情况，班主任参加各个兴趣小组的人数进行了统计，绘制成了如图不完整的扇形统计图，已知参加"足球"小组的学生有7人，请解答下列问题：（1）九（1）班共有50名学生；（2）若该班参加"吉他"小组与"街舞"小组的人数相同，请你计算，"吉他"小组对应扇形的圆心角的度数；（3）若"足球"兴趣小组7个同学编号为1，2，3，4，5，6，7，把这些号码制成大小相同的号码球，放到A、B、C三个口袋中，A口袋中装有1，2，3三个号码球，B口袋中装4，5两个号码球，C口袋中装6，7两个号码球，从三个口袋中各随机取出1个球，请用列表法或树状图求取出的3个号码球都是奇数的概率．【考点】列表法与树状图法；扇形统计图．【分析】（1）首先设共有x人，然后由题意可得14%x=7，继而求得答案；（2）首先设参加"吉他"小组与"街舞"小组的人所占百分比为a，可得2a+14%+20%+20%+26%=1，继而求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取出的3个号码球都是奇数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）设共有x人，14%x=7，解得：x=50；故答案为：50；（2）设参加"吉他"小组与"街舞"小组的人所占百分比为a，则2a+14%+20%+20%+26%=1，∴a=10%，故"吉他"小组对应扇形的圆心θ=10%×360°=36°；（3）树状图：如图所示∵由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有12种，这些结果出现的可能性相等．其中3个号码都是奇数的结果有：157和357两种．∴P（3个奇数）==．21．如图，在△ABC中，AB=AC，∠DAC是△ABC的一个外角．实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作∠DAC的平分线AM；（2）作线段AC的垂直平分线，与AM交于点F，与BC边交于点E，连接AE，CF．猜想并证明：判断四边形AECF的形状并加以证明．【考点】作图-复杂作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】先作以个角的交平分线，再作线段的垂直平分线得到几何图形，由AB=AC得∠ABC=∠ACB，由AM平分∠DAC得∠DAM=∠CAM，则利用三角形外角性质可得∠CAM=∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质得OA=OC，∠AOF=∠COE，于是可证明△AOF≌△COE，所以OF=OE，然后根据菱形的判定方法易得四边形AECF的形状为菱形．【解答】解：如图所示，四边形AECF的形状为菱形．理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵AM平分∠DAC，∴∠DAM=∠CAM，而∠DAC=∠ABC+∠ACB，∴∠CAM=∠ACB，∴EF垂直平分AC，∴OA=OC，∠AOF=∠COE，在△AOF和△COE中，∴△AOF≌△COE，∴OF=OE，即AC和EF互相垂直平分，∴四边形AECF的形状为菱形．22．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元．（1）按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；（2）设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．【分析】（1）本题首先找出题中的等量关系即甲种原料不超过360千克，乙种原料不超过290千克，然后列出不等式组并求出它的解集．由此可确定出具体方案．（2）根据题意列出y与x之间的函数关系式，利用一次函数的增减性和（1）得到的取值范围即可求得最大利润．【解答】解：（1）设生产A种产品x件，那么B种产品（50﹣x）件，则：，解得：30≤x≤32，∵x为正整数，∴x=30、31、32，依x的值分类，可设计三种方案：①安排A种产品30件，B种产品20件；②安排A种产品31件，B种产品19件；③安排A种产品32件，B种产品18件．（2）设安排生产A种产品x件，那么利润为：y=700x+1200（50﹣x），整理得：y=﹣500x+60000，∵x=﹣500＜0，∴y随x的增大而减小，x=30、31、32，∴当x=30时，对应方案的利润最大，y=﹣500×30+60000=45000，最大利润为45000元．∴当安排A种产品30件，B种产品20件，对应方案的利润最大，最大利润为45000元．23．如图，在△ABC中，CA=CB，∠CAB=30°，⊙O经过点C，且圆的直径AD在线段AB上．（1）试说明CB是⊙O的切线；（2）∠AOC的平分线OE交弧AC于点E，求证：四边形AOCE是菱形；（3）在（2）的条件下，设点M是线段AC上任意一点（不含端点），连接OM，当CM+OM的最小值为4时，求⊙O的半径r的值．【考点】圆的综合题．【分析】（1）首先连接OC，由在△ABC中，CA=CB，∠CAB=30°，易得∠ACB=120°，∠ACO=30°，继而证得结论；（2）由∠CAB=30°，易证得△AOE和△COE是等边三角形，即可得AO=OC=CE=EA，继而证得四边形AOCE是菱形；（3）首先由（2）易得O、E两点关于AC对称，然后连接MO，ME，则MO=ME，过M点作MF⊥OC，垂足为F，可得当当E、M、F三点共线时，CM+OM有最小值，继而求得答案．【解答】（1）证明：如图1，连接OC，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，又∵CA=CB，∠CAB=30°，∴∠ACB=120°，∴∠OCB=∠ACB﹣∠OCA=120°﹣30°=90°，∴CB⊥CO，即CB是⊙O的切线；（2）证明：∵OA=OC，∠CAB=30°，∴∠AOC=120°，又∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=∠COE=60°，又∵OA=OE=OC，∴△AOE和△COE都是等边三角形，∴AO=OC=CE=EA∴四边形AOCE是菱形；（3）解：由（2）知：四边形AOCE是菱形，∴OE与AC互相垂直且平分，∴O、E两点关于AC对称，连接MO，ME，则MO=ME，过M点作MF⊥OC，垂足为F，在Rt△MFC中，∠MCF=30°，∴MF=CM，∴CM+OM=MF+ME≥EF，即当E、M、F三点共线时，CM+OM有最小值，最小值是EF=4，在Rt△OEF中，EF=OEsin∠EOF，即4=ro，∴r=8．24．如图，矩形的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标（10，8），沿直线OD折叠矩形，使点A正好落在BC上的E处，抛物线y=ax2+bx+c经过O、A、E三点．（1）求AD的长．（2）求此抛物线的解析式．（3）若点P是此抛物线的对称轴上一动点，点Q是抛物线上的点，以点P、Q、O、D为顶点的四边形能否成为平行四边形？若能，求出P、Q的坐标；若不能，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由矩形的性质，得到A（10，0），C（0，8），再由折叠可知：AD=ED，OA=OE=10，最后用勾股定理计算即可；（2）由抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点是O（0，0）、A（10，0）用交点式设解析式，用待定系数法即可；（3）以点P、Q、O、D为顶点的四边形能成为平行四边形，分两种情况讨论：①若OD是平行四边形的对角线，判断出点P一定是抛物线的顶点②OD是平行四边形的一条边．利用平行四边形的对边平行且相等，即可．【解答】解：（1）∵点B的坐标为（10，8），由矩形的性质，得A（10，0），C（0，8）由折叠可知：AD=ED，OA=OE=10在Rt△OCE中，CE2=OE2﹣OC2=102﹣82=36∴CE=6∴E点坐标为（6，8）设AD的长是m，则ED=m在Rt△BED中，ED2=BE2+BD2∴m2=（10﹣6）2+（8﹣m）2解得：m=5，即AD的长是5．（2）∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点是O（0，0）、A（10，0）∴可设抛物线的解析式是y=ax（x﹣10）又∵抛物线y=ax2+bx+c过点E（6，8）∴8=a×6×（6﹣10），∴a=﹣，抛物线的解析式是y=﹣x2+x，（3）能成为平行四边形．①若OD是平行四边形的对角线时：由于抛物线的对称轴经过OD的中点，∴当平行四边形OPDQ的顶点P在抛物线的对称轴上时，点Q也在抛物线的对称轴上，又点Q在抛物线上，故点P一定是抛物线的顶点．∴Q（5，）又因为平行四边形的对角线互相平分，所以，线段PQ必被OD的中点（5，）平分∴P（5，﹣），此时P（5，﹣），Q（5，）②若OD是平行四边形的一条边时：在平行四边形ODPQ中，OD∥PQ且OD=PQ设P（5，m），则Q（5﹣10，m﹣5）将Q（5﹣10，m﹣5）代入抛物线解析式中，解得m=﹣20∴P（5，﹣20），Q（﹣5，﹣25）在平行四边形ODQP中，OD∥PQ且OD=PQ设P（5，m），则Q（10+5，5+m）将（10+5，5+m）代入抛物线解析式中，解得m=﹣30∴P（5，﹣30），Q（15，﹣25），综上：符合条件的点P、Q有3对，即P（5，﹣），Q（5，）；P（5，﹣20），Q（﹣5，﹣25）；P（5，﹣30），Q（15，﹣25）．2016年7月4日