[评析]通过填写表格等形式对本节课所学内容进行整理，以便同化到学生的认知结构中去。这里也是接受式学习，系统地掌握本节课内容。

进一步思考的问题：

（1）“研究性学习”的误区

①认为研究性学习就是研究性课程。其实研究性学习作为一种学习方式是与接受式学习相对的，研究性课程是实施研究性学习方式的重要载体，但不是唯一的，并不意味着在基础性课程中不需要研究性学习。由本课例可以看出，在数学课堂教学中，根据教材内容，设计问题，使学生根据自己的体验，用自己的思维方式，通过自身的研究尝试在不断探索中获取新知识，使学生重走科学家探索之路，体会知识发生、发展的过程。

②认为研究性学习就是整节课都让学生研究，不需要教师的引导。其实课堂教学中实施研究性学习与“课题研究”是有所区别的，每一节课需要完成一定的教学任务，教学中只有将“研究性学习”与“接受式学习”相结合，才能达到最佳教学的效果。例如，在探索某一概念的发生、发展过程，在探索某一定理的发现过程，在探求解决问题的思路时，采用研究性学习方式有利于培养学生的探索能力和创新精神，有利于学生更好的理解数学。而在需要教师引导的时候，就应该点拨学生的思维，如本课例中将“直线与圆的位置关系”与“点与圆的位置关系”加以类比，这就需要教师的引导，并且要恰倒好处。因此，在一节课中，研究性学习可以体现在教学的某一部分、某一环节上。通过以上分析可以看出，本节课是体现研究性学习方式与传统教法相结合的一节好课。

（2）必须处理的几对矛盾

①学生的差异性与问题的统一性的矛盾。在同一班级中，学生是有差异的，包括学习基础、学习习惯、思维方式、学习兴趣等等，有客观因素，也有主观因素。作为数学“研究性学习”的课堂教学的设计策划者，必须根据不同个体的特征，尽可能设计出能使每个学生都能得到充分发展的方案。现行教材是按一定的知识体系编排而成，教学中必须将课本内容，按一定序列编排成可供探索的问题，这些问题的操作性如何，直接影响学生的参与程度。问题的提出既要能覆盖本节内容，即知识点必须落实到位，又要能提供探索的空间；既要能体现本节内容要求达到的能力目标，又要使学生感到这是以往知识的延伸；问题太容易，则达不到培养能力的要求；问题太难，能力较弱的学生难以找到研究的突破口。所以作为教师，对教材的意图领会要深刻，对教材的肢解能力要强，对同一个教学内容设计可供选择有区别的问题以适应不同层次学生的需求。

②学生思维的开放性与教学内容、教学时间的限定性的矛盾。在研究性学习中，学生处于研究者的地位，对教师提出的问题，学生思维的开放性很大，而教学内容是确定的，教师必须在有限时间内完成教学任务，既要能使学生的思维能力、想象能力得以发展，又要强调课堂教学的时效性，若教师控制得过严，收敛得过早，学生没有体会，思维没有一定的深度，则与“研究性学习”的宗旨相违背，所以两者的协调统一以及度的把握直接影响教学的效果。在本案例中教师所设计的问题恰到好处，能够充分展开学生的思维，但方向性很明确，便于对问题结论的归纳总结。但一般情况下要提供适度的思维空间是难以操作的，这有待于我们进一步的探索。

上述案例向我们展示了一位青年数学教师通过案例研究《研究性学习与接受性学习的整合》，试图把自己的教学实践与课程改革所倡导的理念结合起来。正如张海老师（建平世纪中学）的感言：“把我们老师研究的问题用案例形式表达出来，避免了以前写论文时牵强附会地列上几条教学‘原则’，沈老师的案例既有教学过程的展示又有理念的诠释……”案例研究使教师真正对自己的教学实践进行了反思、进行了理论视角的审视，而且有了一种专业发展的渴求。回顾这个案例研究的过程，沈子兴老师说：“对刚走上工作岗位的年轻数学教师来说，数学课堂教学具有很大的盲目性，如教学中为什么要设计教学情景，如何设计？概念教学与定理法则教学有何区别？采用怎样的有效的训练方法，使学生能够达到预期的目的？等等很多问题，有时只是凭借着一些经验，包括自身学习的经验或其他教师的教学经验，并没有上升到一个理性思考的阶段，虽然在一些教学比赛中获奖，但总是感到对数学课堂教学的理解还是比较肤浅的。通过做案例研究，审视自己的教学过程，对课堂教学有了理论角度的认识和理解，而且逐步还形成了自己感兴趣的研究课题。我现在真的很需要一些专业研究人员的帮助，和我一起探讨研究性与接受性学习整合的问题……”

4、“视频案例研究”──整合课堂教学研究的三种途径

（2003，5～至今）

现场观察、录像带分析、文本案例研究是我们前期研究课堂的三个基本途径，我们发现：现场观察容易体验课堂教学的实际氛围，但课堂上的许多事件稍纵即逝，观察者的注意力又难以长时间集中、也缺少反思的时间和空间；录像带分析的最大优点是可以反复观看、观察时间不受限制，有利于后期多次分析、编码，综合定量和定性的观察数据，但不易把握课堂的全局氛围和焦点，难以解释录像带上一些事件的深层因素，尤其是青年教师缺乏经验、在机械套用观察技术时反而容易把课堂变得“支离破碎”；文本案例分析有较高的研究成分，主题突出、容易激发讨论问题与反思，但文本案例把大量的课堂信息选择性地“简化”、真实性往往受到怀疑，而且难以对案例进行多角度的“再加工”，交流时文本容量也非常有限。这三条途径各有利弊，能否找到一条途径，可以综合利用以上三条途径的优势呢？从2003年起，国际上新兴的视频案例研究进入了我们的视野，它有以下几个特点：

提供真实可信的数学教学情境。视频案例与文本案例相比所提供的是“不加修饰”的课堂情境，可以捕获大量的课堂细节，可以真实再现教学事件的模糊性和复杂性，因此也有助于观察者形成自己对某个事件的观点，也更容易被记忆系统所编码和保存，并与已有知识建立联系，在真实的课堂情境中提供真实的任务。视频案例所固有的这些特征使它成为一种比文本案例更为有效的教师学习工具，其空间的、动态的特点也使得教学情境更为丰富和真实。

呈现数学教学的内隐知识和多角度解读。所谓内隐知识是关于“怎么做”的知识，它之所以“不可言传”，在一定程度上是指不能脱离它所镶嵌的情境，因此，一种可能的途径就是把这类知识连同它所镶嵌的背景一起呈现出来；多角度解读是“从不同的概念与案例的角度去表征知识，这样，当以后运用这些知识时，就有能力根据问题解决情境的需要对这些知识进行适当的‘剪裁’”，它可以使学习者“在不同的时间、不同的情境，根据不同的目的和不同的概念框架去反复观察同一个案例”，从而为知识的表征提供了多重的分类图式。

提供向专家数学教师学习的机会。向专家学习是教师专业成长的一个重要环节，但专家的知识是高度情境化和个人化的，一旦离开具体的问题或事件，这种知识就难以呈现。在视频案例的教学活动中，专家由两种途径“即时介入”：其一是作为案例的主体对教学进行“示范”，早期干预；其二是作为旁观者对案例进行“点评”，无论哪种方式，对教师而言无疑是向专家学习的一个机会。

统整和融合了数学教师的教学、学习、研究。教师进修课程既涉及教育学和心理学的一般原理，专业学科的基础知识和教学法知识，也涉及具体的课堂教学案例和处理各种教学事件的策略。视频案例可以把这几个板块的知识统合在一个案例中表现出来，这与教师在具体的教学实践中所有这些知识共同发挥影响是一致的。另外，视频案例在相关资源库的建设上有着巨大的潜力，只要硬件条件允许，它就可以利用超媒体技术为教师的教学研修提供强有力的资源链接。

2003年9月，我们邀请苏州大学鲍建生教授为青数会报告了国际上视频案例研究的最新进展，随后我们在上海市教科院顾泠沅教授的指导下尝试制作视频案例。经过一年多的摸索尝试，我们先后制作了6个程度不一版本的案例。2005年4月8日，“首届全国中小学课堂教学优秀视频案例展评活动”在北京首都师范大学召开，由全国教师教育学会主办。我们青数会学术组成员参加的两个视频案例荣获一等奖（杨玉东等《勾股定理能够被学生探究吗》、陈振华等《“除法就是分豆子”》），教育部袁贵仁副部长亲自为我们的两个视频案例颁发了证书。

【视频案例1：勾股定理能够被探究出来吗？】

1、选题背景

勾股定理是数学教改的晴雨表：上一世纪五六十年代数学课程中的严格论证、后来提倡的“量一量、算一算”、之后的“告诉结论”、“做中学”，直到现在的探究式等。数学教学要培养学生的数学计算、数学论证乃至数学决策等三大能力，勾股定理教学正是一个恰当的例子。

勾股定理在平面几何里具有非常重要的地位、也处于学生数学思维转折阶段，但它的教学却始终是一个难点，没有很好地在教学法意义上被解决。数学教学的实质就是学生在他们的“数学现实”基础上、在教师指导下进行“再创造”的过程[12]。这里的“再发现”关键在于“再”，一方面是指学生的发现属于“对他来说是新的、对教师则是熟知的”，另一方面意味着学生的发现要“在教师的指导下”经历类似数学家运用思想方法的数学活动过程。那么，如何在教师的精心指导下，让学生来体验数学家们发现一个定理的过程呢？勾股定理的教学，正是这样一个具有创意的尝试。

2、以往进行勾股定理教学的各种尝试

我国以往的教材中，重点是对给出的勾股定理进行严格的形式化证明，也即采用欧几里德的等积变形推导进行证明。在这个证明中（如图14），首先要至少做出三条辅助线──即分别连接C、E，B、I，作CF垂直DE于F、与AB相交于G；其次，证明正方形ACHI的面积是ΔABI面积的2倍、长方形AEFG的面积是ΔACE面积的2倍；然后，证明ΔABI与ΔACE面积全等；由此，推导出正方形ACHI的面积与长方形AEFG的面积相等。用类似的方法，同理证明出小正方形BCJK的面积等于长方形BDFG的面积。所以，两个直角边上正方形的面积之和等于斜边上正方形的面积。这一证明过程至少需要作出三条辅助线、找到三对图形的面积关系做出推导，其构思的精妙令人折服，可是技巧难度太高。

从上世纪90年代一直到近来的勾股定理教学中，教师试图设置一个动手情境，让学生“做中学”。在提出猜想阶段，通过学生对直角三角形三边的测量，得出一组数据，然后进行“猜想”──这叫做“量一量、算一算”；但是这样“量、算”的办法，既受到数据测量精确性的制约、又局限于数据的数量，学生得不出a²+b²=c²。在证明猜想阶段，通过学生对两个直角三角形的裁剪（如图15），试图拼凑成一个大的正方形──这叫做“剪一剪、拼一拼”；但是，教师头脑中设计的“剪、拼”实验，在实际活动中并不能为学生所操作、实现。

于是，“量一量、算一算”的办法演化为教师直接提供勾股数组，让学生进行“猜想”；“剪一剪、拼一拼”的证明方法，被简化为等腰直角三角形的“铺地砖”（如图16）。这样以来，教师提供的排列整齐的勾股数组，直接向学生暗示着把数字换为字母的结论；而“铺地砖”中等腰直角三角形的特殊性，则使“证明”失去了一般性的意义。

在我们视野所及的范围内，多数教师仍基本采用讲解的方式，即使有个别教师力图实施探究性教学，也常常停留于形式，缺少实质意义上的探究。

3、“有指导的再创造”的教学设计

很多数学教师虽有探究教学的理念，但在考虑勾股定理的教学设计时会遇到两个困惑：①通过度量直角三角形三条边的长，计算它们的平方，再归纳出a²+b²=c²，由于得到的数据不总是整数，学生很难猜想出它们的平方关系；②勾股定理的证明要求数形结合，具有较高的难度，一般来说学生很难在思路上比较自然地解决。

针对困惑所在，我国的优秀教师试图在如下两方面有所突破：①目标在于体现“猜想—证明”这种数学思想方法的本原性意义。②探究需要“铺垫”（有层次推进的策略）。就像学游泳，不能让所有学生都直接跳到海里，要有一定的背景知识和带关键性的技能、策略作铺垫。铺垫也称“脚手架”，为学生提供一种教学协助，帮助学生完成在现有能力下向高认知学习任务的难度攀升。

（1）情境铺垫出猜想

首先，教师提问“直角三角形三边有什么大小关系？”使学生注意力集中于三边关系：a、b<c<a+b。教师讲述了一段数学史故事肯定了直角三角形三边有等量关系以激发学生研究的热情，进而平方上面的式子得出a²、b²<c²<a²+2ab+b²，并指出a²、b²、c²的几何意义。教师讲述了一段数学史故事肯定了直角三角形三边有等量关系以激发学生研究的热情，进而平方上面的式子得出A2、B2

接着，教师呈现工作单上的小方格背景上的图形（图17），要求学生通过计算、填数据表11等小组活动来研究直角三角形三边的数量关系。

在计算过程中，学生通过数单位小方格的办法，可以独立地顺利计算出a²、2ab、b²，对于c²则无法求出；教师鼓励学生小组内部讨论c²的计算办法，并在巡视中对不同的小组给予适当提示（可以利用小方格背景外补或内割正方形来计算），并让计算出c2的学生上黑板讲解方法。随后，教师要求学生继续完成表11，并通过投影个别学生的计算结果全班共同校对数据表。

然后，教师要求学生根据数据表猜想直角三角形三边之间可能的数量关系，并把学生的发现板书下来（如图18）。

（2）证明与反驳

a²+b²=c²的发现在意料之中，出现更多的发现则令人惊讶！尤其是2ab+1=c²，这是数学专业出身的教师从来没有学过的“定理”。它是错误的吗？可是，数据表中的每组数据的验证都表明它是正确的。那么，也许学生真的发现了一个“定理”？让我们看看发生在教师与学生之间的一段“反驳与证明”的对话：

T：哦，王**，你来说说看。

S1：老师我做过a=2，b=4的例子，这时2ab=16，而c²=20，所以c²≠2ab+1。

T：请坐。王**同学用具体的举例来“反驳”，看来很有说服力的，看来c²=2ab+1这一结论不成立。哦，还有，你还有话要说？

S2：老师，我刚才通过例子得出，当a与b差是1的时候，2ab+1=c²这个结论还是成立的。

T：请坐。这个想法还是有道理的，看来c²=2ab+1是一个有条件的结论。好，下面我们再来看一下c²=a²+b²呢？你来说说看！

S3：这个结论对，对于前面已举过的图例来说都是成立的，但是我想，如果它举例子，即使100个例子都是成立，但是如果到了101个例子，它不成立了呢？如果要知道它是一个定理，就是要知道它所有的例子都是成立，才是定理，只要有1个例子不成立还是个有条件的结论。

T：请坐，看来 a²+b²=c²是否是个定理, 光靠几个例子说明是不够的, 那么我们应该怎么办呢?

S众：证──明──

课后访谈中，顾泠沅教授对于这段师生对话给予了很高的评价，他说：“在数学活动中，对于一个假命题，只要举出一个反例就可以把它反驳掉；但对于一个可能为真的命题，无论多少个支持它的正例都无法使别人信服，只是增加了这个命题有可能正确的可能性──这就叫做合情推理。所以，对于一个可能为真的命题就必须进行一般化的证明──这反映了我们中学学习中间“为什么要证明”的必要性。那么上面这段对话，它正好反映了数学学习过程中，从数据归纳出一些猜想、然后通过反驳与证明，直到得出一个定理的这样一个深层次思维过程，它反映了数学学习的本质的成分”。

（3）拆除铺垫引导论证

通过反驳与证明的对话，学生体验到了进行证明的必要性。利用前面计算直角三角形斜边上正方形面积的方法，把图中的小方格背景撤去，并且隐去a、b的具体数值，在一般的直角三角形中，学生顺利地证明了a²+b²=c²的正确性（如图19）。

图19　证明时隐去了小方格的背景

（4）学生活动做扩充

为了检验这种探究发现的思想（数据──观察──猜想──证明）能否产生正迁移，以及学生的一般探究知识的能力对于问题解决的能力影响，我们布置三个方面的课外活动：①用“数据表出猜想”的办法探索格点多边形面积与内点及边点的关系；②上网学习勾股定理的史料与多种证明；③收集、编拟勾股定理的应用题。

在活动结果交流会上，学生的报告让教师惊异。如，活动1小组发现了格点多边形的公式：格点多边形面积(N为内点数,L为边点数，如图20)；活动2小组不仅收集丰富的勾股定理的史料，多种勾股定理的证明方法，而且还发现2002年在北京召开的国际数学家大会的会议标记正是我国古代赵爽发明的弦图（如图21）；活动3小组不将书本上习题根据应用勾股定的方式分门别类，而且还应用勾股定理计算出第一宇宙速度（如图22）。

　图22　学生近似计算出第一宇宙速度 

上述丰富多彩的活动结果，不仅说明了学生通过探究学习获得的数学思想方法可以迁移，其学习能力也可以迁移到到一般的问题解决情境，学生的潜能远远超过教师的想象。

(5) 课堂价值取向与行为类型的变化

改进前后课的价值取向可以从课堂行为结构的变化进行比较，为简要起见，这里仅用4种课堂行为（图23）的时间占比做说明：①教师讲授从51.2 %减少到26.7%，学生探索从3.8%明显地增加到46.6%，这表明改进后课的价值观正向能力取向移动；②由于探索时间增加，学生课堂练习从28.2%减少到3.2%。可见，致力于改变学生学习方式的理念，在改进后的课中得到了有效的体现。

图23　课堂教学行为时间占比的对比

【视频案例2：“除法就是分豆子”】

1、选题背景

荷兰一位数学教育专家达朗其1996年在ICME-8的大会报告中曾介绍过他们的一堂课：81名家长出席学校家长会，每张桌子可坐6人，需要布置多少张桌子？第一类学生通过具体地摆桌子来解决问题；第二类学生用图示的方法经历了摆桌子、运用加法解决了问题；第三类学生借助图示思考后、运用乘法的逆运算即除法解决了问题。实际上如果学生被形式化训练后，也可以直接想到运用除法进行计算（第四类）。但他最后指出，只有第三类才经历了具体到形式的抽象、真正体验到了“数学化”的含义。这位数学教育家援用小学“有余数的除法”的例子向我们揭示出：“数学化”是学生学习数学的本质之一。

2、注重技巧的原行为

以往的授课中，通常是教师一上来就是先让学生区分“等分除”与“包含除”。什么是“等分”、什么是“包含”，十分繁琐。原来，教师是因为学生做除法题目时容易把商和余数的“名数”弄混，因此要训练学生纠正错误。

17(人)÷8(人)=2(桌)……1(人)

17(人)÷2(桌)=8(人)……1(人)

这种做法，一开始就把时间和重点放在这些枝节上，与“有余数”这个教学要点相去甚远。

有余数除法中，有一个很关键的技巧是“试商”，只有“商”对了，学生才能做出题目来。因此教师出示了大量的“括号里最大能填几”的题目让学生练习“试商”，如6×( )＜41等。但是“试商”的意义究竟是什么，学生没有理解，教师在这里只是一个技巧性的铺垫。

这节课还有一个重点，就是让学生发现“余数要比除数小”。教师希望学生通过观察排列整齐的算式（图24），能够找到规律。学生却“启而不发”，回答总是“不知道”。最后时间不多了，教师只好提问“余数1、2、3、4比除数5大还是小？”，这样学生终于“发现”了“余数比除数小”。这样的过程中学生没有真正的思考和探究，无异于教师直接告诉学生结果。这样一节课，忘记了对小学生来说数学就是生活，学数学就是对他们日常生活经验的“数学化”过程。

3、注重“数学化”的新理念

在注重“数学化”的新理念的引领下，研究人员和教师重新设计了这节课。结合当地是郊区的特点，学生对于“豆子”比较熟悉，有一定的生活经验背景，我们决定让学生通过“分豆子”来学习有余数的除法。

教师为学生提供一些盘子和豆子，比如7粒豆子如何平均分到3个盘子里，学生通过动手分的过程，理解了要分的7粒豆子就是“被除数”、盘子数3就是“除数”、每个盘子里放的豆子数2就是“商”，而“余数”就是“不能再分时剩下的1粒豆子”。

图25 “分豆子”与“有余数除法”

这样，在学生的实物操作和算式表达之间建立了一一对应的关系（图25），从实物到算式是一个“形式化”的过程；从算式返回到实物则是一个“寻找意义”的过程，“试商”就是尝试盘子里能放几粒豆子的过程，学生在动手操作中发现了“余数比除数小”──因为“如果余下的豆子数比盘子数多、就还可以再分”。学生甚至还发现：“被除数=除数×商+余数”，多好的本原性思考！高等代数里深奥的“余数定理”在小学就准备了认知的固着点。

4、创造新行为：“脑中分豆子”

但上述过程也面临着“学生获得”方面的困惑：第一，如果教学的结果使学生做除法要依赖“拿豆子来”──只会动手做、不会动脑想，那么尽管课堂热热闹闹，却陷入了数学教学的浅薄与贫乏；第二，如果这种“分豆子”的活动仍然没有促进学生形式化的算法理解，教师最后不得不将除法的操作程序教给学生，那么创设情境兜了一大圈，还是回到死记硬背的老路。

教师创造性地采用了“动手分豆子──脑中分豆子──算式运算”这样一个非常重要的教学策略（图26）：设计了“实物到算式”之间的一个中介活动，即“放掉豆子和盘子，在脑中分豆子”，帮助学生越过了形式化的难关，体验到了数学化的过程。事实上，上述“分豆子”活动过程，生动地揭示了布鲁纳知识发展三水平的认知理论，其中脑中分豆子的方法是一种“表象操作”，它是从“实物操作”到“符号操作”的中介。儿童学习数学就是在具体、半具体、半抽象、抽象之间的铺排，是穿行于实物与算式之间的形式化过渡。

图26 “脑中分豆子”与布鲁纳的认知理论

5、学生学习的主动性增强

实施数学化过程的教学对课堂中的师生互动方式产生什么影响？下面是用“弗兰德师生语言互动分类”方法[11]对“余数比除数小”这一教学片段所做的比较（表12与图27）。

注：学生小组讨论，改进前为115″，27.2%；改进后为135″，32.9%。

图27 师生语言互动状况的变化

表12和图27表明，改进后师生语言互动出现了下述情况：（1）“课堂静止或不理解⑩、指示或命令⑥、批评或辩护权威行为⑦”的时间下降为零，“教师演讲⑤、学生按老师要求表述⑧”的时间明显减少；（2）“教师提问④、学生主动表达自己发现⑨”的时间在明显增加，教师“接纳学生感觉①”的时间也有上升。

从“余数比除数小”这个片段可见，改进后的课堂教学由以前的教师讲授为主变化为学生的活动为主，教师的教学理念与行为发生了明显的改变。

在探索视频案例制作的过程中，我们经历了从“资源意识”向“案例意识”的转变。所谓“资源意识”，就是原以为任何一节课只要录制下来并加上专家、同行教师的观点，就是一个视频案例，就会对观课者有所启发；但在实际运用中发现，很多教师、尤其是经验相对缺乏的青年教师在观课时往往不知所云，抓不住教学要点、更不用说从课程理念的角度分析课堂了。这就促使我们在制作过程中不断反思，视频案例究竟该有哪些要点，使其可以有效地促进青年教师的学习和实践课堂教学的需求？

通过实践，我们认为一个视频案例有下列要素：

首先要成为一个案例。一个视频案例首先应该是一个教学“案例”，这是个基本的前提条件。作为一个案例，首先要具备以下要素：①主题和背景。主题是一个案例不可缺少的，它反映了案例是关于什么内容的，而且关系到案例的核心理念；背景则涉及了案例的起因、出发的问题、困扰事件及价值所在等方面的问题。一个好的案例首先是具有鲜明的主题，让读者一看就知道该案例表达的核心是什么。②情境描述。指案例的叙述应该是一件文学作品或片段，而不应该仅仅是课堂实录；无论案例问题多么复杂、深刻，它必须以一种读者容易接受、甚至引人入胜的方式来讲述。③教学注释。即围绕案例中的教学事件提供各种问题，有的可能是解释性的，便于读者理解；有的可能答案本身蕴含其中，引导读者深入理解；有的可能答案本身就是开放的，尚待探索。④诠释和研究。即对教学案例的研究结果做某个或多个角度的理论解读，引发更进一步的深入研究和思考。

提供反思的“第二声音”。在视频案例的课例研究里，首先要指出该课例与以往教学有何不同──也就是提供“第二声音”（Lerman，1997），没有来自个体外部的可替换观念或想法，即第二个批判性声音，反思并不能自动地导致改变发生，只有与个体发生认知冲突、激发其情感反应时，反思才会发生。其次要指出为何不同──因为反思是分层次的，只有把“第二声音”背后的原因揭示出来，才会激起个体更深层次的反思。第三，可以留一些商量的“余地”，把难以解决的问题呈现出来，这样做反而可以使案例主题更加深刻和引人深思、意犹未尽。

用技术支持“动态”和“开放”。避免组成视频案例的每个片断仅仅以时间线顺序联结，这样使用者的切入点只能是依次点击，不便直接进入录像带中的某个特殊点，也难以整合其他的相关信息。当前更多采用的是超媒体视频案例形式，即一种非线性系统──它采用非线性、非顺序性的方法获取信息，使用者可以依据需要，在各个内容节点之间跳跃，可以分层次地触发所需要的数据库。视频案例还应该随时准备吸收与案例相关的素材，并把它们纳入案例结构中。

提供分类明确的自主学习资源包。视频案例的相关资源分类要尽量避免交叉，分类之间不交叉可以使读者准确地直接进入相关类别。结构化的资源包要便于使用者自学，设置的栏目用词尽量明确，不使用有岐义的词语；尽量使用读者一目了然的词汇，方便检索和调用资料。

我们制作的视频案例主要由三个板块组成：教学案例、案例纪实资料、案例相关资源，如图28。其中第一板块是核心，是文本案例的视频化表现形式，它包括教学案例的主题、背景、过程和结果，目的是让观看者对该视频案例有一个总体概观。第二板块与第三板块是围绕“教学案例”的相关信息，“案例纪实资料”主要包括完整的课堂录像、课堂的观察数据、课堂前后对教师和学生的访谈、课堂前后的研讨等资料，目的是便于观看者从不同角度对教学案例进行再加工；“案例相关资源”则是与教学案例有关的一些材料、网页甚至网站，我们把它分为相关理论、相关研究、相关课件、相关网站等，目的是为教师提供自我研修的学习资源。

图28 视频案例的构成

现场观察、录像带分析、文本案例研究和视频案例研究，既是青数会聚焦课堂不同时期有所侧重的途径，也是国际上研究课堂教学的发展趋势的一个缩影。既便在上海的不同地区，由于学校之间硬件和软件的差异，这四条研究课堂的途径仍然被各个学校有所侧重地采用；它们各有优势而且并行不悖，可以预计在今后较长一个时期内，它们仍然是研究课堂的基本途径、仍然将被数学教师所广泛采用。

四、青数会聚焦课堂十年的初步成效与未来方向

上海市中学青年数学教师联会在上海市中学数学教学专业委员会的领导下，已经走过了近十个年头。十年间，青数会始终聚焦于数学课堂教学的改革，始终引领青年数学教师走研究和改进课堂教学之路。这期间，青数会由成立时的129名会员发展到如今的271名会员，由成立时只有7位高级教师、8位硕士研究生发展到现在的186位高级教师（其中特级教师4位）、42位硕士研究生和7位博士。青数会成立时担任教研组长以上职务的会员只有14位，而现在担任校级以上领导岗位的有49位，其中杨燕（黄浦区教育局副局长）等5位已经担任教育局领导职务；现在青数会成员中93％是区级以上骨干教师,其中57％是上海市级以上骨干教师。青数会队伍结构的“高级化”已经成为一个趋势，她已经成为青年数学教师快速成长和发展的摇篮，对于越来越多的青年数学教师具有强烈的感召力和吸引力。

十年间，在青数会成员参加全国中学数学教学专业委员会组织的初、高中青年教师大奖赛中，有22人获得了一等奖；在参加上海市中学数学教学专业委员会组织的初、高中青年教师大奖赛中，64人获得了一等奖。

在青数会发展壮大的过程中，很多青年教师也逐渐成为了上海二期课改的主力军。他们有的直接参与了上海市中小学新课程方案和数学教育改革行动纲领的起草工作，有的直接参与了二期课改教材的编写工作，还有的已经成为了二期课改教材审查的专家，而绝大多数青数会成员则是勇于实践新课程理念的改革者。据不完全统计，10年以来，青数会成员在省级以上杂志发表论文600多篇，其中120多篇获得省级以上各种教育论文评比一等奖；主编或参编数学教学参考书100多本，其中专著7本，出版名师授课光盘等音像资料50多套。

面对青数会聚焦数学课堂的十年改革之旅所取得的进步，我们没有骄傲，反而更加清醒地认识到教学改革的复杂性和艰巨性，尤其在当前数学课程大变革时期，青年数学教师更需要一个群体的多方面的专业支持来实现有效的数学课堂教学。为此，青数会在未来聚焦课堂的研究中，将着力于建设网络环境下的课堂教学研究平台，使更多的青年教师通过青数会网站来获取更多的常态的专业支持。具体将聚焦以下三个方面的与课堂相关的研究：

第一，注重发挥群体智慧来实践新课程。教研组是数学教师做课堂研究的基本单元，青数会的网络平台将展现更多的促进数学教学水平提升的有效教研活动模式，在更广范围内使更多的青年教师成为新课程理念的实践者、引领者；使青年教师投身于聚焦课堂的新型教研活动中，传承和发展我国的研修文化，实现从技术取向到文化生态取向、从研究教材教法到全面研究学生与教师的行为、从重组织活动到重在培育研究状态、从关注狭隘经验到关注新理念更新与文化再造。

第二，注重开发促进“有意义学习”的多种教学方式。接受式学习未必是无意义的和机械的，关键在于能否在新旧知识之间建立起合理的、实质的联系；学生热热闹闹的活动式教学也未必一定就是“有意义学习”，关键在于学生对于学习任务的参与度和完成度如何。青年教师要正确认识接受式与活动式教学对改进课堂教学的意义，在“有意义学习”的主题下整合多种教学方式，从而更有效地提高教学效率、提高学生的学习质量。因此我们“改进”数学课堂教学的重点在于是否实现了学生的“有意义学习”，而对于采取何种教学方式则应该采取因地制宜的态度。

第三，注重把握教学中的实质性数学问题。数学教学应该超越传统教学中过度的技巧性训练、穿透当前频频出现的表面化的数学情境外衣，追求对数学本质问题的把握。它超越了单纯的技巧性问题和肤浅的情境性问题的教学，注重设计一系列数学问题，用问题来驱动教师的教与学生的学；强调学生通过数学化过程来“再创造”数学知识。这样一个思考数学教学的视角，跳出了对教与学方式的表面化追求、而是深入到了数学教与学的核心问题，这将是我们不断“改进”数学课堂教学的新动力。

面对数学课堂，还有许多有待研究的问题，对它们的探索将成为青年教师成长的阶梯。我们青数会在上海市中学数学教学专业委员会的领导下，将进一步虚心学习、踏实工作、开拓创新，在聚焦课堂、立足课堂、研究课堂的基础上，为上海的基础教育改革和发展作出我们应有的贡献！

参考文献：

1. 上海市教育委员会. 1996上海教育年鉴. 上海教育出版社. 1996.

2. 顾泠沅. 教育改革的行动与诠释. 人民教育出版社.2003.

3. Wragg, E.C. (1999). An Introduction to Classroom Observation. (2nd edition). New York: Routledge.

4. 周卫. 一堂几何课的现场观察与诊断. 上海教育. 1999年第11期.

5. 顾泠沅. 寻找中间地带──从一堂几何课看数学教育改革行动. 上海教育科研. 1999年第10期.

6. 顾泠沅,易凌峰,聂必凯. 寻找中间地带. 上海教育出版社. 2003.

7. Merseth, K. K. (1994). Cases, case methods, and the professional development of educators. Available: 88ed.gov/databases/ERIC_Digests/ed401272.html

8. 沈子兴. 研究性学习与接受性学习的整合. 中学数学教与学（人大复印资料）. 2003年第12期.

9. 鲍建生. 课堂教学视频案例:校本研修的多功能平台. 教育发展研究. 2003年第12期.

10. Stein, M.K., Smith, M.S., Henningsen, M.A. & Silver, E.A. (李忠如译). 实施初中数学课程标准的教学案例(匹兹堡大学QUASAR研究成果). 上海教育出版社. 2001.

11. Merseth, K. Katherine. (鲍建生译). 教学的窗口:中学数学教学案例集(哈佛教学案例发展项目1994~1997). 上海教育出版社. 2001.

12. Carnegie Forum on Education and the Economy. Task Force on Teaching as a Profession (1986). A nation prepared: teachers for the twenty first century. Washington, DC: The Forum

13. Shulman, L. (1992). Toward a pedagogy of cases. In J. Shulman (ed.), Case methods in teacher education (pp. 1-30). New York: Teachers College Press

14. DeLange, J. (1996). Real Problems with Real World Mathematics. In Proceedings of the 8th International Congress on Mathematics Education. Sevilla, 14~21 July.

15. Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education: China lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

16. 顾泠沅,王洁. 教师在教育行动中成长. 全球教育展望. 2003年第1期.

17. 顾泠沅,杨玉东. 视频案例研究:校本研修的有效平台. 中国教育报. 2005年6月17日.