一、向心力的来源

    由牛顿第二定律知，物体做匀速圆周运动需要有力来提供向心力．向心力是按照力的作用效果来命名的，而不是物体受到的另外一种力，它可以是重力、弹力、摩擦力等各种性质的力，也可以是它们的合力或者是某个力的分力．在匀速圆周运动中，向心力是物体所受到的合外力，只要力使物体产生向心加速度，物体就可以做圆周运动，所以分析圆周运动最关键的是分析其向心力的来源．
    分析向心力来源的基本步骤是：首先确定匀速圆周运动的轨道所在的平面，再找出轨道的圆心位置，然后分析做圆周运动的物体的受力情况，作出合力的图示，则指向圆心的合外力就是向心力．分析受力情况时一般采用正交分解的方法，选择做圆周运动的物体所在位置为原点，并且使一个坐标轴的正方向沿半径指向圆心．对于匀速圆周运动，其运动条件是：物体速度不为零，所受到的合力大小不变，方向总是垂直于速度方向，且沿着半径指向圆心．
    例１  如图１所示，在半径为Ｒ的半球形碗内，有一个质量一定的物体Ａ．当碗绕竖直轴ＯＯ′匀速转动时，物体Ａ在离碗底高为ｈ处紧贴着碗随着碗一起匀速转动，且没有相对滑动．Ａ与碗壁间的摩擦不计，求碗转动的角速度．(图祥见《高中生》杂志05年4期上半月刊学习辅导)

    解析  物体Ａ随碗一起转动而不发生相对滑动，所以物体匀速圆周运动的角速度应等于碗转动的角速度，物体Ａ做匀速圆周运动所需的向心力的方向应指向Ｂ，故此向心力是由碗壁对物体的弹力与物体的重力的合力提供的．
    如图２所示，物体Ａ所受的合力提供向心力，由牛顿第二定律得
    Ｆ合＝ｍｇ ｔａｎθ ＝ｍω ２（Ｒｓｉｎθ ）．
    又ｃｏｓθ ＝，
    ∴ω ＝．
    (祥见《高中生》杂志05年4期上半月刊学习辅导)

    二、向心加速度、线速度、角速度

    向心加速度是向心力产生的结果，其方向与线速度方向始终垂直，即始终指向圆心，且不断在改变，但它只改变线速度的方向而不改变其大小，所以匀速圆周运动不是匀变速运动，而是非匀变速运动．从运动的角度来看，向心加速度是描述做匀速圆周运动的物体的速度变化情况的物理量，其计算公式为ａ＝＝ω ２ ｒ ．由上式可以得出：当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比；因为ｖ＝ω ｒ，所以ａ ＝ ｖω，即向心加速度总是与ｖ和ω的乘积成正比．

    例２  如图３所示，转轴Ｏ１上固定有两个半径分别为Ｒ和ｒ的轮子，用传送带带动Ｏ２轮，Ｏ２轮的半径为ｒ′．若Ｏ１每秒转５圈，Ｒ＝  １ ｍ，ｒ＝ｒ′＝０．５ ｍ，则大轮转动的角速度为＿＿＿＿＿．图中Ａ、Ｃ两点的线速度分别是＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿．
    解析  本题牵涉到三个做匀速圆周运动的轮子和传送带，比较复杂，所以应抓住两点，即传送带上各点的线速度相同，共轴转动的物体角速度相同，而题目中已知是Ｏ１每秒转５圈，所以可从角速度入手解答．
    因为Ｔ＝０．２ｓ，所以由ω  ＝ 得ω ＝１０π ｒａｄ／ｓ．
    又由ｖ＝ω  ｒ得ｖＡ＝ω ｒ ＝１５．７ｍ／ｓ．
    而Ｂ点和Ｃ点的线速度相同 ，
    所以ｖＣ  ＝  ｖＢ  ＝ ω Ｒ＝  ３１．４ ｍ／ｓ．
    (图祥见《高中生》杂志05年4期上半月刊学习辅导)

    三、水平面上的匀速圆周运动

    在水平面上做匀速圆周运动的物体，因为物体的重力和支持力相互平衡，因此在进行受力分析时，只要考虑在水平方向上的力即可．
    例３  如图４所示，水平转盘上在中心处有一个竖直小圆筒，质量为ｍ的物体Ａ放在转盘上，Ａ到竖直筒中心的距离为ｒ．物体Ａ用轻绳通过滑轮无摩擦地与物体Ｂ相连，Ｂ与Ａ质量相等，物体Ａ与转盘间的最大静摩擦力是正压力的μ倍．求转盘转动的角速度在什么范围内时，Ａ才能随盘转动？

    (图祥见《高中生》杂志05年4期上半月刊学习辅导)
    解析  由于Ａ在圆盘上随盘做匀速圆周运动，所以它所受到的合外力必然指向圆心，而其中重力和支持力平衡，只有绳的拉力指向圆心，因此Ａ所受到的摩擦力的方向一定沿着半径指向圆心或背离圆心．
    当Ａ将要沿盘向外滑动时，Ａ所受到的最大静摩擦力指向圆心，Ａ的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力，即Ｆ＋ｆｍ＝ｍω  ｒ．         ①
    由于Ｂ静止，所以Ｆ＝ｍｇ．  ②
    又因为最大静摩擦力是正压力的μ倍，即
    ｆｍ＝μＦＮ ＝μｍｇ．            ③
    联立①、②、③三式可得ω１＝．
    当Ａ将要沿盘向圆心运动时，Ａ所受到的最大静摩擦力沿半径背向圆心，这时向心力为
    Ｆ－ｆｍ＝ｍω  ｒ．             ④
    联立②、③、④三式得ω  ２＝．
    因此，Ａ要随盘一起转动，转盘的角速度应满足≤ω≤．

    (祥见《高中生》杂志05年4期上半月刊学习辅导)

    四、竖直方向上的圆周运动

    物体在竖直方向上做匀速圆周运动只能在特定的条件下，因为在竖直方向上有重力的作用，必须有一个力与之平衡才可以．此类题目必须明确说明是做匀速圆周运动，否则不能自认为是匀速圆周运动就按照相关规律求解．
    例４  如图５所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速圆周运动的轮子边缘上有一个质点Ａ．当Ａ通过与圆心等高的ａ点的同时，另一质点Ｂ从圆心Ｏ处开始做自由落体运动．已知圆的半径为Ｒ．求：
    （１）质点Ａ的角速度满足什么条件时，Ａ才能与Ｂ相遇？
    （２）质点Ａ的角速度满足什么条件时，Ａ的速度才能与Ｂ的速度相同？
    解析  （１）Ａ只能在ｄ点与Ｂ相遇，Ｂ下落的时间一定，而在这段时间内，由于ω不同，Ａ可以多次通过ｄ点．
    对于Ａ质点，其转过的角度应为２ｎπ＋，则有
    ω ｔ＝２ｎπ＋．
    对于Ｂ质点有Ｒ＝ｇｔ２，即ｔ＝．
    联立以上各式得ω ＝（ｎ＋）π．
    上述各式中ｎ＝０，１，２，３，…
    （２）Ａ只有通过ｃ点时，才可能与下落中的Ｂ质点速度相同，而Ａ的速度大小一定．
    对于Ａ有ｖ＝ω′Ｒ，ω′ ｔ′＝（２ｎ＋１）π．
    对于Ｂ有ｖ＝ｇｔ′．
    联立以上各式得＝． 
    解得ω ′＝．
    上述各式中，ｎ＝０，１，２，３，…
    (图祥见《高中生》杂志05年4期上半月刊学习辅导)

    五、圆周运动与其他运动的结合
    当研究圆周运动和其他运动相结合的问题时，特别要注意寻找两种运动的结合点，如位移关系、速度关系和时间关系等，特殊的还要考虑到圆周运动的特点，如具有周期性等．
    例５  如图６所示，半径为Ｒ的圆板匀速转动．当半径ＯＢ转动到某一方向时，在圆板中心正上方高ｈ处以平行于ＯＢ方向水平抛出一小球，要使小球与圆板只碰撞一次，且着落点为Ｂ，求小球的初速度大小和圆板转动的角速度．
    解析  小球做平抛运动的水平位移为ｓ＝Ｒ＝ｖ０ ｔ ． ①
    小球的竖直位移为ｈ＝ｇｔ２． ②
    由②式得ｔ ＝ ，将其代入①式得
    ｖ０ ＝  ＝Ｒ．
    在小球运动的时间ｔ内，设圆板转了ｎ圈，则其角速度为
    ω ＝＝＝ｎπ（ｎ＝１，２，３，…）．
    小结  综上所述，在处理圆周运动的问题时，在明确研究对象之后应该特别注意两个方面：一是确定研究对象运动的轨道半径和圆心位置，从而确定向心力的方向；二是明确向心力是效果力，它和拉力、支持力等相似，不能和重力、弹力、摩擦力等相提并论，所以在进行受力分析时，一定不能在重力、弹力、摩擦力之外再添加向心力．

    (图祥见《高中生》杂志05年4期上半月刊学习辅导)