④数学实验的步骤

A． 确定实验目的

B． 提出实验要求

C． 选择信息技术工具

D． 开展数学实验

E． 填写实验报告（表9）

F． 实验成果汇报与评价分析

表9 数学实验报告

⑤数学实验与数学教学、学习的关系

数学实验是数学教学与信息技术整合中，教学与学习的一个重要组成部分．它能改进学生的学习方式，促进学生自主地解决问题，并在解决问题的过程中，帮助学生更好地理解数学概念，学会分析问题、解决问题以及应用数学的思想方法，加强学生的学习；它能改进教学方式，由于数学实验的主体是学生，所以在教学过程中，就迫使作为教学主体的教师将教学任务落实在关注学生的学习活动，及时引导学生的学习，对学生的数学实验进行评价等方面上．

⑥数学实验的推广

三年的课题实验表明，教师已自觉地将数学实验引入课堂教学和学生的课外学习中，并显现出良好的教学和学习效果，数学实验在实验学校的开展已日渐成熟，所以数学实验已有推广的价值和条件．一方面，各实验学校已在本校的非实验班进行推广，并受到教师和学生的欢迎；另一方面，应结合数学课程教材的改革，逐渐向非实验学校推广．但是，限于目前不同地区、不同学校教学和学习的信息技术条件，以及教师和学生的差异，要广泛推广还有待时日．

4．如何改进学校的教研

教研是教师成长和学校教学改革与发展的重要保证．云南实验区从一开始就把课题研究与改进学校的教研紧密结合起来．以配合实验学校的教研活动为主，同时也与教研部门合作，通过组织多种形式的教研活动，开展了如何改进学校教研的研究．三年来，各实验学校在这方面积累了丰富的案例，并在案例的基础上进行了广泛的交流，摸索出了一些有利于改进学校教研的经验．其中，下列两种教研形式便对实验教师的专业成长和改进实验过程中的教学起到了关键作用．

（1）同一内容同一实验教师多次教学

我们着重选择传统的重点和难点内容开展这种形式的教研．

例如《整合本》（第一册下）“4.9函数y＝Asin(wx＋j)的图象”这一内容，大家认为既是能充分发挥信息技术作用的内容，又是以往学生学习的一个难点，同时还是离开信息技术教学就不易处理的一个典型．于是，2003年4月大家选择这一内容作为教研的一个重点内容．具体由昆明越秀中学的汤丹老师承担教学任务．这一内容汤老师前后给学生讲了3次，给老师讲了2次，一共讲了5次．

第一次，由汤老师给老师讲．他利用TI-92Plus图形计算器中的几何画板，制作了一个可体现A，w，j的取值分别发生变化则引起函数y＝Asin(wx＋j)的图象发生整体变化的课件（图26）．课堂上，他分别使A，w，j的取值分别发生变化，让学生观察函数图象是怎样变化得．然后引导学生总结A，w，j的变化是如何影响函数图象变化的规律．一般需要3课时的内容，他1节课就将内容过了一遍．

大家经研讨论后认为，这堂课是以教师使用信息技术为主，学生动手不够，教学容量太大，学生无法消化．建议重新设计后再给学生讲．

第二次，由汤老师在甲班给学生讲．这节课他只研究了w，j的变化对函数图象变化的影响．课堂上，他首先让学生利用TI-92Plus图形计算器中的函数作图功能，分别作出A，j取固定值，w取不同值的函数图象．如图27，是A＝1，j＝0，w分别取1，2，0.5的函数图象．通过让学生对所作图象的比较，先体会j的变化是如何影响函数图象的变化．然后，汤老师再利用图1的课件，向学生演示w的变化是如何影响函数图象的变化．然后，用同样的方法研究w的变化对函数图象变化的影响（图28）．

通过对学生的评价发现，学生几乎都能理解“j的符号与函数图象的平移方向的关系”，但仍有部分学生对“j的绝对值与平移的单位长度之间的关系”还不能理解，近一半的学生对“w的数量与函数图象变化的关系”不能理解．

大家研究讨论后认为，应该去掉教师的课件演示活动，给学生更多的时间去探索和思考．

第三次，汤老师按照上次课后研讨的意见进行设计，给老师和甲班评价不合格的部分学生讲．

通过对学生的评价发现，学生对“j的绝对值与平移的单位长度之间的关系”已经能够理解，但仍有学生对“w数量与函数图象变化的关系”不能理解．

大家研究讨论后认为，第三次课学生对“j的绝对值与平移单位之间的关系”能够理解，主要原因是已经学了两次．学生对“w的数量与函数图象变化的关系”仍不能理解，说明还是应该按照《整合本》的分析方法，抓住图象的基本元素点，对图象上的任意两个点进行分析，探索点的坐标与位置的关系．

第四次，汤老师按照第三次课后研讨的意见进行修改，然后给乙班的学生讲．他首先指导学生按照《整合本》，利用几何画板作出图29，并让学生移动A，B两点，同时观察它们横坐标的变化，从中体会j的变化是如何影响函数图象的变化．然后，用同样的方法研究w的变化对函数图象变化的影响．最后，汤老师再利用图1的课件，向学生演示j、w的变化是如何影响函数图象的变化．

通过对学生的评价发现，乙班几乎所有的学生对“j的符号、绝对值与平移的方向、单位长度之间的关系”已经能够理解，绝大部分学生对“w的数量与函数图象变化的关系”也能够理解了．

课后的研讨认为，这是一堂信息技术与数学教学教学成功整合的课，收到了应有的成效．在使用信息技术上，找到了与数学内容的最佳结合点，抓住了问题的本质，从两个基本元素点与坐标的关系入手进行分析，使学生的理解得到加强．最后，教师又能通过图1，让学生形成整体的印象，使学生的认识得到进一步的完善．不过，由于学生使用几何画板还不太熟练，少数学生不能在课堂上作出w对函数图象影响的图，所以影响了对相关问题的理解．

时隔两年，汤老师又在另一所学校的高一年级实验班上了同样内容的一堂公开课，这堂课受到了学生一致的欢迎．

经历了5次课的教学，大家一起发现了问题的本质，找到了合适的教学方法，使学生的学习得到了应有的效果．

（2）同一内容不同实验教师对比教学

我们着重教材的新增内容及《整合本》的数学实验开展这种形式的教研．

通过对比不同实验教师对同一内容的教学，见“三（三）3．数学实验的模式”，教师的视野得到了拓广，学校之间实现了优势互补．对信息技术环境下教材中的部分重点和难点的教学处理，大家有了不同角度的认识．

在结合课题开展课堂教学研究的过程中，对备课、教学、课后研讨三个环节，自始至终都注意专家引领和同行交流的作用．

在备课环节上，有教师个人备课、同行集体备课以及与专家共同备课三种形式．从对使用信息技术教学的36名实验教师和不使用信息技术教学的36名普通教师的问卷调查来看（图30），实验教师更愿意与专家共同备课和同行集体备课两种形式，普通教师更愿意教师个人备课的形式．这说明，信息技术改变了教师传统备课的观念，促进了同行之间以及教师与专家之间的交流．

在教学环节上，上述两种形式的教研成果都离不开同行的交流，同时还渗透着专家的作用．云南实验区定期地请专家进行教材培训、专题讲座、教学示范，极大地发挥了专家在教学实验中引领作用．全国课题组章建跃博士每一阶段对教学实验的引领和总结报告，陶维林、桂思铭、郭慧清、白涛等老师的教学案例分析，陶维林、白涛老师与实验教师的同台教学对比，以及课题组外的专家钱昌本、范登晨老师的教学示范，都给实验教师的教学带来了深远的影响．

在课后研讨环节上，有专家点评、同行集体交流以及专家与同行共同交流三种形式．从对三种研讨形式的问卷调查来看（图31），使用信息技术教学的实验教师和不使用信息技术教学的非实验教师都共同偏向于专家点评，其次是专家与同行共同交流．这说明，无论是否使用信息技术，在教师教学实践之后的反思，都迫切的需要专家的引领．

课题实验不仅通过教学研究积累了丰富的资源和成果，促进了教师的专业化成长，还为实验学校乃至其他非实验学校今后的教研提供了可借鉴的模式．

5．信息技术环境下的高中数学教学设计

教学设计就是教师课前对适合学生的学习过程的计划．根据建构主义的学习理念，教学设计可以包括学习基础、学习内容、学习工具和学习活动四个方面．面对不同的学习基础、学习内容、学习工具和学习活动，教师和学生在学习过程中的作用就不同．但无论怎样，教学过程都要强调学生的“做”，而以问题为中心的教学最能促使学生去“做”．课题实验研究的又一重要方面是，如何设计信息技术环境下以问题为中心的高中数学教学，才能更好地促使学生做数学．这里还是以汤丹老师的“4.9函数y＝Asin(wx＋j)的图象”教学为例．

（1）关于问题的引入

以问题为中心的教学设计首先要解决的就是，应该给学生提出什么样的问题？怎样在课堂中引入这个问题？

在这堂课中，汤丹老师首先做了一个实验，他利用数据采集器和电流传感器测得了电流随时间变化的图象（图32（1）），然后将它放大（图32（2））．做完实验后，针对所得到的图象提出问题，“它和正弦曲线很相似，二者有什么关系？”

汤丹老师选择的这个实际问题，与这堂课的内容密切相关，其中交流电的电流随时间的变化，正体现了正弦型函数图象的变化这一教学的焦点．教师在此熟练地运用了信息技术，测出了电流的图象，并将其放大，学生看到这一过程就被深深地吸引住了．当教师再提出问题时，学生自然就会将正弦函数与他们所学的物理知识建立起联系，求知的动机也就被激发了，于是主动地将注意力集中在问题的解决上．在这一环节上，对信息技术的设计是恰当的，起到了其他工具难以起到的作用；借助信息技术提出的问题对学生具有挑战性，为学生在后面的学习活动中使知识与信息技术互动奠定了基础．

（2）关于学习过程的设计

以问题为中心的教学设计的主要方面是，如何向学生提供一个能让他们主动学习的过程？从汤丹老师5次设计并实施一堂课的教学可以说明：

①学习过程的设计需要教师的精心策划．

②在教学方式和学习方式的设计方面．从教师利用信息技术演示和讲解，学生看和听，经过反思，逐渐变为教师指导学生利用信息技术动手操作研究，而教师利用信息技术的演示和讲解主要放在最后小结，让学生从整体上对图象的变化形成认识上．

③在知识内容方面．从最初研究三个参数A，w，j的变化对函数y＝Asin(wx＋j)图象整体变化的影响，涵盖了3节课的内容，教学容量太大，且以教师讲为主，学生动手不够，学生无法消化；到只研究j、w的变化对函数图象整体变化的影响，学生几乎都能理解“j的符号与函数图象的平移方向的关系”，但仍有部分学生对“j的绝对值与平移的单位长度之间的关系”还不能理解，近一半的学生对“w的数量与函数图象变化的关系”不能理解；最后到抓住图象的基本元素点，对图象上的任意两个点进行分析，探索点的坐标与位置的关系，从而真正发现j、w的变化对函数图象变化的影响．

④在信息技术如何整合到学习过程中，成为学生建构知识时的互动方式方面．从最初只是教师使用信息技术，没能将技术有效地整合到学习过程中，与学生的知识建构形成互动，错过为学生思维训练的设计机会；到学生和教师分别适用不同的技术，使得信息技术逐渐整合到学习过程中，并开始与学生的知识建构互动，使学生的思维得到一定的训练；最后到教师指导学生使用信息技术，以学生使用信息技术学习为主，信息技术真正整合到学习过程中，成为学生建构知识时的互动方式，并且学生的思维得到了较好的训练．

（3）关于帮助学生的问题解决的设计

以问题为中心的教学设计还要关注，如何使信息技术帮助学生的问题解决？在设计中要考虑留给学生足够的课堂时间去思考和探索，使学生把他们对技术和知识的理解整合为一个有机的整体．

从汤丹老师对这堂课设计的多次修改与实践可以看出，前两次的修改都主要是为了解决学生思考和探索的时间不够的问题，第3次修改则是为了帮助学生把对技术和知识的理解整合起来．每修改一次，教师和学生的角色就发生一次变化，最终教师成为了学生学习知识和运用技术的观察者和指导者，而非最初的“垄断者”．经过5次设计和教学，汤丹老师已经将技术完全整合到了学习过程之中，极大地帮助了学生的问题解决．

（4）关于帮助学生调整问题解决策略的设计

以问题为中心的教学设计，还要考虑怎样设计学生使用信息技术的活动，才能促使学生及时得到对他们问题解决策略的反馈，并找到其他策略，从而进行调整，最终获得问题解决的结果？从汤丹老师的几次设计和教学可以看出，他第1次的设计没有考虑到让学生使用信息技术进行活动，所以学生在不理解概念时也谈不上得到问题解决策略的反馈；他第2次的设计考虑到了学生使用信息技术的活动，学生在不理解概念时也得到了问题解决策略的反馈，但由于没有考虑到留给学生足够的活动时间，所以只找到了解决平移变换的策略，没能找到解决伸缩变换的策略；第3次的设计考虑到了留给学生足够的活动时间，所以找到了解决伸缩变换的策略，最终第4次的设计才使得后面的学习获得了问题解决的结果，师生都从中享受到了问题解决的快乐．

通过对类似汤丹老师这样课的反思，我们认为，在设计信息技术环境下的高中数学教学时，除了解决好上述四个方面的问题，还要注意这四个方面的互动．

6．信息技术对学生数学学习的影响

通过课题实验，实验班的学生已普遍感到信息技术对自己数学学习的深刻影响，我也已看到了这种影响带来的积极后果．这种影响是广泛的，前面已经重点介绍了信息技术在改进学习方式方面对学生数学学习造成的影响，以及通过信息技术实现的多元联系表示对学生数学学习造成的影响．下面再进一步介绍信息技术作为一种认知工具，对加强学生理解数学概念的影响．

（1）《整合本》“1.1离散型随机变量的分布列”的“练习”有这样一道题：

先用计算器或计算机模拟下列随机试验，然后与其他同学交流，看大家在计算器或计算机中设置的随机变量的取值是否相同？

一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数．

学生对随机变量取值的看法基本上都一致，设所取的3个球中白球的个数为X，则随机变量X可取0，1，2，3．X＝i表示取出i个白球，3－i个黑球，其中i=0，1，2，3．但对模拟随机试验，大家虽然都用1，2，3，4，5分别表示5个黑球，6，7，8，9，10分别表示5个白球，但使用的技术不同，于是得到的看法也不一样．学生模拟随机试验的方法有三种：一是利用科学计算器进行模拟，二是利用TI-92图形计算器进行模拟，三是利用计算机中的Excel进行模拟．对这三种方法，学生发表了自己的观点：

①采用方法一的学生提出，题目要求从袋中取出3个球，但没有说怎样取．所以他们以为，可以理解为分3次取，每次有放回地取出1个．

②采用方法二的学生认为，可将题目理解为分3次取，每次不放回地取出1个．由于在图形计算器上不易模拟这一试验，所以他们采取先模拟可放回地取出，再将重复取出同一个球的试验去掉，只考虑取出不同球的情况．这一方法直观地反映了每次试验取出的白球个数，即随机变量的取值，利于对取出不同个数白球的概率的研究．

③采用方法三的学生认为，自己设计的解法是所有解法中最优的．这一解法是建立在将题目理解为一次取出3个的基础上．与解法二一样，它不仅直观地反映了每次试验取出哪3个球，还反映了取出的白球个数．

学生们各持己见，讨论很激烈．在此基础上，教师提出了以下问题：

①如果本题是分3次取，每次有放回地取出1个，那么在所取出的3个球中，含白球的个数分别为0，1，2，3的概率分别是多少？

②如果本题是分3次取，每次不放回地取出1个，那么在所取出的3个球中，含白球的个数分别为0，1，2，3的概率分别是多少？

③如果本题是一次取出3个，那么在所取出的3个球中，含白球的个数分别为0，1，2，3的概率分别是多少？

通过解决以上问题，学生认识到，每次不放回地取出1个，与一次取出3个的结果相同；而每次有放回地取出1个，与另两种取法的结果不同．所以，解法二和解法三的本质相同，而解法一则属于独立重复试验，与另外两种解法完全不同．

在这道练习题的教学中，学生所使用的信息技术是广泛的，正是由于信息技术的广泛运用引发了学生的思考．学生通过对不同信息技术的分析，不仅提高了运用信息技术解决数学问题的水平，还加强了对离散型随机变量、独立重复试验等概念的理解，同时为离散型随机变量的分布列的教学奠定了基础．这正是信息技术作为认知工具，促进学生认知的一个集中体现．

（2）如果说用纸笔虽然繁琐，但在一定程度上还能帮助学生学习函数图象，那么在学习正态曲线的性质时，除了利用信息技术外，可能再也找不到更合适的方法了．

正态曲线就是函数f(x)＝的图象．面对如此复杂的函数，传统教学只能由教师画几个m和s分别取不同值的草图（一般都是照着教科书的三个图画下来），然后告知学生正态曲线的所有性质．其实大多数学生根本就不能从仅有的几个图象就得到这些性质．对正态曲线性质的理解成了传统教学下学生一直克服不了的难点．但在实验教学中，学生却能很主动地利用信息技术动态地研究函数图象（图33），通过观察图象位置和形状的变化，轻而易举地得到了正态曲线的性质，自然也就很容易理解了．

（3）在学习指数函数y＝a^x和对数函数y＝时，对于条件“a>0，且a11”，有的学生不太理解．于是他们就利用图形计算器分别作了a<0和a＝1时函数y＝a^x的图象（图34），以及a<0和a＝1时函数y＝的图象（图35）．通过观察发现，当a<0或a＝1时，函数y＝a^x存在图象；当a<0或a＝1时，函数y＝不存在图象，跟踪图象上的点，也找不到．通过探索，学生明白了，对于指数函数y＝a^x，条件“a>0，且a11”是人为规定的；而对于对数函数y＝，条件“a>0，且a11”则是必需的．结合a^b＝N?，学生便理解了对于指数函数和对数函数，条件“a>0，且a11”的必要性．

还有很多在传统教学环境下学生难以理解的概念，通过利用信息息技术的学习，加强了学生对这些概念的理解．