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免费《二次函数》2017年中考数学热身训练含考点分类汇编详解二次函数一、选择题1．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＞1 B．﹣2＜x＜4 C．x＜1 D．x＞﹣22．抛物线y=2（x﹣5）（x+3）与x轴两交点之间的距离为（）A．8 B．16 C．5 D．33．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（）A．y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2） C．y=60﹣x2 D．y=60（1+x）24．若抛物线y=x2+8x+h2的顶点在x轴上，则（）A．h=0 B．h=±16 C．h=±4 D．h=45．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则点P（，c）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．如图，函数y=（x﹣1）2+k与（k是非零常数）在同一坐标系中大致图象有可能是（）A． B． C． D．7．把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y=x2﹣2x+1，则b，c的值分别是（）A．b=2，c=﹣2 B．b=﹣6，c=6 C．b=﹣8，c=14 D．b=﹣8，c=188．二次函数y=mx2+（6﹣2m）x+m﹣3的图象如图所示，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m＜3 C．0≤m≤3 D．0＜m＜3二、填空题9．抛物线y=2（x﹣1）（x+2）开口向，顶点坐标为，对称轴方程为．10．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（2，3），且经过点（3，1），则a=，b=，c=．11．二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为．12．已知点（m+1，m2）在函数y=x2+2x的图象上，则m=．13．若抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，则k=．14．将函数y=x2﹣6x+3向上平移6个单位，再向左平移3个单位，就得到函数的图象．15．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且线段OM与ON相等，则a，b，c之间的关系为．三、解答题16．如图是直角坐标中某抛物线的部分图象，请写出抛物线再次与x轴相交时交点的坐标；判断点（﹣3，6）是否在抛物线上，写出判断过程．17．已知抛物线y=x2上有A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，过A作AC∥x轴，交抛物线于C点，试求四边形OABC的面积．18．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，2），若∠ACB=90°，．试求：（1）A、B两点的坐标；（2）二次函数的表达式．19．某学校要在圆形水池的中心点O处安装水管OA=1.25米，要建音乐喷泉，其水流路径呈抛物线型（如图），且在离O点1米处水喷得最高2.25米，要使水流不溅到池外，水池的半径应不少于多少米？20．已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．二次函数参考答案与试题解析一、选择题1．已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（）A．x＞1 B．﹣2＜x＜4 C．x＜1 D．x＞﹣2【考点】H3：二次函数的性质．【分析】a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，利用对称轴公式，先求对称轴，再求符合条件的取值范围．【解答】解：∵a=＞0，抛物线开口向上，对称轴x=﹣=1，∴当x＜1时，y随x的增大而减小．故选C．【点评】抛物线的增减性由对称轴方程和开口方向来判断．2．抛物线y=2（x﹣5）（x+3）与x轴两交点之间的距离为（）A．8 B．16 C．5 D．3【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】由题意令y=0，得方程2（x﹣5）（x+3）=0，求出方程的两根，即为抛物线与x轴的交点，从而求出抛物线与x轴两交点之间的距离．【解答】解：令y=0得方程，2（x﹣5）（x+3）=0，解得x=5或﹣3，∴抛物线y=2（x﹣5）（x+3）与x轴的交点为：（5，0），（﹣3，0），∴抛物线y=2（x﹣5）（x+3）与x轴两交点之间的距离为：|﹣3﹣5|=8，故选A．【点评】此题主要考查抛物线的基本性质，解题的关键是求出抛物线与x轴的交点，把函数的方程结合起来出题，是一种比较好的题型．3．一台机器原价60万元，如果每年的折旧率为x，两年后这台机器的价位为y万元，则y关于x的函数关系式为（）A．y=60（1﹣x）2 B．y=60（1﹣x2） C．y=60﹣x2 D．y=60（1+x）2【考点】HD：根据实际问题列二次函数关系式．【分析】原价为60，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式求得．【解答】解：二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）=60（1﹣x）2，则函数解析式是：y=60（1﹣x）2．故选A．【点评】本题需注意二年后的价位是在一年后的价位的基础上降价的．4．若抛物线y=x2+8x+h2的顶点在x轴上，则（）A．h=0 B．h=±16 C．h=±4 D．h=4【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】顶点在x轴上，可知顶点的纵坐标为0，即可解得h的值．【解答】解：根据题意，抛物线可转化为：y=x2+8x+h2=（x+4）2+h2﹣16，∴顶点坐标为（﹣4，h2﹣16），∵顶点在x轴上，∴h2﹣16=0，∴h=±4，故选C．【点评】本题考查了二次函数系数与顶点关系，是基础题型．5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则点P（，c）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】16：压轴题．【分析】根据抛物线的开口向下可得：a＜0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以＞0，根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c＞0．所以点p（，c）在第一象限．【解答】解：∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左边，∴a，b同号即＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴点p（，c）在第一象限．故选A．【点评】本题难度中等，考查根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围．6．如图，函数y=（x﹣1）2+k与（k是非零常数）在同一坐标系中大致图象有可能是（）A． B． C． D．【考点】H2：二次函数的图象；G2：反比例函数的图象．【分析】利用二次函数和反比例函数性质判断．【解答】解：由函数y=（x﹣1）2+k得对称轴为x=1，所以A，D错．对于选项B，由y=得k＜0，且抛物线与y轴的交点在x轴下方，所以B可存在；对于C选项，从反比例图象得k＞0，而从抛物线得k＜0，所以C错．故选B．【点评】熟练掌握反比例函数的和二次函数的性质．熟悉二次函数的顶点式．7．把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线y=x2﹣2x+1，则b，c的值分别是（）A．b=2，c=﹣2 B．b=﹣6，c=6 C．b=﹣8，c=14 D．b=﹣8，c=18【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】把抛物线y=x2﹣2x+1化为顶点坐标式，再按照"左加右减，上加下减"的规律，向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得抛物线y=x2+bx+c则可．【解答】解：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2向右平移2个单位，再向下平移3个单位得y=（x﹣1﹣2）2﹣3=x2﹣6x+6．所以b=﹣6，c=6．故选B．【点评】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．8．二次函数y=mx2+（6﹣2m）x+m﹣3的图象如图所示，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m＜3 C．0≤m≤3 D．0＜m＜3【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线的开口向上知m＞0，由对称轴在y轴的左侧可与得到x=﹣＜0，由二次函数与y轴交于负半轴可以推出m﹣3＜0，又抛物线与x轴有两个交点（b2﹣4ac＞0），可以得到（6﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，然后利用前面的结论即可确定m的取值范围．【解答】解：∵抛物线的开口向上，∴m＞0，①∵对称轴在y轴的左侧，∴x=﹣＜0，②∵二次函数与y轴交于负半轴，∴m﹣3＜0，③∵抛物线与x轴有两个交点（b2﹣4ac＞0），∴（6﹣2m）2﹣4m（m﹣3）＞0，④，联立①②③④解之得：0＜m＜3．∴m的取值范围是0＜m＜3．故选D．【点评】此题考查了二次函数图象的性质．二、填空题9．抛物线y=2（x﹣1）（x+2）开口向上，顶点坐标为，对称轴方程为．【考点】H3：二次函数的性质．【分析】将抛物线的交点式转化为顶点式，可确定抛物线的开口方向，顶点坐标及对称轴方程．【解答】解：∵y=2（x﹣1）（x+2）=2x2+2x﹣4=2（x+）2﹣∴a=2＞0，抛物线开口向上，顶点坐标为（﹣，﹣），对称轴为直线x=﹣．【点评】本题考查了抛物线解析式三种形式的变形方法，其中，顶点式可直接判断抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴，最大（小）值，函数的增减性．10．抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是（2，3），且经过点（3，1），则a=﹣2，b=8，c=﹣5．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】已知抛物线的顶点坐标，设顶点式y=a（x﹣2）2+3，将点（3，1）代入求a，将顶点式化为一般式，可确定a、b、c的值．【解答】解：顶点式y=a（x﹣2）2+3，将点（3，1）代入得，a（3﹣2）2+3=1，解得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣2）2+3，即y=﹣2x2+8x﹣5，∴a=﹣2，b=8，c=﹣5．【点评】本题考查了待定系数法求抛物线解析式的一般方法，需要根据题目条件，合理地选择解析式．11．二次函数y=x2﹣4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，△ABC的面积为3．【考点】HF：二次函数综合题；H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】由二次函数y=x2﹣4x+3求出A、B两点的x轴坐标，再求出C点的y轴坐标，根据面积公式就解决了．【解答】解：由表达式y=x2﹣4x+3=（x﹣1）×（x﹣3），则与x轴坐标为：A（1，0），B（3，0），令x=0，得y=3，即C（0，3）∴△ABC的面积为：．【点评】此题考查二次函数和三角形的基本性质，求出三点坐标后问题就解决了．12．已知点（m+1，m2）在函数y=x2+2x的图象上，则m=．【考点】H5：二次函数图象上点的坐标特征．【分析】将点（m+1，m2）代入函数y=x2+2x中，解方程求m．【解答】解：依题意，得（m+1）2+2（m+1）=m2，解得m=﹣．【点评】本题考查了函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，函数图象上的点的坐标满足函数解析式．13．若抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，则k=﹣1．【考点】H7：二次函数的最值．【专题】16：压轴题．【分析】本题考查二次函数最大（小）值的求法，利用公式法直接解答．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+4x+k的最大值为3，∴=3，∴k=﹣1．【点评】求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．14．将函数y=x2﹣6x+3向上平移6个单位，再向左平移3个单位，就得到函数y=x2的图象．【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】由于抛物线向上平移6个单位，再向左平移3个单位，则x'=x﹣3，y'=y+6，代入原抛物线方程即可得平移后的方程．【解答】解：由题意得：，代入原抛物线方程得：y'﹣6=（x'+3）2﹣6（x'+3）+3，整理得：y=x2．【点评】本题考查了二次函数图象的几何变换，重点是找出平移变换的关系．15．函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，且线段OM与ON相等，则a，b，c之间的关系为ac﹣b+1=0．【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】点N坐标为（0，c），由线段OM与ON相等，以及点M、N的位置可知点M坐标为（﹣c，0），将点M坐标代入抛物线解析式即可．【解答】解：∵线段OM与ON相等，点N坐标为（0，c），∴点M坐标为（﹣c，0），将点M坐标代入抛物线解析式，a（﹣c）2+b（﹣c）+c=0，∵c≠0，解得：ac﹣b+1=0．【点评】本题考查了抛物线上点的坐标的关系，点的坐标与函数解析式的关系．三、解答题16．（9分）如图是直角坐标中某抛物线的部分图象，请写出抛物线再次与x轴相交时交点的坐标；判断点（﹣3，6）是否在抛物线上，写出判断过程．【考点】HA：抛物线与x轴的交点．【分析】由图象可知：抛物线的对称轴是直线x=1，根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标；把x=﹣3代入抛物线求出y值正好是6，可判断它就在抛物线上．【解答】解：由图象可知：抛物线与x轴的一个交点是（3，0），对称轴是直线x=1，根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标是（﹣1，0）；由顶点式可设抛物线为：y=a（x﹣1）2﹣2把点（3，0）代入可求出a=∴抛物线为，当x=﹣3时，y=×（﹣6）×（﹣2）=6∴点（﹣3，6）在抛物线上．【点评】数形结合，根据二次函数的性质作出正确的判断．17．（10分）（2012秋o宁德校级月考）已知抛物线y=x2上有A、B两点，A点横坐标为﹣1，B点横坐标为2，过A作AC∥x轴，交抛物线于C点，试求四边形OABC的面积．【考点】HF：二次函数综合题．【专题】15：综合题．【分析】由图可知四边形OABC的面积为三角形AOC与三角形ABC的面积和，由题中的条件很容易便求的A、B、C的坐标，三角形OAC的面积为是以AC为底，A到x轴的纵坐标为高的乘积求得，三角形ABC的面积为以AC为底B到AC的距离为高求得．【解答】解：∵A、B、C均在抛物线y=x2上，A点的横坐标为﹣1，B的横坐标为2，AC∥x轴，∴C点的横坐标为1，AC长为2，B点的纵坐标为4，A、C点的总坐标为1，∴B到AC的距离为3，∴△ACO的面积为：×|AC|×1=1，△ACB的面积为：×3×|AC|=3，所以四边形ABCO的面积为△ACO的面积+△ACB的面积=1+3=4．【点评】本题考查的是二次函数在几何题中的应用，数形结合，很容易便可解题．18．（2015秋o当涂县校级期中）如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C（0，2），若∠ACB=90°，．试求：（1）A、B两点的坐标；（2）二次函数的表达式．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式．【分析】（1）根据题意可知，BC=，OC=2，由勾股定理可求OB，再由△AOC∽△COB，利用相似比求OA，可确定A、B两点坐标；（2）根据A、B两点坐标，设抛物线解析式的交点式，将C（0，2）代入求a即可．【解答】解：（1）在Rt△OBC中，BC=，OC=2，由勾股定理得OB==1，由△AOC∽△COB，得=，即=，解得AO=4，∴A（﹣4，0），B（1，0）；（2）∵抛物线与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，∴设抛物线解析式y=a（x+4）（x﹣1），将C（0，2）代入解得a=﹣，∴y=﹣（x+4）（x﹣1），即y=﹣x2﹣x+2．【点评】本题考查了点的坐标的求法．根据抛物线上点的坐标的特点，合理地选择抛物线解析式，能使求解更简便．19．某学校要在圆形水池的中心点O处安装水管OA=1.25米，要建音乐喷泉，其水流路径呈抛物线型（如图），且在离O点1米处水喷得最高2.25米，要使水流不溅到池外，水池的半径应不少于多少米？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】要使水流不溅到池外，则表现在坐标系上为半径即使抛物线与x轴的交点的最小值，以右半边的抛物线为例，由顶点坐标（1，2.25），与y轴的交点（0，1.25）可求出此抛物线的解析式，再求其与x轴的交点即可．【解答】解：∵如图可知：抛物线的顶点坐标为（1，2.25），∴设y=a（x﹣1）2+2.25，∵抛物线过（0，1.25），代入y=a（x﹣1）2+2.25，得：a=﹣1．则函数的解析式是y=﹣（x﹣1）2+2.25，当y=0时，﹣（x﹣1）2+2.25=0，解得：x=2.5或﹣0.5（舍去）．∴要使水流不溅到池外，水池的半径应不少于2.5米．【点评】本题考查的二次函数在实际生活中的应用，比较简单，注意数形结合．20．（2006o旅顺口区）已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．试在AB上求一点P，使矩形PNDM有最大面积．【考点】HF：二次函数综合题；LB：矩形的性质．【专题】15：综合题．【分析】要求矩形PNDM的面积，应设DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积为S=xy，再结合已知找出y与x的关系，代入后便可求解．【解答】解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4），易知CN=4﹣x，EM=4﹣y，且有（1分），即，∴y=﹣x+5（2分），S=xy=﹣x2+5x（2≤x≤4），此二次函数的图象开口向下（4分），对称轴为x=5（5分）∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大（6分）对2≤x≤4来说，当x=4，即PM=4时，S有最大值（7分）S最大=﹣×42+5×4=12（8分）．【点评】此题综合考查比例线段、二次函数等知识．解决此题的关键在于在AB上找一点P，转变为求PM、PN的值．