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浙江省湖州市2016年中考数学试题详解版2016年浙江省湖州市中考数学试卷一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请选出各题中一个最符合题意的选项,并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑,不选、多选、错选均不给分1.计算(﹣20)+16的结果是()A.﹣4B.4C.﹣2016D.20162.为了迎接杭州G20峰会,某校开展了设计"YJG20"图标的活动,下列图形中及时轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.3.由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是()A.B.C.D.4.受"乡村旅游第一市"的品牌效应和2015年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响,2016年湖州市在春节黄金周期间共接待游客约2800000人次,同比增长约56%,将2800000用科学记数法表示应是()A.28×105B.2.8×106C.2.8×105D.0.28×1055.数据1,2,3,4,4,5的众数是()A.5B.3C.3.5D.46.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是()A.8B.6C.4D.27.有一枚均匀的正方体骰子,骰子各个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,若任意抛掷一次骰子,朝上的面的点数记为x,计算|x﹣4|,则其结果恰为2的概率是()A.B.C.D.8.如图,圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是()A.25°B.40°C.50°D.65°9.定义:若点P(a,b)在函数y=的图象上,将以a为二次项系数,b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个"派生函数".例如:点(2,)在函数y=的图象上,则函数y=2x2+称为函数y=的一个"派生函数".现给出以下两个命题:(1)存在函数y=的一个"派生函数",其图象的对称轴在y轴的右侧(2)函数y=的所有"派生函数",的图象都进过同一点,下列判断正确的是()A.命题(1)与命题(2)都是真命题B.命题(1)与命题(2)都是假命题C.命题(1)是假命题,命题(2)是真命题D.命题(1)是真命题,命题(2)是假命题10.如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是()A.4B.C.3D.2二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)11.数5的相反数是.12.方程=1的根是x=.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连结CD,则CD的长是.14.如图1是我们常用的折叠式小刀,图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是度.15.已知四个有理数a,b,x,y同时满足以下关系式:b>a,x+y=a+b,y﹣x<a﹣b.请将这四个有理数按从小到大的顺序用"<"连接起来是.16.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,将点P向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上.(1)k的值是;(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CE⊥x轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为△OAB的面积,若=,则b的值是.三、解答题(本题有8小题,共66分)17.计算:tan45°﹣sin30°+(2﹣)0.18.当a=3,b=﹣1时,求下列代数式的值.(1)(a+b)(a﹣b);(2)a2+2ab+b2.19.湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘.(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式;(2)由于受场地的限制,鱼塘的宽最多只能挖20米,当鱼塘的宽是20米,鱼塘的长为多少米?20.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.(1)求证:BD=CD;(2)若圆O的半径为3,求的长.21.中华文明,源远流长;中华诗词,寓意深广.为了传承优秀传统文化,我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的"中国诗词大会"海选比赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分,为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列统计图表:抽取的200名学生海选成绩分组表组别 海选成绩xA组 50≤x<60B组 60≤x<70C组 70≤x<80D组 80≤x<90E组 90≤x<100请根据所给信息,解答下列问题:(1)请把图1中的条形统计图补充完整;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)(2)在图2的扇形统计图中,记表示B组人数所占的百分比为a%,则a的值为,表示C组扇形的圆心角θ的度数为度;(3)规定海选成绩在90分以上(包括90分)记为"优等",请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩"优等"的有多少人?22.随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进,拥有的养老床位不断增加.(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个,求该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心,其中规划建造三类养老专用房间共100间,这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位),双人间(2个养老床位),三人间(3个养老床位),因实际需要,单人间房间数在10至30之间(包括10和30),且双人间的房间数是单人间的2倍,设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个,求t的值;②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个?最少提供养老床位多少个?23.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).24.数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).(1)初步尝试如图1,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;(2)类比发现如图2,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:AE=2FH;(3)深入探究如图3,若AD=3AB,探究得:的值为常数t,则t=.2016年浙江省湖州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本大题有10小题,每小题3分,共30分)下面每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请选出各题中一个最符合题意的选项,并在答题卷上将相应题次中对应字母的方框涂黑,不选、多选、错选均不给分1.计算(﹣20)+16的结果是()A.﹣4B.4C.﹣2016D.2016【考点】有理数的加法.【分析】根据有理数的加法运算法则进行计算即可得解.【解答】解:(﹣20)+16,=﹣(20﹣16),=﹣4.故选A.2.为了迎接杭州G20峰会,某校开展了设计"YJG20"图标的活动,下列图形中及时轴对称图形又是中心对称图形的是()A.B.C.D.【考点】中心对称图形;轴对称图形.【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.【解答】解:A、是轴对称图形.不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义.故错误;B、不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,沿这条直线对折后它的两部分能够重合;即不满足轴对称图形的定义.也不是中心对称图形.故错误;C、不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,沿这条直线对折后它的两部分能够重合;即不满足轴对称图形的定义.也不是中心对称图形.故错误;D、是轴对称图形,又是中心对称图形.故正确.故选:D.3.由六个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是()A.B.C.D.【考点】简单组合体的三视图.【分析】根据主视方向确定看到的平面图形即可.【解答】解:结合几何体发现:从主视方向看到上面有一个正方形,下面有3个正方形,故选A.4.受"乡村旅游第一市"的品牌效应和2015年国际乡村旅游大会的宣传效应的影响,2016年湖州市在春节黄金周期间共接待游客约2800000人次,同比增长约56%,将2800000用科学记数法表示应是()A.28×105B.2.8×106C.2.8×105D.0.28×105【考点】科学记数法-表示较大的数.【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.【解答】解:2800000=2.8×106,故选:B.5.数据1,2,3,4,4,5的众数是()A.5B.3C.3.5D.4【考点】众数.【分析】直接利用众数的定义分析得出答案.【解答】解:∵数据1,2,3,4,4,5中,4出现的次数最多,∴这组数据的众数是:4.故选:D.6.如图,AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,AD过点P,且与AB垂直.若AD=8,则点P到BC的距离是()A.8B.6C.4D.2【考点】角平分线的性质.【分析】过点P作PE⊥BC于E,根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PA=PE,PD=PE,那么PE=PA=PD,又AD=8,进而求出PE=4.【解答】解:过点P作PE⊥BC于E,∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,∵BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PE=PA=PD,∵PA+PD=AD=8,∴PA=PD=4,∴PE=4.故选C.7.有一枚均匀的正方体骰子,骰子各个面上的点数分别为1,2,3,4,5,6,若任意抛掷一次骰子,朝上的面的点数记为x,计算|x﹣4|,则其结果恰为2的概率是()A.B.C.D.【考点】列表法与树状图法;绝对值;概率的意义.【分析】先求出绝对值方程|x﹣4|=2的解,即可解决问题.【解答】解:∵|x﹣4|=2,∴x=2或6.∴其结果恰为2的概率==.故选C.8.如图,圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∠A=25°,过点C作圆O的切线,交AB的延长线于点D,则∠D的度数是()A.25°B.40°C.50°D.65°【考点】切线的性质;圆周角定理.【分析】首先连接OC,由∠A=25°,可求得∠BOC的度数,由CD是圆O的切线,可得OC⊥CD,继而求得答案.【解答】解:连接OC,∵圆O是Rt△ABC的外接圆,∠ACB=90°,∴AB是直径,∵∠A=25°,∴∠BOC=2∠A=50°,∵CD是圆O的切线,∴OC⊥CD,∴∠D=90°﹣∠BOC=40°.故选B.9.定义:若点P(a,b)在函数y=的图象上,将以a为二次项系数,b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个"派生函数".例如:点(2,)在函数y=的图象上,则函数y=2x2+称为函数y=的一个"派生函数".现给出以下两个命题:(1)存在函数y=的一个"派生函数",其图象的对称轴在y轴的右侧(2)函数y=的所有"派生函数",的图象都进过同一点,下列判断正确的是()A.命题(1)与命题(2)都是真命题B.命题(1)与命题(2)都是假命题C.命题(1)是假命题,命题(2)是真命题D.命题(1)是真命题,命题(2)是假命题【考点】命题与定理.【分析】(1)根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧,a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断.(2)根据"派生函数"y=ax2+bx,x=0时,y=0,经过原点,不能得出结论.【解答】解:(1)∵P(a,b)在y=上,∴a和b同号,所以对称轴在y轴左侧,∴存在函数y=的一个"派生函数",其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题.(2)∵函数y=的所有"派生函数"为y=ax2+bx,∴x=0时,y=0,∴所有"派生函数"为y=ax2+bx经过原点,∴函数y=的所有"派生函数",的图象都进过同一点,是真命题.故选C.10.如图1,在等腰三角形ABC中,AB=AC=4,BC=7.如图2,在底边BC上取一点D,连结AD,使得∠DAC=∠ACD.如图3,将△ACD沿着AD所在直线折叠,使得点C落在点E处,连结BE,得到四边形ABED.则BE的长是()A.4B.C.3D.2【考点】翻折变换(折叠问题);四点共圆;等腰三角形的性质;相似三角形的判定与性质.【分析】只要证明△ABD∽△MBE,得=,只要求出BM、BD即可解决问题.【解答】解:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵∠DAC=∠ACD,∴∠DAC=∠ABC,∵∠C=∠C,∴△CAD∽△CBA,∴=,∴=,∴CD=,BD=BC﹣CD=,∵∠DAM=∠DAC=∠DBA,∠ADM=∠ADB,∴△ADM∽△BDA,∴=,即=,∴DM=,MB=BD﹣DM=,∵∠ABM=∠C=∠MED,∴A、B、E、D四点共圆,∴∠ADB=∠BEM,∠EBM=∠EAD=∠ABD,∴△ABD∽△MBE,∴=,∴BE===.故选B.二、填空题(本题有6小题,每小题4分,共24分)11.数5的相反数是﹣5.【考点】相反数.【分析】直接利用相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做互为相反数,进而得出答案.【解答】解:数5的相反数是:﹣5.故答案为:﹣5.12.方程=1的根是x=﹣2.【考点】分式方程的解.【分析】把分式方程转化成整式方程,求出整式方程的解,再代入x﹣3进行检验即可.【解答】解:两边都乘以x﹣3,得:2x﹣1=x﹣3,解得:x=﹣2,检验:当x=﹣2时,x﹣3=﹣5≠0,故方程的解为x=﹣2,故答案为:﹣2.13.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=6,AC=8,分别以点A,B为圆心,大于线段AB长度一半的长为半径作弧,相交于点E,F,过点E,F作直线EF,交AB于点D,连结CD,则CD的长是5.【考点】作图-基本作图;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.【分析】首先说明AD=DB,利用直角三角形斜边中线等于斜边一半,即可解决问题.【解答】解:由题意EF是线段AB的垂直平分线,∴AD=DB,Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,BC=6,AC=8,∴AB===10,∵AD=DB,∠ACB=90°,∴CD=AB=5.故答案为5.14.如图1是我们常用的折叠式小刀,图2中刀柄外形是一个矩形挖去一个小半圆,其中刀片的两条边缘线可看成两条平行的线段,转动刀片时会形成如图2所示的∠1与∠2,则∠1与∠2的度数和是90度.【考点】平行线的性质.【分析】如图2,AB∥CD,∠AEC=90°,作EF∥AB,根据平行线的传递性得到EF∥CD,则根据平行线的性质得∠1=∠AEF,∠2=∠CEF,所以∠1+∠2=∠AEC=90°【解答】解:如图2,AB∥CD,∠AEC=90°,作EF∥AB,则EF∥CD,所以∠1=∠AEF,∠2=∠CEF,所以∠1+∠2=∠AEF+∠CEF=∠AEC=90°.故答案为90.15.已知四个有理数a,b,x,y同时满足以下关系式:b>a,x+y=a+b,y﹣x<a﹣b.请将这四个有理数按从小到大的顺序用"<"连接起来是y<a<b<x.【考点】有理数大小比较.【分析】由x+y=a+b得出y=a+b﹣x,x=a+b﹣y,求出b<x,y<a,即可得出答案.【解答】解:∵x+y=a+b,∴y=a+b﹣x,x=a+b﹣y,把y=a=b﹣x代入y﹣x<a﹣b得:a+b﹣x﹣x<a﹣b,2b<2x,b<x①,把x=a+b﹣y代入y﹣x<a﹣b得:y﹣(a+b﹣y)<a﹣b,2y<2a,y<a②,∵b>a③,∴由①②③得:y<a<b<x,故答案为:y<a<b<x.16.已知点P在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,将点P向左平移1个单位,再向上平移2个单位得到点Q,点Q也在该函数y=kx+b的图象上.(1)k的值是﹣2;(2)如图,该一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A,B两点,且与反比例函数y=图象交于C,D两点(点C在第二象限内),过点C作CE⊥x轴于点E,记S1为四边形CEOB的面积,S2为△OAB的面积,若=,则b的值是3.【考点】反比例函数与一次函数的交点问题;反比例函数系数k的几何意义.【分析】(1)设出点P的坐标,根据平移的特性写出点Q的坐标,由点P、Q均在一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k<0,b>0)的图象上,即可得出关于k、m、n、b的四元一次方程组,两式做差即可得出k值;(2)根据BO⊥x轴,CE⊥x轴可以找出△AOB∽△AEC,再根据给定图形的面积比即可得出,根据一次函数的解析式可以用含b的代数式表示出来线段AO、BO,由此即可得出线段CE、AE的长度,利用OE=AE﹣AO求出OE的长度,再借助于反比例函数系数k的几何意义即可得出关于b的一元二次方程,解方程即可得出结论.【解答】解:(1)设点P的坐标为(m,n),则点Q的坐标为(m﹣1,n+2),依题意得:,解得:k=﹣2.故答案为:﹣2.(2)∵BO⊥x轴,CE⊥x轴,∴BO∥CE,∴△AOB∽△AEC.又∵=,∴==.令一次函数y=﹣2x+b中x=0,则y=b,∴BO=b;令一次函数y=﹣2x+b中y=0,则0=﹣2x+b,解得:x=,即AO=.∵△AOB∽△AEC,且=,∴.∴AE=AO=b,CE=BO=b,OE=AE﹣AO=b.∵OEoCE=|﹣4|=4,即b2=4,解得:b=3,或b=﹣3(舍去).故答案为:3.三、解答题(本题有8小题,共66分)17.计算:tan45°﹣sin30°+(2﹣)0.【考点】实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分析得出答案.【解答】解:原式=1﹣+1=.18.当a=3,b=﹣1时,求下列代数式的值.(1)(a+b)(a﹣b);(2)a2+2ab+b2.【考点】代数式求值.【分析】(1)把a与b的值代入计算即可求出值;(2)原式利用完全平方公式变形,将a与b的值代入计算即可求出值.【解答】解:(1)当a=3,b=﹣1时,原式=2×4=8;(2)当a=3,b=﹣1时,原式=(a+b)2=22=4.19.湖州市菱湖镇某养鱼专业户准备挖一个面积为2000平方米的长方形鱼塘.(1)求鱼塘的长y(米)关于宽x(米)的函数表达式;(2)由于受场地的限制,鱼塘的宽最多只能挖20米,当鱼塘的宽是20米,鱼塘的长为多少米?【考点】反比例函数的应用.【分析】(1)根据矩形的面积=长×宽,列出y与x的函数表达式即可;(2)把x=20代入计算求出y的值,即可得到结果.【解答】解:(1)由长方形面积为2000平方米,得到xy=2000,即y=;(2)当x=20(米)时,y==100(米),则当鱼塘的宽是20米时,鱼塘的长为100米.20.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连结BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.(1)求证:BD=CD;(2)若圆O的半径为3,求的长.【考点】圆内接四边形的性质;弧长的计算.【分析】(1)直接利用圆周角定理得出∠DCB的度数,再利用∠DCB=∠DBC求出答案;(2)首先求出的度数,再利用弧长公式直接求出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O,∴∠DCB+∠BAD=180°,∵∠BAD=105°,∴∠DCB=180°﹣105°=75°,∵∠DBC=75°,∴∠DCB=∠DBC=75°,∴BD=CD;(2)解:∵∠DCB=∠DBC=75°,∴∠BDC=30°,由圆周角定理,得,的度数为:60°,故===π,答:的长为π.21.中华文明,源远流长;中华诗词,寓意深广.为了传承优秀传统文化,我市某校团委组织了一次全校2000名学生参加的"中国诗词大会"海选比赛,赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分,为了更好地了解本次海选比赛的成绩分布情况,随机抽取了其中200名学生的海选比赛成绩(成绩x取整数,总分100分)作为样本进行整理,得到下列统计图表:抽取的200名学生海选成绩分组表组别 海选成绩xA组 50≤x<60B组 60≤x<70C组 70≤x<80D组 80≤x<90E组 90≤x<100请根据所给信息,解答下列问题:(1)请把图1中的条形统计图补充完整;(温馨提示:请画在答题卷相对应的图上)(2)在图2的扇形统计图中,记表示B组人数所占的百分比为a%,则a的值为15,表示C组扇形的圆心角θ的度数为72度;(3)规定海选成绩在90分以上(包括90分)记为"优等",请估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩"优等"的有多少人?【考点】条形统计图;用样本估计总体;扇形统计图.【分析】(1)用随机抽取的总人数减去A、B、C、E组的人数,求出D组的人数,从而补全统计图;(2)用B组抽查的人数除以总人数,即可求出a;用360乘以C组所占的百分比,求出C组扇形的圆心角θ的度数;(3)用该校参加这次海选比赛的总人数乘以成绩在90分以上(包括90分)所占的百分比,即可得出答案.【解答】解:(1)D的人数是:200﹣10﹣30﹣40﹣70=50(人),补图如下:(2)B组人数所占的百分比是×100%=15%,则a的值是15;C组扇形的圆心角θ的度数为360×=72°;故答案为:15,72;(3)根据题意得:2000×=700(人),答:估计该校参加这次海选比赛的2000名学生中成绩"优等"的有700人.22.随着某市养老机构(养老机构指社会福利院、养老院、社区养老中心等)建设稳步推进,拥有的养老床位不断增加.(1)该市的养老床位数从2013年底的2万个增长到2015年底的2.88万个,求该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率;(2)若该市某社区今年准备新建一养老中心,其中规划建造三类养老专用房间共100间,这三类养老专用房间分别为单人间(1个养老床位),双人间(2个养老床位),三人间(3个养老床位),因实际需要,单人间房间数在10至30之间(包括10和30),且双人间的房间数是单人间的2倍,设规划建造单人间的房间数为t.①若该养老中心建成后可提供养老床位200个,求t的值;②求该养老中心建成后最多提供养老床位多少个?最少提供养老床位多少个?【考点】一次函数的应用;一元一次方程的应用;一元二次方程的应用.【分析】(1)设该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x,根据"2015年的床位数=2013年的床位数×(1+增长率)的平方"可列出关于x的一元二次方程,解方程即可得出结论;(2)①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30),则建造双人间的房间数为2t,三人间的房间数为100﹣3t,根据"可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数"即可得出关于t的一元一次方程,解方程即可得出结论;②设该养老中心建成后能提供养老床位y个,根据"可提供的床位数=单人间数+2倍的双人间数+3倍的三人间数"即可得出y关于t的函数关系式,根据一次函数的性质结合t的取值范围,即可得出结论.【解答】解:(1)设该市这两年(从2013年度到2015年底)拥有的养老床位数的平均年增长率为x,由题意可列出方程:2(1+x)2=2.88,解得:x1=0.2=20%,x2=﹣2.2(不合题意,舍去).答:该市这两年拥有的养老床位数的平均年增长率为20%.(2)①设规划建造单人间的房间数为t(10≤t≤30),则建造双人间的房间数为2t,三人间的房间数为100﹣3t,由题意得:t+4t+3=200,解得:t=25.答:t的值是25.②设该养老中心建成后能提供养老床位y个,由题意得:y=t+4t+3=﹣4t+300(10≤t≤30),∵k=﹣4<0,∴y随t的增大而减小.当t=10时,y的最大值为300﹣4×10=260(个),当t=30时,y的最小值为300﹣4×30=180(个).答:该养老中心建成后最多提供养老床位260个,最少提供养老床位180个.23.如图,已知二次函数y=﹣x2+bx+c(b,c为常数)的图象经过点A(3,1),点C(0,4),顶点为点M,过点A作AB∥x轴,交y轴于点D,交该二次函数图象于点B,连结BC.(1)求该二次函数的解析式及点M的坐标;(2)若将该二次函数图象向下平移m(m>0)个单位,使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边界),求m的取值范围;(3)点P是直线AC上的动点,若点P,点C,点M所构成的三角形与△BCD相似,请直接写出所有点P的坐标(直接写出结果,不必写解答过程).【考点】二次函数综合题.【分析】(1)将点A、点C的坐标代入函数解析式,即可求出b、c的值,通过配方法得到点M的坐标;(2)点M是沿着对称轴直线x=1向下平移的,可先求出直线AC的解析式,将x=1代入求出点M在向下平移时与AC、AB相交时y的值,即可得到m的取值范围;(3)由题意分析可得∠MCP=90°,则若△PCM与△BCD相似,则要进行分类讨论,分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种,然后利用边的对应比值求出点坐标.【解答】解:(1)把点A(3,1),点C(0,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+c得,解得∴二次函数解析式为y=﹣x2+2x+4,配方得y=﹣(x﹣1)2+5,∴点M的坐标为(1,5);(2)设直线AC解析式为y=kx+b,把点A(3,1),C(0,4)代入得,解得∴直线AC的解析式为y=﹣x+4,如图所示,对称轴直线x=1与△ABC两边分别交于点E、点F把x=1代入直线AC解析式y=﹣x+4解得y=3,则点E坐标为(1,3),点F坐标为(1,1)∴1<5﹣m<3,解得2<m<4;(3)连接MC,作MG⊥y轴并延长交AC于点N,则点G坐标为(0,5)∵MG=1,GC=5﹣4=1∴MC==,把y=5代入y=﹣x+4解得x=﹣1,则点N坐标为(﹣1,5),∵NG=GC,GM=GC,∴∠NCG=∠GCM=45°,∴∠NCM=90°,由此可知,若点P在AC上,则∠MCP=90°,则点D与点C必为相似三角形对应点①若有△PCM∽△BDC,则有∵BD=1,CD=3,∴CP===,∵CD=DA=3,∴∠DCA=45°,若点P在y轴右侧,作PH⊥y轴,∵∠PCH=45°,CP=∴PH==把x=代入y=﹣x+4,解得y=,∴P1();同理可得,若点P在y轴左侧,则把x=﹣代入y=﹣x+4,解得y=∴P2();②若有△PCM∽△CDB,则有∴CP==3∴PH=3÷=3,若点P在y轴右侧,把x=3代入y=﹣x+4,解得y=1;若点P在y轴左侧,把x=﹣3代入y=﹣x+4,解得y=7∴P3(3,1);P4(﹣3,7).∴所有符合题意得点P坐标有4个,分别为P1(),P2(),P3(3,1),P4(﹣3,7).24.数学活动课上,某学习小组对有一内角为120°的平行四边形ABCD(∠BAD=120°)进行探究:将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转,且60°角的顶点始终与点C重合,较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB,AD于点E,F(不包括线段的端点).(1)初步尝试如图1,若AD=AB,求证:①△BCE≌△ACF,②AE+AF=AC;(2)类比发现如图2,若AD=2AB,过点C作CH⊥AD于点H,求证:AE=2FH;(3)深入探究如图3,若AD=3AB,探究得:的值为常数t,则t=.【考点】几何变换综合题.【分析】(1)①先证明△ABC,△ACD都是等边三角形,再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题.②根据①的结论得到BE=AF,由此即可证明.(2)设DH=x,由由题意,CD=2x,CH=x,由△ACE∽△HCF,得=由此即可证明.(3)如图3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM与AD交于点H.先证明△CFN∽△CEM,得=,由ABoCM=ADoCN,AD=3AB,推出CM=3CN,所以==,设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,想办法求出AC,AE+3AF即可解决问题.【解答】解;(1)①∵四边形ABCD是平行四边形,∠BAD=120°,∴∠D=∠B=60°,∵AD=AB,∴△ABC,△ACD都是等边三角形,∴∠B=∠CAD=60°,∠ACB=60°,BC=AC,∵∠ECF=60°,∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°,∴∠BCE=∠ACF,在△BCE和△ACF中,∴△BCE≌△ACF.②∵△BCE≌△ACF,∴BE=AF,∴AE+AF=AE+BE=AB=AC.(2)设DH=x,由由题意,CD=2x,CH=x,∴AD=2AB=4x,∴AH=AD﹣DH=3x,∵CH⊥AD,∴AC==2x,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,∴∠BAC=∠ACD=90°,∴∠CAD=30°,∴∠ACH=60°,∵∠ECF=60°,∴∠HCF=∠ACE,∴△ACE∽△HCF,∴==2,∴AE=2FH.(3)如图3中,作CN⊥AD于N,CM⊥BA于M,CM与AD交于点H.∵∠ECF+∠EAF=180°,∴∠AEC+∠AFC=180°,∵∠AFC+∠CFN=180°,∴∠CFN=∠AEC,∵∠M=∠CNF=90°,∴△CFN∽△CEM,∴=,∵ABoCM=ADoCN,AD=3AB,∴CM=3CN,∴==,设CN=a,FN=b,则CM=3a,EM=3b,∵∠MAH=60°,∠M=90°,∴∠AHM=∠CHN=30°,∴HC=2a,HM=a,HN=a,∴AM=a,AH=a,∴AC==a,AE+3AF=(EM﹣AM)+3(AH+HN﹣FN)=EM﹣AM+3AH+3HN﹣3FN=3AH+3HN﹣AM=a,∴==.故答案为.
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