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黔东南州2016届贵州省中考数学一模试卷含答案解析2016年贵州省黔东南州中考数学一模试卷一、选择题：每小题4分，10个小题，共40分．1．下列计算正确的是（）A．3a﹣2a=1 B．a4oa6=a24 C．a2÷a=a D．（a+b）2=a2+b22．下列图形中，为中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米，已知某种植物花粉的直径约为15000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（）A．1.5×10﹣13米 B．15×10﹣6米 C．1.5×10﹣5米 D．1.5×10﹣6米4．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．5．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°6．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣27．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（）A．500元 B．400元 C．300元 D．200元8．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞39．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）A． B． C． D．210．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A． B． C．1﹣ D．1﹣二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。答题用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上。11．比较大小：﹣﹣，2．12．在实数范围内分解因式4x4﹣1=．13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，CD=．14．如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为．15．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+1﹣3m=0的两个实数根，且x1、x2满足不等式x1ox2+2（x1+x2）＞0，求实数m的取值范围是．16．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为．17．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍放入（填"能"或"不能"）．18．计算：=．三、解答题：本题共7小题，共78分，答题用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔字书写在答题卡的相应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．先化简，再求值：（﹣）o，其中x=﹣2．20．为了测量学校旗杆AB的高度，学校数学实践小组做了如下实验：在阳光的照射下，旗杆AB的影子恰好落在水平地面BC的斜坡坡面CD上，测得BC=20m，CD=18m，太阳光线AD与水平面夹角为30°且与斜坡CD垂直．根据以上数据，请你求出旗杆AB的高度．（结果保留根号）21．图1是某城市三月份1至8日的日最高气温随时间变化的折线统计图，小刚根据图1将数据统计整理后制成了图2．根据图中信息，解答下列问题：（1）将图2补充完整；（2）这8天的日最高气温的中位数是℃；（3）计算这8天的日最高气温的平均数．22．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．（1）用列表法或树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率；（3）小明、小华玩游戏，规则如下：组成数对和为偶数小明赢，组成数对和为奇数小华赢．你认为这个游戏公平吗？若不公平，请重新设计一个对小明、小华都公平的游戏．23．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DFA；（2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值．24．某公园的门票每张10元，为了吸引更多的游客，该公园管理除保留原来的售票方法外，还推出了一种"购买年卡"的优惠方法，年卡分为A、B、C三种：A卡每张120元，持卡进入不用再买门票；B卡每张60元，持卡进入公园需要再买门票，每张2元；C卡每张30元，持票进入公园时，购买每张4元的门票．（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用100元花在去该公园玩的门票上，请问哪种购票方式可使你进入该公园的次数最多？（2）求一年中进入该公园至少多少次，购买A类年票比较合算．25．如图，已知抛物线y1=+bx+c和直线y2=kx+h都经过A（1，0），B（﹣2，3）两点．（1）求抛物线y1及直线y2的解析式；根据图象，写出+bx+c≥kx+h的x的取值范围．（2）点P是抛物线上一动点，在直线AB的下方，当点P与点A、B围成的△PAB的面积最大时，请求出P点坐标；（3）抛物线上是否存在一点M，使△MAB的面积与△OAB相等？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．2016年贵州省黔东南州中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题4分，10个小题，共40分．1．下列计算正确的是（）A．3a﹣2a=1 B．a4oa6=a24 C．a2÷a=a D．（a+b）2=a2+b2【考点】完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；同底数幂的除法．【分析】利用合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及完全平方公式的知识求解，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【解答】解：A、3a﹣2a=a，故本选项错误；B、a4oa6=a10，故本选项错误；C、a2÷a=a，故本选项正确；D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项错误．故选C．【点评】此题考查了合并同类项、同底数幂的乘法、同底数幂的除法以及完全平方公式的知识．此题比较简单，注意掌握指数的变化是解此题的关键．2．下列图形中，为中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，结合图形判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选B．【点评】本题考查了中心对称图形的知识，属于基础题，掌握中心对称的定义是解答本题的关键．3．纳米是一种长度单位，1纳米=10﹣9米，已知某种植物花粉的直径约为15000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（）A．1.5×10﹣13米 B．15×10﹣6米 C．1.5×10﹣5米 D．1.5×10﹣6米【考点】科学记数法-表示较小的数．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：15000纳米=15000×10﹣9米=1.5×10﹣5米．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4．二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据二次函数图象的开口方向向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b＞0，然后根据一次函数图象解答即可．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＞0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，C选项图象符合．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、b的正负情况是解题的关键．5．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25° B．30° C．40° D．50°【考点】圆周角定理；平行线的性质．【专题】计算题．【分析】先根据平行线的性质求出∠AOD的度数，再由圆周角定理即可解答．【解答】解：∵OA∥DE，∠D=50°，∴∠AOD=50°，∵∠C=∠AOD，∠C=×50°=25°．故选A．【点评】本题比较简单．考查的是平行线的性质及圆周角定理．6．将抛物线y=x2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=（x﹣2）2+2 D．y=（x﹣2）2﹣2【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】几何变换．【分析】先利用顶点式得到抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），再利用点平移的规律得到点（0，1）平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y=x2+1的顶点坐标为（0，1），把点（0，1）先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的对应点的坐标为（﹣2，﹣2），所以所得抛物线的函数关系式y=（x+2）2﹣2．故选B．【点评】本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．7．某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（）A．500元 B．400元 C．300元 D．200元【考点】一元一次方程的应用．【专题】销售问题．【分析】如果设这种商品的原价是x元，本题中唯一不变的是商品的成本，根据利润=售价﹣成本，即可列出方程求解．【解答】解：设这种商品的原价是x元，根据题意得：75%x+25=90%x﹣20，解得x=300．故选C．【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．8．已知抛物线y=x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（）A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】根据抛物线与x轴的交点坐标及对称轴求出它与x轴的另一交点坐标，求当y＜0，x的取值范围就是求函数图象位于x轴的下方的图象相对应的自变量x的取值范围．【解答】解：由图象知，抛物线与x轴交于（﹣1，0），对称轴为x=1，∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（3，0），∵y＜0时，函数的图象位于x轴的下方，且当﹣1＜x＜3时函数图象位于x轴的下方，∴当﹣1＜x＜3时，y＜0．故选B．【点评】本题考查了二次函数的图象的性质及学生的识图能力，是一道不错的考查二次函数图象的题目．9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，⊙O为△ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则tan∠ODA=（）A． B． C． D．2【考点】三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义．【专题】压轴题．【分析】设⊙O与AB，AC，BC分别相切于点E，F，G，连接OE，OF，OG，则OE⊥AB．根据勾股定理得AB=10，再根据切线长定理得到AF=AE，CF=CG，从而得到四边形OFCG是正方形，根据正方形的性质得到设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，建立方程求出x值，进而求出AE与DE的值，最后根据三角形函数的定义即可求出最后结果．【解答】解：过O点作OE⊥ABOF⊥ACOG⊥BC，∴∠OGC=∠OFC=∠OED=90°，∵∠C=90°，AC=6BC=8，∴AB=10∵⊙O为△ABC的内切圆，∴AF=AE，CF=CG（切线长相等）∵∠C=90°，∴四边形OFCG是矩形，∵OG=OF，∴四边形OFCG是正方形，设OF=x，则CF=CG=OF=x，AF=AE=6﹣x，BE=BG=8﹣x，∴6﹣x+8﹣x=10，∴OF=2，∴AE=4，∵点D是斜边AB的中点，∴AD=5，∴DE=AD﹣AE=1，∴tan∠ODA==2．故选：D．【点评】此题要能够根据切线长定理证明：作三角形的内切圆，其中的切线长等于切线长所在的两边和与对边差的一半；直角三角形内切圆的半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半．10．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，图中阴影部分的面积为（）A． B． C．1﹣ D．1﹣【考点】旋转的性质；正方形的性质．【分析】设B′C′与CD的交点为E，连接AE，利用"HL"证明Rt△AB′E和Rt△ADE全等，根据全等三角形对应角相等∠DAE=∠B′AE，再根据旋转角求出∠DAB′=60°，然后求出∠DAE=30°，再解直角三角形求出DE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ADEB′的面积，列式计算即可得解．【解答】解：如图，设B′C′与CD的交点为E，连接AE，在Rt△AB′E和Rt△ADE中，，∴Rt△AB′E≌Rt△ADE（HL），∴∠DAE=∠B′AE，∵旋转角为30°，∴∠DAB′=60°，∴∠DAE=×60°=30°，∴DE=1×=，∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（×1×）=1﹣．故选：C．【点评】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形判定与性质，解直角三角形，利用全等三角形求出∠DAE=∠B′AE，从而求出∠DAE=30°是解题的关键，也是本题的难点．二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分。答题用0.5毫米黑色墨水的签字笔或钢笔直接答在答题卡的相应位置上。11．比较大小：﹣＞﹣，＞2．【考点】实数大小比较．【分析】根据两个负数绝对值大的反而小的方法进行比较；先把2化成带根号的形式，再根据实数的大小比较方法进行比较．【解答】解：因为|﹣|＞，所以﹣＞﹣．∵2=，而4＜5，∴＞2．故答案为：＞，＞．【点评】此题主要考查了实数的大小的比较，正数大于0，负数小于0，负数比较绝对值大的反而小．12．在实数范围内分解因式4x4﹣1=（2x+1）（2x﹣1）．【考点】实数范围内分解因式．【分析】根据4x4﹣1=（2x）2﹣12，然后运用平方差公式进行分解即可．【解答】解：4x4﹣1=（2x）2﹣12=（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．【点评】本题考查了在实数范围内分解因式，熟练掌握平方差公式a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，CD⊥AB于D，CD=cm．【考点】勾股定理；三角形的面积．【分析】先根据勾股定理求出直角边AC的长度，再利用三角形的面积即可求出CD的长．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC==4cm．∵S△ABC=ACoCB=ABoCD，∴×4×3=×5×CD，∴CD=cm．故答案为cm．【点评】此题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．利用直角三角形面积的两种不同表示方法是解题的关键．14．如图，反比例函数y=（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为8．【考点】反比例函数系数k的几何意义．【专题】代数几何综合题．【分析】设E（a，），则B纵坐标也为，代入反比例函数的y=，即可求得F的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k的值．【解答】解：设E（a，），则B纵坐标也为，E是AB中点，所以F点横坐标为2a，代入解析式得到纵坐标：，因为BF=BC﹣FC=﹣=，所以F也为中点，S△BEF=2=，k=8．故答案是：8．【点评】本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF的长度是关键．15．已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+1﹣3m=0的两个实数根，且x1、x2满足不等式x1ox2+2（x1+x2）＞0，求实数m的取值范围是≤m＜．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【分析】已知x1、x2是一元二次方程2x2﹣2x+1﹣3m=0的两个实数根，可推出△=（﹣2）2﹣4×2（1﹣3m）≥0，根据根与系数的关系可得x1ox2=，x1+x2=1；且x1、x2满足不等式x1ox2+2（x1+x2）＞0，代入即可得到一个关于m的不等式，由此可解得m的取值范围．【解答】解：∵方程2x2﹣2x+1﹣3m=0有两个实数根，∴△=4﹣8（1﹣3m）≥0，解得m≥．由根与系数的关系，得x1+x2=1，x1ox2=．∵x1ox2+2（x1+x2）＞0，∴+2＞0，解得m＜．∴≤m＜．故答案为：≤m＜．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式：若方程有两个实数根，则△≥0，若方程没有实数根，则△＜0．以及一元二次方程根与系数的关系．16．如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB的最小值是3，则AB长为2．【考点】轴对称的性质；平行四边形的性质．【专题】压轴题；动点型．【分析】先根据轴对称性质和两点间线段最短，确定MD是PM+PB的最小值的情况，再利用特殊角60°的三角函数值求解．【解答】解：连接PD，BD，∵PB=PD，∴PM+PB=PM+PD，连接MD，交AC的点就是P点，根据两点间直线最短，∴这个P点就是要的P点，又∵∠BAD=60°，AB=AD，∴△ABD是等边三角形，∵M为AB的中点，∴MD⊥AB，∵MD=3，∴AD=MD÷sin60°=3÷=2，∴AB=2．【点评】本题考查的是平行四边形的性质及特殊角的三角函数值，属中等难度．17．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm的木棍能放入（填"能"或"不能"）．【考点】勾股定理的应用．【分析】在长方体的盒子中，一角的顶点与斜对的不共面的顶点的距离最大，根据木箱的长，宽，高可求出最大距离，然后和木棒的长度进行比较．【解答】解：可设放入长方体盒子中的最大长度是xcm，根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．故答案是：能．【点评】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键是求出木箱内木棒的最大长度．18．计算：=．【考点】有理数的混合运算．【专题】计算题；实数．【分析】原式利用拆项法变形，计算即可得到结果．【解答】解：原式=1﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=1﹣=，故答案为：【点评】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握拆项法则是解本题的关键．三、解答题：本题共7小题，共78分，答题用0.5毫米黑色墨水签字笔或钢笔字书写在答题卡的相应位置上．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．19．先化简，再求值：（﹣）o，其中x=﹣2．【考点】分式的化简求值；二次根式的化简求值．【专题】探究型．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=×=3（x+1）﹣x+1=3x+3﹣x+1=2x+4．当x=﹣2时，原式=2×（﹣2）﹣2=2﹣4﹣2=2﹣6．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．20．为了测量学校旗杆AB的高度，学校数学实践小组做了如下实验：在阳光的照射下，旗杆AB的影子恰好落在水平地面BC的斜坡坡面CD上，测得BC=20m，CD=18m，太阳光线AD与水平面夹角为30°且与斜坡CD垂直．根据以上数据，请你求出旗杆AB的高度．（结果保留根号）【考点】解直角三角形的应用．【分析】根据题意正确作出图形，分别在两个直角三角形中解题．设AD与BC的延长线交于E，在Rt△CDE中，CD=18，∠AEC=30°，所以CE=36，BE=56，AB=．【解答】解：作AD与BC的延长线，交于E点．在直角△CDE中，∠E=30°，∴CE=2CD=2×18=36．则BE=BC+CE=20+36=56．在直角△ABE中，tan∠E=，∴AB=BEotan30°=．即旗杆AB的高度是m．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．21．图1是某城市三月份1至8日的日最高气温随时间变化的折线统计图，小刚根据图1将数据统计整理后制成了图2．根据图中信息，解答下列问题：（1）将图2补充完整；（2）这8天的日最高气温的中位数是2.5℃；（3）计算这8天的日最高气温的平均数．【考点】折线统计图；条形统计图；算术平均数；中位数．【分析】（1）从（1）可看出3℃的有3天．（2）中位数是数据从小到大排列在中间位置的数．（3）求加权平均数数，8天的温度和÷8就为所求．【解答】解：（1）如图所示．（2）∵这8天的气温从高到低排列为：4，3，3，3，2，2，1，1∴中位数应该是第4个数和第5个数的平均数：（2+3）÷2=2.5．（3）（1×2+2×2+3×3+4×1）÷8=2.375℃．8天气温的平均数是2.375．【点评】本题考查了折线统计图，条形统计图的特点，以及中位数的概念和加权平均数的知识点．22．在一副扑克牌中，拿出红桃2、红桃3、红桃4、红桃5四张牌，洗匀后，小明从中随机摸出一张，记下牌面上的数字为x，然后放回并洗匀，再由小华随机摸出一张，记下牌面上的数字为y，组成一对数（x，y）．（1）用列表法或树状图表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小明、小华各摸一次扑克牌所确定的一对数是方程x+y=5的解的概率；（3）小明、小华玩游戏，规则如下：组成数对和为偶数小明赢，组成数对和为奇数小华赢．你认为这个游戏公平吗？若不公平，请重新设计一个对小明、小华都公平的游戏．【考点】游戏公平性；列表法与树状图法．【分析】（1）依据题意用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果即可．（2）从数对中找出方程x+y=5的解，然后根据概率公式求出该事件的概率即可解答；（3）根据游戏的公平性进行解答即可．【解答】解：（1）分析题意，列表得： 红桃2 红桃3 红桃4 红桃5红桃2 2，2 2，3 2，4 2，5红桃3 3，2 3，3 3，4 3，5红桃4 4，2 4，3 4，4 4，5红桃5 5，2 5，3 5，4 5，5所以共有16种等可能的结果；（2）满足所确定的一对数是方程x+y=5的解的结果有4种：（2，3）（3，2），此事件记作A，则P（A）=；（3）组成数对和为偶数的概率=，组成数对和为奇数的概率=，所以游戏公平．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE=BC，DF⊥AE，垂足为F，连接DE．（1）求证：△ABE≌△DFA；（2）如果AD=10，AB=6，求sin∠EDF的值．【考点】矩形的性质；直角三角形全等的判定；勾股定理；解直角三角形．【专题】综合题．【分析】（1）根据矩形的对边平行且相等得到AD=BC=AE，∠DAF=∠EAB．再结合一对直角相等即可证明三角形全等；（2）根据全等三角形的对应边相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的长；再根据勾股定理求得DE的长，运用三角函数定义求解．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，BC=AD，AD∥BC，∠B=90°，∴∠DAF=∠AEB．∵DF⊥AE，AE=BC，∴∠AFD=90°，AE=AD．∴△ABE≌△DFA．（2）解：由（1）知△ABE≌△DFA．∴AB=DF=6．在直角△ADF中，AF=，∴EF=AE﹣AF=AD﹣AF=2．在直角△DFE中，DE=，∴sin∠EDF=．【点评】熟练运用矩形的性质和判定，能够找到证明全等三角形的有关条件；运用全等三角形的性质和勾股定理求得三角形中的边，再根据锐角三角函数的概念求解．24．某公园的门票每张10元，为了吸引更多的游客，该公园管理除保留原来的售票方法外，还推出了一种"购买年卡"的优惠方法，年卡分为A、B、C三种：A卡每张120元，持卡进入不用再买门票；B卡每张60元，持卡进入公园需要再买门票，每张2元；C卡每张30元，持票进入公园时，购买每张4元的门票．（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用100元花在去该公园玩的门票上，请问哪种购票方式可使你进入该公园的次数最多？（2）求一年中进入该公园至少多少次，购买A类年票比较合算．【考点】一元一次不等式的应用．【分析】（1）由题意可知：若直接买票可以买到100÷10=10张；若买A类票，则100＜120，买不到；若买B类票，则剩余100﹣60=40元，可以买到40÷2=20张票；若买C类票，则剩余100﹣30=70元，可以买到70÷4≈17张；所以用100元花在公园门票上，买B类票次数最多；（2）设一年中进入该公园至少x次时，购买A类票比较合算，根据购买A类年票才比较合算说明购B和C票花的钱多余购A票花的钱，购B票花的钱为60+2x，购C票花的钱为30+4x，列出不等式组，求出x的取值范围，即可得出答案．【解答】解：（1）①直接买票：100÷10=10张；②A类不够买120＞100；③B类（100﹣60）÷2=20（张）；④C类（100﹣30）÷4=，即可买17张．综上所述，用100元购买B类票使你进入该公园的次数最多；（2）设一年中进入该公园至少x次时，购买A类票比较合算，根据题意得：，解得：x＞30．答：一年中进入该公园至少31次，购买A类年票比较合算．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解．25．如图，已知抛物线y1=+bx+c和直线y2=kx+h都经过A（1，0），B（﹣2，3）两点．（1）求抛物线y1及直线y2的解析式；根据图象，写出+bx+c≥kx+h的x的取值范围．（2）点P是抛物线上一动点，在直线AB的下方，当点P与点A、B围成的△PAB的面积最大时，请求出P点坐标；（3）抛物线上是否存在一点M，使△MAB的面积与△OAB相等？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由抛物线和直线均过点A、B，由待定系数法即可求出二者的解析式；（2）寻找与直线AB平行的直线l，使l与抛物线相切于点P时，△PAB的面积，由△=0可求出直线l的解析式，代入即可求出P点的值；（3）假设存在，由△MAB的面积与△OAB相等可知点M与点O到直线AB的距离相等，结合点到直线的距离即可求出点M的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y1=+bx+c和直线y2=kx+h都经过A（1，0），B（﹣2，3）两点，∴有和，解得：和．故抛物线的解析式为y1=﹣x+，直线的解析式为y2=﹣x+1．结合函数图象可知：当x≤﹣2和x≥1时，抛物线图象在直线上方，故+bx+c≥kx+h的x的取值范围为x≤﹣2或x≥1．（2）设过点P并且与直线AB平行的直线l的解析式为y=﹣x+d，当直线l与抛物线只有一个交点P时，△PAB的面积最大．将y=﹣x+d代入到抛物线解析式y1=﹣x+中得：﹣x+d=﹣x+，即x2+x+1﹣3d=0．由方程只有一个根，故△=12﹣4×（1﹣3d）=0，解得：d=，当d=时，方程x2+x+1﹣==0，解得x=﹣．令x=﹣，则y=﹣+=．故点P的坐标为（﹣，）．（3）假设存在，设M点的坐标为（m，﹣m+），直线AB的解析式为y2=﹣x+1，即x+y2﹣1=0，∵△MAB的面积与△OAB相等，∴点M与点O到直线AB的距离相等，由点到直线的距离可知：=，当m＜﹣2时，有m2+m﹣5=0，解得：m=或m=（舍去），此时点M的坐标为（，）；当﹣2≤m≤1时，有m2+m+1=0，方程无解；当m＞1时，有m2+m﹣5=0，解得：m=（舍去）或m=，此时点M的坐标为（，）．综上可知：抛物线上存在一点M，使△MAB的面积与△OAB相等，点M的坐标为（，）或（，）．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、直线与抛物线相切以及点到直线的距离，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）利用根的判别式解决相切问题；（3）由点M与点O到直线AB的距离相等得出关于m的一元二次方程．本题属于中档题，有点难度，（1）难度不大；（2）需借助直线与抛物线相切来寻找最值；（3）由同底三角形面积相等得出等高．