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2015年秋江苏省南京市高淳区中考数学一模试卷含解析2015年江苏省南京市高淳区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1．3﹣1的值等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．16的平方根是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．±23．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5 B．ab6 C．a3b5 D．a3b64．正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A（m，2），B两点．则点B的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）5．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A． B． C． D．6．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．计算：（﹣3）×2+4=．8．函数y=中自变量x的取值范围是．9．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°，则∠2的度数为°．10．化简2的结果为．11．某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是分．12．用一个半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径cm．13．同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为．14．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有．（填写所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式：＜6﹣．18．先化简，再求值：1+，其中a=﹣．19．为了倡导"节约用水，从我做起"，某市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查．市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭去年一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）写出这100个样本数据的众数和中位数；（3）试估计该市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？20．不透明的口袋里装有3个球，这3个球分别标有数字1、2、3，这些球除了数字以外都相同．（1）如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字为3的球的概率是；（2）小明和小亮进行摸球游戏，游戏规则如下：先由小明从袋中任意摸出一个球，记下球的数字后放回袋中搅匀，再由小亮从袋中任意摸出一个球，记下球的数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．21．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？22．如图，一堤坝的坡角∠ABC=60°，坡面长度AB=24米（图为横截面）．为了使堤坝更加牢固，需要改变堤坝的坡面，为使得坡面的坡角∠ADB=50°，则应将堤坝底端向外拓宽（BD）多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）23．已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 …y … 10 5 2 1 2 …（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）求出y≤10时自变量x的取值范围（可以结合图象说理）．24．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．25．高淳区去年螃蟹放养面积为20万亩，每亩产量为40kg，为满足市场需要，今年该区扩大了放养面积，并且全部放养了高产的新品种螃蟹．已知今年螃蟹的总产量为1500万kg，且螃蟹放养面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，求该区今年螃蟹的亩产量．26．小明早晨从家里出发匀速步行去学校，路上一共用时20分钟．小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．设小明从家到学校的过程中，出发t分钟时，他和妈妈所在的位置与家的距离分别为s1（千米）和s2（千米），其中s1（千米）与t（分钟）之间的函数关系的图象为图中的折线段OA﹣AB．（1）请解释图中线段AB的实际意义；（2）试求出小明从家到学校一共走过的路程；（3）在所给的图中画出s2（千米）与t（分钟）之间函数关系的图象（给相关的点标上字母，指出对应的坐标），并指出图象的形状．27．（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：EF=EG；（2）如图2，将（1）中的"正方形ABCD"改成"矩形ABCD"，其他条件不变．若AB=m，BC=n，试求的值；（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB=2，BC=4，求EG、EF的长．2015年江苏省南京市高淳区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1．3﹣1的值等于（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．考点：负整数指数幂．分析：根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．解答：解：3﹣1=，故选：D．点评：本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．2．16的平方根是（）A．4 B．﹣4 C．±4 D．±2考点：平方根．分析：根据平方根定义求出即可．解答：解：16的平方根是±4，故选C．点评：本题考查了平方根的应用，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数．3．计算（ab2）3的结果是（）A．ab5 B．ab6 C．a3b5 D．a3b6考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．解答：解：（ab2）3=a3o（b2）3=a3b6．故选D．点评：本题考查积的乘方，把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．4．正比例函数y=﹣2x与反比例函数y=的图象相交于A（m，2），B两点．则点B的坐标是（）A．（﹣2，1） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（2，﹣1）考点：反比例函数与一次函数的交点问题．分析：认真审题，首先将点A代入y=﹣2x，求出点A的坐标，再将点A代入y=求出k的值，联立即可得解．解答：解：将点A（m，2）代入y=﹣2x得：2=﹣2m，解得：m=﹣1，将点A（﹣1，2）代入y=得：k=﹣2，∴y=﹣，∴，解得：，，∴点B（1，﹣2），故选B．点评：本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点的坐标同时满足相交的所有图象的解析式，求交点时可以把这些解析式联立，构造方程组，进而得解．5．下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A． B． C． D．考点：展开图折叠成几何体．分析：根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．解答：解：A、折叠后少一面，故本选项错误；B、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；C、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；D、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选C．点评：本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，不能有两个侧面在两三角形的同一侧．6．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0）的图象过点A（0，1）、B（8，2），则h的值可以是（）A．3 B．4 C．5 D．6考点：二次函数图象上点的坐标特征．专题：计算题．分析：把A点和B点坐标分别代入解析式得到方程组，消去k得到可解得a=，然后利用a＞0得到h的取值范围，再利用此范围对各选项进行判断．解答：解：把A（0，1）、B（8，2）分别代入y=a（x﹣h）2+k（a＞0）得，②﹣①得64a﹣16ah=1，解得a=＞0，所以h＜4．故选A．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解题的关键是利用对应值确定对称轴，再利用二次函数的性质求解．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．计算：（﹣3）×2+4=﹣2．考点：有理数的混合运算．专题：计算题．分析：原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．解答：解：原式=﹣6+4=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．函数y=中自变量x的取值范围是x≠0．考点：函数自变量的取值范围．分析：根据分式有意义，分母不等于0解答．解答：解：函数y=中自变量x的取值范围是x≠0．故答案为：x≠0．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=55°，则∠2的度数为35°．考点：平行线的性质；余角和补角．分析：根据平角等于180°求出∠3，再根据两直线平行，同位角相等可得∠2+90°=∠3．解答：解：如图：∵∠3=180°﹣∠1=180°﹣55°=125°，∵直尺两边互相平行，∴∠2+90°=∠3，∴∠2=125°﹣90°=35°．故答案为：35．点评：本题考查了平行线的性质，平角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．10．化简2的结果为﹣．考点：二次根式的加减法．分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．解答：解：原式=2×﹣2=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查了二次根式的加减运算，解答本题得关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．11．某校规定：学生的数学学期综合成绩是由平时、期中和期末三项成绩按3：3：4的比例计算所得．若某同学本学期数学的平时、期中和期末成绩分别是90分，90分和85分，则他本学期数学学期综合成绩是88分．考点：加权平均数．分析：按3：3：4的比例算出本学期数学学期综合成绩即可．解答：解：本学期数学学期综合成绩=90×30%+90×30%+85×40%=88（分）．故答案为：88．点评：本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩=3：3：4的含义就是分别占总数的30%、30%、40%．12．用一个半径为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径3cm．考点：圆锥的计算．专题：计算题．分析：由于半圆的弧长=圆锥的底面周长，那么圆锥的底面周长为6πcm，底面半径=6π÷2π．解答：解：由题意知：底面周长=6πcm，∴底面半径=6π÷2π=3cm．故答案为：3．点评：此题主要考查了圆锥侧面展开扇形与底面圆之间的关系，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，解决本题的关键是应用半圆的弧长=圆锥的底面周长．13．同时抛掷两枚材质均匀的硬币，则正面都向上的概率为．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：列表得出所有等可能的情况数，求出正面都向上的概率即可．解答：解：列表如下：正反正（正，正）（反，正）反（正，反）（反，反）所有等可能的情况有4种，正面都向上的情况有1种，则P=，故答案为：点评：此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．一元二次方程x2+mx+2m=0的两个实根分别为x1，x2，若x1+x2=1，则x1x2=﹣2．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣m=1，x1x2=2m，先求出m的值，然后计算x1x2的值．解答：解：根据题意得x1+x2=﹣m=1，x1x2=2m，所以m=﹣1，所以x1x2=﹣2．故答案为﹣2．点评：本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．15．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=50°．考点：圆内接四边形的性质．分析：连结EF，如图，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠BCD=180°，根据对顶角相等得∠BCD=∠ECF，则∠A+∠ECF=180°，根据三角形内角和定理得∠ECF+∠1+∠2=180°，所以∠1+∠2=∠A，再利用三角形内角和定理得到∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，则∠A+80°+∠A=180°，然后解方程即可．解答：解：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．点评：本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了三角形内角和定理．16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF的周长不变；③点C到线段EF的最大距离为1．其中正确的结论有①③．（填写所有正确结论的序号）考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．分析：①作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，得到EF的值是变化的，DE和DF也是变化的，于是四边形CEDF的周长变，不正确，③△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离是1．解答：解：①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．∴①正确；②当E、F分别为AC、BC中点时，EF取最小值，∴EF的值是变化的，∴DE和DF也是变化的，∴四边形CEDF的周长变，∴②不正确，③△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当EF∥AB时，∵AE=CF，∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，∴EF取最小值=2，∵CE=CF=，∴此时点C到线段EF的最大距离=EF=1，∴③正确，故答案为：①③点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，找到EF∥BC时取最小值是解题关键．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式：＜6﹣．考点：解一元一次不等式．分析：利用不等式的基本性质解不等式即可．解答：解：＜6﹣，去分母得，x﹣3＜24﹣2（3﹣4x），去括号得，x﹣3＜24﹣6+8x，移项，合并同类项得，7x＞﹣21，解得x＞﹣3．所以，不等式的解集为x＞﹣3．点评：本题考查了解一元一次不等式，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键，解不等式应根据不等式的基本性质．18．先化简，再求值：1+，其中a=﹣．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．解答：解：原式=1+o，=1﹣，=，=﹣，当a=﹣时，原式=2．点评：本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．为了倡导"节约用水，从我做起"，某市政府决定对市直机关500户家庭的用水情况作一次调查．市政府调查小组随机抽查了其中的100户家庭去年一年的月平均用水量（单位：吨），并将调查结果制成了如图所示的条形统计图．（1）请将条形统计图补充完整；（2）写出这100个样本数据的众数和中位数；（3）试估计该市直机关500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有多少户？考点：频数（率）分布直方图；中位数；众数．分析：（1）根据条形统计图中的数据得出平均用水10吨，12吨，13吨，14吨的户数，进而求出平均用水11吨的户数，再画出条形图即可；（2）根据众数与中位数的定义分别求解即可；（3）根据样本估计总体得出答案即可．解答：解：（1）根据条形图可得出：平均用水11吨的用户为：100﹣20﹣10﹣20﹣10=40（户），条形统计图补充如下：（2）因为11出现次数最多，所以众数为：11，根据100个数据的最中间为第50和第51个数据，按大小排列后第50，51个数据都是11，则中位数为：11；答：这100个样本数据的众数和中位数分别是11，11；（3）样本中不超过12吨的有20+40+10=70（户），则该社区500户家庭中月平均用水量不超过12吨的约有：500×=350（户）．点评：此题考查了读统计图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．也考查了众数、中位数的统计意义．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．20．不透明的口袋里装有3个球，这3个球分别标有数字1、2、3，这些球除了数字以外都相同．（1）如果从袋中任意摸出一个球，那么摸到标有数字为3的球的概率是；（2）小明和小亮进行摸球游戏，游戏规则如下：先由小明从袋中任意摸出一个球，记下球的数字后放回袋中搅匀，再由小亮从袋中任意摸出一个球，记下球的数字．谁摸出的球的数字大，谁获胜．这个游戏规则对双方公平吗？请说明理由．考点：游戏公平性；概率公式；列表法与树状图法．分析：（1）根据球的个数和概率公式即可得出答案；（2）游戏是否公平，关键要看游戏双方赢的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等．解答：解：（1）∵共有3个数字，∴摸到标有数字为3的球的概率是；故答案为：；（2）公平，理由如下：由树状图可知，P（小明获胜）=，P（小亮获胜）=，∵P（小明获胜）=P（小亮获胜），∴游戏规则对双方公平．点评：本题考查的是游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，连接AD、CF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？考点：菱形的判定；平行四边形的判定．分析：（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF=DC，利用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．解答：（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴DE∥AB，∵AF∥BC，∴四边形ABDF是平行四边形，∴AF=BD，则AF=DC，∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，∴AD=DC，∴平行四边形ADCF是菱形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．22．如图，一堤坝的坡角∠ABC=60°，坡面长度AB=24米（图为横截面）．为了使堤坝更加牢固，需要改变堤坝的坡面，为使得坡面的坡角∠ADB=50°，则应将堤坝底端向外拓宽（BD）多少米？（结果精确到0.1米）（参考数据：≈1.73，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE﹣BE即可求解．解答：解：过A点作AE⊥CD于E．∵在Rt△ABE中，∠ABE=60°，∴AE=ABosin60°=24×=12≈20.76米，BE=ABocos60°=24×=12米，∵在Rt△ADE中，∠ADE=50°，∴DE=≈17.3米，∴DB=DE﹣BE≈5.3米．答：此时应将坝底向外拓宽大约5.3米．点评：考查了解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解答本题的关键是根据所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．23．已知二次函数y=ax2+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 …y … 10 5 2 1 2 …（1）求该二次函数的函数关系式；（2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象；（3）求出y≤10时自变量x的取值范围（可以结合图象说理）．考点：待定系数法求二次函数解析式；二次函数的图象；二次函数的性质．分析：（1）当x=1或3时，y均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为（2，1），设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a的值，也就求得了二次函数的值；（2）根据图表中的对应点，画出函数的图象即可；（3）由表格中的值可以判断函数值等于10的自变量的值，再利用二次函数增减性求出即可．解答：解：（1）由图表可知抛物线y=ax2+bx+c过点（1，2），（3，2），求出对称轴即可：x=2；∴顶点坐标为：（2，1），∴设y=a（x﹣2）2+1，将（1，2）代入可得：a+1=2，解得：a=1，∴二次函数的解析式为：y=（x﹣2）2+1=x2﹣4x+5．（2）由表格中的值可以判断：图象与x轴交点坐标为：（1，2），（3，2），顶点坐标为：（2，1），（3）由图表可知抛物线y=ax2+bx+c过点（﹣1，10），求出对称轴：x=2；∴抛物线y=ax2+bx+c过点（5，10），∴y≤10时自变量x的取值范围：﹣1≤x≤5．点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数图象．24．如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD=2∠BAC．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为cm，弦BD的长为3cm，求CF的长．考点：切线的判定．专题：证明题．分析：（1）连结OC，如图，由于∠A=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；（2）解：作OH⊥BD于H，如图，根据垂径定理得到BH=DH=BD=，在Rt△OBH中可利用勾股定理计算出OH=2，易得四边形OHEC为矩形，则CE=OH=2，HE=OC=，BE=1，然后证明△FBE∽△FOC，利用相似比可计算出CF．解答：（1）证明：连结OC，如图，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA，∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，∵∠ABD=2∠BAC，∴∠ABD=∠BOC，∴OC∥BD，∵CE⊥BD，∴OC⊥CE，∴CF为⊙O的切线；（2）解：作OH⊥BD于H，如图，则BH=DH=BD=，在Rt△OBH中，∵OB=，BH=，∴OH==2，易得四边形OHEC为矩形，∴CE=OH=2，HE=OC=，∴BE=NE﹣BH=1，∵BF∥OC，∴△FBE∽△FOC，∴=，即=，∴CF=．点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．25．高淳区去年螃蟹放养面积为20万亩，每亩产量为40kg，为满足市场需要，今年该区扩大了放养面积，并且全部放养了高产的新品种螃蟹．已知今年螃蟹的总产量为1500万kg，且螃蟹放养面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，求该区今年螃蟹的亩产量．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．解答：解：设螃蟹亩产量的增长率为x，则养殖面积的增长率为2x．根据题意，得20（1+2x）o40（1+x）=1500．解得：x1==25%，x2=﹣（不合题意，舍去）．∴今年的亩产量为40（1+25%）=50千克，答：螃蟹亩产量为50千克．点评：本题考查的是基本的一元二次方程的应用题，解题的关键是设出亩产量的增长率并表示出种植面积的增长率，难度一般．26．小明早晨从家里出发匀速步行去学校，路上一共用时20分钟．小明的妈妈在小明出发后10分钟，发现小明的数学课本没带，于是她带上课本立即匀速骑车按小明上学的路线追赶小明，结果与小明同时到达学校．设小明从家到学校的过程中，出发t分钟时，他和妈妈所在的位置与家的距离分别为s1（千米）和s2（千米），其中s1（千米）与t（分钟）之间的函数关系的图象为图中的折线段OA﹣AB．（1）请解释图中线段AB的实际意义；（2）试求出小明从家到学校一共走过的路程；（3）在所给的图中画出s2（千米）与t（分钟）之间函数关系的图象（给相关的点标上字母，指出对应的坐标），并指出图象的形状．考点：一次函数的应用．分析：（1）AB段离家距离没发生变化说明在以家为圆心做曲线运动；（2）由图象可知，当x=12时，y=1，即小明12分钟步行的路程为1千米，所以小明步行的速度为：1÷12=（千米/分钟），根据线段AB的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟，求得小明8分钟走的路程为：（千米），所以小明从家到学校一共走过的路程为：1+=（千米）．（3）妈妈的速度正好是小明的2倍，所以妈妈走弧线路用（20﹣12）÷2=4分钟．解答：解：（1）图中线段AB的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟；（2）由图象可知，当x=12时，y=1，即小明12分钟步行的路程为1千米，∴小明步行的速度为：1÷12=（千米/分钟），∵线段AB的实际意义是：小明出发12分钟后，沿着以他家为圆心，1千米为半径的圆弧形道路上匀速步行了8分钟，∴小明8分钟走的路程为：（千米），∴小明从家到学校一共走过的路程为：1+=（千米）．（3）∵由图象可知，小明花20分钟到达学校，∴小明的妈妈花20﹣10=10分钟到达学校，∴小明妈妈的速度是小明的2倍，即：小明花12分钟走1千米，则妈妈花6分钟走1千米，∴D（16，1），∵小明花20﹣12=8分钟走圆弧形道路，则妈妈花4分钟走圆弧形道路，∴B（20，1）．∴妈妈的图象经过（10，0）（16，1）（20，1），如图中折线段CD﹣DB就是所作图象．点评：本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．特别的作一次函数图象，关键在于确定点，点确定好了，连接就可以得到函数图象．27．（1）如图1，将直角的顶点E放在正方形ABCD的对角线AC上，使角的一边交CD于点F，另一边交CB或其延长线于点G，求证：EF=EG；（2）如图2，将（1）中的"正方形ABCD"改成"矩形ABCD"，其他条件不变．若AB=m，BC=n，试求的值；（3）如图3，将直角顶点E放在矩形ABCD的对角线交点，EF、EG分别交CD与CB于点F、G，且EC平分∠FEG．若AB=2，BC=4，求EG、EF的长．考点：四边形综合题．分析：（1）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、P，然后利用ASA证得Rt△FEP≌Rt△GEH，则问题得证；（2）首先过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N，易证得EM∥AB，EN∥AD，则可证得△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，又由有两角对应相等的三角形相似，证得△GME∽△FNE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，可得四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，可得EC平分∠FEG，可得矩形EPCQ是正方形，然后易证△PCG≌△QCF（AAS），进而可得：CG=CF，由（2）知：==2，进而可得：EF=2EG，然后易证EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，进而可得：EM=1，EN=2，MC=2，CN=1，然后易证△EMG∽△ENF，进而可得，即NF=2MG，然后设MG=x，根据CG=CF，列出方程即可解出x的值，即MG的值，然后在Rt△EMG中，由勾股定理即可求出EG的值，进而可得EF的值．解答：（1）证明：如图1，过点E作EH⊥BC于H，过点E作EP⊥CD于P，∵四边形ABCD为正方形，∴CE平分∠BCD，又∵EH⊥BC，EP⊥CD，∴EH=EP，∴四边形EHCP是正方形，∴∠HEP=90°，∵∠GEH+∠HEF=90°，∠PEF+∠HEF=90°，∴∠PEF=∠GEH，∴Rt△FEP≌Rt△GEH，∴EF=EG；（2）解：如图2，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，则∠MEN=90°，∴EM∥AB，EN∥AD．∴△CEN∽△CAD，△CEM∽△CAB，∴，，∴，即．∴，∴；（3）解：如图3，过点E作EM⊥BC于M，过点E作EN⊥CD于N，垂足分别为M、N，过点C作CP⊥EG交EG的延长线于点P，过点C作CQ⊥EF垂足为Q，则四边形EPCQ是矩形，四边形EMCN是矩形，∵EC平分∠FEG，∴CQ=CP，∴矩形EPCQ是正方形，∴∠QCP=90°，∴∠QCG+∠PCG=90°，∵∠QCG+∠QCF=90°，∴∠PCG=∠QCF，在△PCG和△QCF中，，∴△PCG≌△QCF（AAS），∴CG=CF，由（2）知：=，∵BC=4，AB=2，∴==2，∴EF=2EG，∵点E放在矩形ABCD的对角线交点，∴EM和EN分别是△ABC和△BCD的中位线，∴EM=AB=1，EN=AD==2，MC=，CN=，∵四边形EMCN是矩形，∴∠NEM=90°，∴∠MEG+∠GEN=90°，∵∠GEF=90°，∴∠FEN+∠GEN=90°，∴∠MEG=∠FEN，∵∠EMG=∠FNE=90°，∴△EMG∽△ENF，∴，即NF=2MG，设MG=x，则NF=2x，CG=2﹣x，CF=1+2x，∵CG=CF，∴2﹣x=1+2x，解得：x=，∴MG=，在Rt△EMG中，由勾股定理得：EG==，∵EF=2EG，∴EF=．点评：此题考查了正方形，矩形的性质，以及全等三角形与相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，注意数形结合思想的应用．