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免费《等腰三角形与直角三角形》|2017年中考数学热身训练含考点分类汇编详解等腰三角形与直角三角形一、选择题1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A．30° B．40° C．45° D．36°2．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里二、填空题3．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=度．8．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为度．9．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为．10．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是．三、解答题11．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．12．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定："小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h"，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有"车速检测仪O"，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．（1）试求该车从A点到B点的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．13．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．14．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）等腰三角形与直角三角形参考答案与试题解析一、选择题1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A等于（）A．30° B．40° C．45° D．36°【考点】等腰三角形的性质．【分析】题中相等的边较多，且都是在同一个三角形中，因为求"角"的度数，将"等边"转化为有关的"等角"，充分运用"等边对等角"这一性质，再联系三角形内角和为180°求解此题．【解答】解：∵BD=AD∴∠A=∠ABD∵BD=BC∴∠BDC=∠C又∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A∴∠C=∠BDC=2∠A∵AB=AC∴∠ABC=∠C又∵∠A+∠ABC+∠C=180°∴∠A+2∠C=180°把∠C=2∠A代入等式，得∠A+2o2∠A=180°解得∠A=36°故选：D．【点评】本题反复运用了"等边对等角"，将已知的等边转化为有关角的关系，并联系三角形的内角和及三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质求解有关角的度数问题．2．一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（）A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里【考点】等边三角形的判定与性质；方向角．【专题】应用题．【分析】由已知可得△ABC是等边三角形，从而不难求得AC的距离．【解答】解：由题意得∠ABC=60°，AB=BC∴△ABC是等边三角形∴AC=AB=40海里．故选B．【点评】本题主要考查了方向角含义，能够证明△ABC是等边三角形是解题的关键．二、填空题3．等腰三角形的一个角为50°，那么它的一个底角为50°或65°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】已知给出了一个内角是50°，没有明确是顶角还是底角，所以要进行分类讨论，分类后还有用内角和定理去验证每种情况是不是都成立．【解答】解：（1）当这个内角是50°的角是顶角时，则它的另外两个角的度数是65°，65°；（2）当这个内角是50°的角是底角时，则它的另外两个角的度数是80°，50°；所以这个等腰三角形的底角的度数是50°或65°．故答案是：50°或65°．【点评】此题主要考查了三角形的内角和定理及等腰三角形的性质；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=82.5度．【考点】等腰三角形的性质；角平分线的性质．【分析】由已知根据等腰三角形的性质易得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形外角的性质求即可解．【解答】解：∵AB=AC，∠A=50°∴∠ABC=∠C==65°又BD为∠ABC的平分线∴∠ABD=32.5°∴∠BDC=50°+32.5°=82.5°．故填82.5．【点评】本题考查了三角形外角的性质及等腰三角形的性质、角平分线的性质；综合运用各种知识是解答本题的关键．8．已知等腰三角形的一个底角为70°，则它的顶角为40度．【考点】等腰三角形的性质．【专题】计算题．【分析】根据三角形内角和是180°和等腰三角形两底角相等，可以求得其顶角的度数．【解答】解：∵等腰三角形的一个底角为70°∴顶角=180°﹣70°×2=40°．故答案为：40．【点评】考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的运用．9．已知等腰三角形的一条腰长是5，底边长是6，则它底边上的高为4．【考点】等腰三角形的性质；勾股定理．【分析】根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理不难求得底边上的高．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一，知：等腰三角形底边上的高也是底边上的中线．即底边的一半是3，再根据勾股定理得：底边上的高为4．故答案为：4【点评】考查等腰三角形的三线合一及勾股定理的运用．10．如图，小雅家（图中点O处）门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔（图中点A处）在她家北偏东60°500m处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是250m．【考点】含30度角的直角三角形；方向角．【专题】应用题．【分析】求出∠AOB，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．【解答】解：∠AOB=90°﹣60°=30°，∵∠ABO=90°，OA=500m，∴AB=OA=250m，故答案为：250m．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．三、解答题11．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，则有两种情况，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系解答．【解答】解：设AB=AC=2X，BC=Y，则AD=CD=X，∵AC上的中线BD将这个三角形的周长分成15和6两部分，∴有两种情况：①当3X=15，且X+Y=6，解得X=5，Y=1，∴三边长分别为10，10，1；②当X+Y=15且3X=6时，解得X=2，Y=13，此时腰为4，根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，而4+4=8＜13，故这种情况不存在．∴腰长是10，底边长是1．【点评】本题考查了等腰三角形和三角形三边关系求解，注意要分两种情况讨论是正确解答本题的关键．12．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定："小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h"，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有"车速检测仪O"，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．（1）试求该车从A点到B点的平均速度；（2）试说明该车是否超过限速．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题．【专题】计算题．【分析】（1）分别在Rt△AOC、Rt△BOC中，求得AC、BC的长，从而求得AB的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度．（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．【解答】解：（1）在Rt△AOC中，AC=OCotan∠AOC=25×tan60°=25m，在Rt△BOC中，BC=OCotan∠BOC=25×tan30°=m，∴AB=AC﹣BC=（m）．∴小汽车从A到B的速度为÷=（m/s）．（2）∵70km/h=m/s=m/s，又∵≈＜，∴小汽车没有超过限速．【点评】此题主要考查学生对方向角的掌握及单位的换算与比较的能力，难易程度适中．13．如图，已知：在直角△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC且交AC于D．（1）若∠BAC=30°，求证：AD=BD；（2）若AP平分∠BAC且交BD于P，求∠BPA的度数．【考点】等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；直角三角形的性质．【专题】几何综合题．【分析】（1）∵∠BAC=30°，BD平分∠ABC且交AC于D，∴∠BAC=∠ABD=30°，∴AD=BD；（2）∵∠BAC与∠ABC互余，则这两角的一半的和为∠BAP+∠ABP=∠APD=45°，而∠APB与∠APD互补，∴∠APB=135°．【解答】（1）证明：∵∠BAC=30°，∠C=90°，∴∠ABC=60°．又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=30°，∴∠BAC=∠ABD，∴BD=AD．（2）解法一：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠BAP=∠BAC，∠ABP=∠ABC，即∠BAP+∠ABP=45°∴∠APB=180°﹣45°=135°．解法二：∵∠C=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∴（∠BAC+∠ABC）=45°．∵BD平分∠ABC，AP平分∠BAC，∠DBC=∠ABC，∠PAC=∠BAC，∴∠DBC+∠PAD=45°．∴∠BPA=∠PDA+∠PAD=∠DBC+∠C+∠PAD=∠DBC+∠PAD+∠C=45°+90°=135°．【点评】本题利用了：1、直角三角形的性质，两锐角互余，2、角的平分线的性质，3、三角形的外角与内角的关系．注意可用不同的解法答题．14．如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）【考点】勾股定理的应用．【分析】因为∠CAD=30°，则AC=2CD，再利用勾股定理求得CD的长，再加上DE的长就求出了树的高度．【解答】解：在Rt△ACD中，∠CAD=30°，AD=3，设CD=x，则AC=2x，由AD2+CD2=AC2，得，32+x2=4x2，x==1.732，所以大树高1.732+1.68≈3.4（米）．【点评】此题主要考查了学生利用勾股定理解实际问题的能力．