巧用光的折射定律解直线运动中的行程问题

    中学物理教学中常会遇到难度较大和技巧性较强的物理极值问题。极值问题实际上是在一定的条件下寻找解决问题的最佳结果。而学生在遇到这些问题时，往往受思维定势的影响，自觉不自觉地沿用固有的一般的逻辑分析思路，思维显得比较狭窄，方法比较单一，不得其解。例如在直线运动中的行程问题，学生往往用运动学公式求解，而最终以函数极值来处理，使问题变得复杂、繁琐。若能变换思维方式，巧用光的折射定律原理来求解，则可以将问题简化，达到事半功倍的效果。下面笔者结合实例作一些分析。
    由几何光学知：在两种不同的均匀媒质中，光沿遵循折射定律（ ）的路径传播最省时（因为光总是选择用时最短的路径传播）。这样，我们可把行程问题与光程问题联系起来。请看下面的例子。
    例1．我某部拟派一通讯员到离驻地 东北 处的 地执行公务。驻地 临江，要渡过4 宽的河滩以达对岸，然后徒步行至 地。若渡河滩的速度是徒步行走速度的 ，问通讯员从驻地 下岸到对岸何处上岸，能最快到达 地？
    分析：设步行速度 ，则渡河滩的速度是 。
    按常规思路有三种走法：①从 先过河到对岸 ，再去 处（如图1）；②从 、 的最近距离入手，若 、 连线交北岸于 直接按 － － 行走；③从 直接到 再到 行走；还有没有更“好”的走法？怎样走才能最快到过 地。
    若联系光的折射定律，当点光源 ，从空气射入水面 ，经折射点 ，则由光的折射定律得：
    
    其中
    解得： 。
    即沿 － － 所需时间最少。
    例2．如图2所示，一辆小车在轨道 上行驶，速度 ，在轨道以外的平地上行驶的速度 ，在离轨道垂直距离为 处有一仓库 ，有一辆小车从距离 点 的 处行驶到仓库 至少要用多少时间？
    较多学生会直线运动中的运动学公式求解。
   如果我们将运动方向到过来（逆向思维），问题变
   成小车从 点怎样行驶到 点用时最省，这便使
   我们联想到光的折射现象。所以我们设想轨道
   为介质Ⅰ，轨道以外的平地为介质Ⅱ，光从介质Ⅱ
   进入介质Ⅰ，发生折射后沿两种介质的界面传播，即折射角为90°，这正好发生全反射现象，如图3。
    即
    在 中，
    所以
    因此费时：
    例3.如图4， 为海岸线，一人划船在海中 处，他距离海岸最近点 的距离为 ，设此人划船的速度为 ，步行速度为5 ，此人欲以最短时间达距离最近点 为6 的海岸 处，那么他登岸的 点距离最近点 的距离为多少？
    此题的实质是求最省时的路线，而光总是选择最省时的路径传播。设想海水为介质Ⅰ，陆地为介质Ⅱ，则：
    介质Ⅰ相对于介质Ⅱ的折射率为
    
    光从介质Ⅰ到介质Ⅱ的全反射的
    临界角为
    所以入射点 到 的距离为：
    即人从距 为 的 点登陆沿海岸线运动到 右方任一位置，必是最省时的。
    从以上举例可以看到：巧用光的折射定律来解直线运动中的行程问题，可以免去了许多繁琐的推理过程，而使问题的解大为简化，显得干净、利落。同时，亦可拓宽思路、视野和思维方式，提高学生对知识迁移的能力。