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广安市岳池县2016年中考数学一诊试卷含答案解析2016年四川省广安市岳池县中考数学一诊试卷一、选择题1．在1，﹣2，0，这四个数中，最大的数是（）A．1 B．0 C． D．﹣22．以下各式计算正确的是（）A．（y+x）（﹣y+x）=y2﹣x2 B．﹣=﹣2C．（﹣2a2）3=﹣8a6 D．x6÷x3=x23．今年3月5日，李克强总理在《政府工作报告》中指出，到2020年，我国经济总量将超过90万亿元，90万亿元用科学记数法表示为（）A．9×1011元 B．90×1010元 C．9×1012元 D．9×1013元4．我市2016年某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：10，16，12，11，14，12，13，则这组数据的众数是（）A．11 B．12 C．14 D．165．直线l的解析式是y=kx+2，其中k是不等式组的解，则直线l的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限6．已知扇形的圆心角为45°，半径长为10，则该扇形的弧长为（）A． B． C．3π D．7．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=158．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60°C．∠A=20°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=80°9．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形10．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A． B． C． D．二、填空题11．﹣2016的绝对值是．12．因式分解：9n2+1﹣6n=．13．使有意义的x的取值范围是．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=．15．如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为．16．如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为3的圆，与坐标轴的正半轴分别交于A、C两点，OB平分∠AOC，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则线段OP的取值范围是．三、解答题（本大题共4个小题，共23分）17．计算：﹣24﹣+|1﹣4sin60°|+（2016π﹣）0．18．先化简再求值：÷（x+2﹣），其中x是方程x2﹣7x+10=0的根．19．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G．（1）观察图形，直接写出图中所有与∠1相等的角．（2）选择图中与∠1相等的任意一个角，并加以证明．20．已知直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y=（m≠0，x＞0）分别交于D、E两点，若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，n）（1）分别求出直线l与双曲线的解析式；（2）求△EOD的面积．四、实践应用（本大题共4个小题，共30分）21．为了增强学生法律意识，某校举办了首届"法律进校园，法在我心中"知识大赛，经选拔后有25名学生参加决赛，这25名学生同时解答50个选择题，若每正确一个选择题得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别 成绩x分 频数（人数）第1组 50≤x＜60 3第2组 60≤x＜70 7第3组 70≤x＜80 10第4组 80≤x＜90 m第5组 90≤x＜100 2（1）求表中m的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）第4组的同学将抽出2名对第一组2名同学进行"一帮一"辅导，则第4组的小王与小李能同时抽到的概率是多少？22．随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段 销售数量 销售收入 A种型号  B种型号第一周 3台 5台 18000元第二周 4台 10台 31000元（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．23．如图，活动课上，小王想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．已知小王的步行速度是20米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）．24．在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）五、推理与论证25．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若OC：BC=2：3，求sinE的值．六、拓展探究26．如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．2016年四川省广安市岳池县中考数学一诊试卷参考答案与试题解析一、选择题1．在1，﹣2，0，这四个数中，最大的数是（）A．1 B．0 C． D．﹣2【考点】有理数大小比较．【分析】根据有理数大小比较的法则比较即可．【解答】解：∵＞1，∴在1，﹣2，0，这四个数中，最大的数是，故选：C．【点评】本题考查的是有理数的大小比较，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．2．以下各式计算正确的是（）A．（y+x）（﹣y+x）=y2﹣x2 B．﹣=﹣2C．（﹣2a2）3=﹣8a6 D．x6÷x3=x2【考点】同底数幂的除法；立方根；幂的乘方与积的乘方；平方差公式．【分析】根据平方差公式，立方根的性质，积的乘方等于乘方的积，同底数幂的除法底数不变指数相减，可得答案．【解答】解：A、两数和乘以这两个数的差等这两个数的平方差，故A错误；B、﹣=﹣=，故B正确；C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；故选：C．【点评】本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3．今年3月5日，李克强总理在《政府工作报告》中指出，到2020年，我国经济总量将超过90万亿元，90万亿元用科学记数法表示为（）A．9×1011元 B．90×1010元 C．9×1012元 D．9×1013元【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：90万亿=90000000000000=9×1013，故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．我市2016年某一周每天的最高气温（单位：℃）统计如下：10，16，12，11，14，12，13，则这组数据的众数是（）A．11 B．12 C．14 D．16【考点】众数．【分析】根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，求解即可．【解答】解：数据12出现了2次，出现次数最多，所以这周的最高气温的众数是12℃．故选B．【点评】本题考查众数的意义，众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．5．直线l的解析式是y=kx+2，其中k是不等式组的解，则直线l的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】首先解不等式组确定k的取值范围，然后根据一次函数的图象与系数的关系即可确定直线l经过的象限．【解答】解：解不等式组，得：k＜﹣9，∵直线l的解析式是y=kx+2，k＜0，2＞0，∴直线l的图象不经过第，三象限，故选C．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是正确解一元一次不等式组，确定k的取值范围．6．已知扇形的圆心角为45°，半径长为10，则该扇形的弧长为（）A． B． C．3π D．【考点】弧长的计算．【分析】根据弧长公式l=，代入相应数值进行计算即可．【解答】解：根据弧长公式：l==π，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R）．注意：在弧长的计算公式中，n是表示1°的圆心角的倍数，n和180都不要带单位．7．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是（）A．（3+x）（4﹣0.5x）=15 B．（x+3）（4+0.5x）=15 C．（x+4）（3﹣0.5x）=15 D．（x+1）（4﹣0.5x）=15【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】销售问题．【分析】根据已知假设每盆花苗增加x株，则每盆花苗有（x+3）株，得出平均单株盈利为（4﹣0.5x）元，由题意得（x+3）（4﹣0.5x）=15即可．【解答】解：设每盆应该多植x株，由题意得（3+x）（4﹣0.5x）=15，故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的应用，根据每盆花苗株数×平均单株盈利=总盈利得出方程是解题关键．8．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=40°，∠B=60°C．∠A=20°，∠B=80° D．∠A=40°，∠B=80°【考点】等腰三角形的判定．【分析】根据等腰三角形性质，利用三角形内角定理对4个选项逐一进行分析即可得到答案．【解答】解；当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°所以D选项错误．故选C．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．9．平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），四边形ABCD是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形【考点】菱形的判定；坐标与图形性质．【分析】在平面直角坐标系中，根据点的坐标画出四边形ABCD，再根据图形特点进行判断．【解答】解：图象如图所示：∵A（﹣3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，﹣2），∴OA=0C，OB=OD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵BD⊥AC，∴四边形ABCD为菱形，故选：B．【点评】本题考查了点的坐标的表示方法，及菱形的判定定理．10．如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度向B点运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A． B． C． D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】当点N在AD上时，易得S△AMN的关系式；当点N在CD上时，高不变，但底边在增大，所以S△AMN的面积关系式为一个一次函数；当N在BC上时，表示出S△AMN的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．【解答】解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y随x的增大而增大，所以排除A、D；当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9﹣3x）=﹣x2+x，开口方向向下．故选：B【点评】此题考查动点问题的函数图象问题，根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．二、填空题11．﹣2016的绝对值是2016．【考点】绝对值．【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得答案．【解答】解：解：﹣2016的绝对值是|﹣2016|=2016，故答案为：2016．【点评】本题考查了实数的性质，利用了负数的绝对值它的相反数是解题关键．12．因式分解：9n2+1﹣6n=（3n﹣1）2．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．【解答】解：9n2+1﹣6n=（3n﹣1）2．故答案为：（3n﹣1）2．【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．13．使有意义的x的取值范围是x≥2．【考点】二次根式有意义的条件．【专题】计算题．【分析】二次根式的被开方数是非负数，所以2x﹣4≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．【解答】解：根据题意，得2x﹣4≥0，解得，x≥2；故答案是：x≥2．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，D为线段AB的中点，则∠ACD=50°．【考点】直角三角形的性质．【分析】由"直角三角形的两个锐角互余"得到∠A=50°．根据"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"得到CD=AD，则等边对等角，即∠ACD=∠A=50°．【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=40°，∴∠A=50°．∵D为线段AB的中点，∴CD=AD，∴∠ACD=∠A=50°．故答案是：50°．【点评】本题考查了直角三角形的性质．在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．15．如图，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，则以AB为边长的正方形面积为25．【考点】勾股定理．【分析】根据勾股定理求出AB，根据正方形的面积公式求出即可．【解答】解：由勾股定理得：AB==5，所以以AB为边长的正方形的面积为52=25，故答案为：25．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能根据勾股定理求出AB的长是解此题的关键．16．如图，⊙O是以数轴原点O为圆心，半径为3的圆，与坐标轴的正半轴分别交于A、C两点，OB平分∠AOC，点P在数轴上运动，过点P且与OB平行的直线与⊙O有公共点，则线段OP的取值范围是0＜OP≤3．【考点】直线与圆的位置关系；坐标与图形性质．【分析】点P与⊙O相切时，OP取得极值，作出切线，利用切线的性质求解即可．【解答】解：将OA平移至P'D的位置，使P'D与圆相切，连接OD，由题意得，OD=3，∠DOP'=45°，∠ODP'=90°，故可得OP'=3，即OP的极大值为3，故答案为：0＜OP≤3．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系问题．关键是通过平移，确定直线与圆相切的情况，求出此时OP的值．三、解答题（本大题共4个小题，共23分）17．计算：﹣24﹣+|1﹣4sin60°|+（2016π﹣）0．【考点】实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数．【分析】原式第一项利用乘方的意义计算，第二项化为最简二次根式，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=﹣16﹣3+2﹣1+1=﹣16﹣．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．先化简再求值：÷（x+2﹣），其中x是方程x2﹣7x+10=0的根．【考点】分式的化简求值；解一元二次方程-因式分解法．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=o=，解方程x2﹣7x+10=0得，x1=2，x2=5，当x=2时，原分式无意义；当x=5时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．如图，正方形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，AF=DE，AF和DE相交于点G．（1）观察图形，直接写出图中所有与∠1相等的角．（2）选择图中与∠1相等的任意一个角，并加以证明．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【分析】（1）由正方形的性质得出AD∥BC，AB∥CD，∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，由平行线的性质得出∠DAG=∠1，∠AED=∠CDE，由HL证明Rt△ADE≌Rt△BAF，得出∠AED=∠1，即可得出∠DAG=∠AED=∠CDE=∠1；（2）由平行线的性质即可得出∠DAG=∠1．【解答】解：如图所示：（1）∠DAG=∠AED=∠CDE=∠1；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，∴∠DAG=∠1，∠AED=∠CDE，在Rt△ADE和Rt△BAF中，，∴Rt△ADE≌Rt△BAF（HL），∴∠AED=∠1，∴∠DAG=∠AED=∠CDE=∠1；（2）选择∠DAG=∠1；理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∴∠DAG=∠1．【点评】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的突破口．20．已知直线l分别与x轴、y轴交于A、B两点，与双曲线y=（m≠0，x＞0）分别交于D、E两点，若点D的坐标为（4，1），点E的坐标为（1，n）（1）分别求出直线l与双曲线的解析式；（2）求△EOD的面积．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】计算题．【分析】（1）只需运用待定系数法就可求出反比例函数的解析式，把点E的坐标代入反比例函数的解析式，就可求出点E的坐标，然后运用待定系数法就可求出直线l的解析式；（2）连接OD、OE，过点D作DM⊥OA于M，作EN⊥OA于N，如图，只需运用割补法，就可求出△EOD的面积．【解答】解：（1）把D（4，1）代入反比例函数的解析式得，m=4×1=4，∴反比例函数的解析式为y=．把点E（1，n）的坐标代入y=得n=4，∴点E的坐标为（1，4）．设直线l的解析式为y=kx+b，则有，解得，∴直线l的解析式为y=﹣x+5；（2）连接OD、OE，过点D作DM⊥OA于M，作EN⊥OA于N，如图．∵点A是直线y=﹣x+5与x轴的交点，∴点A的坐标为（5，0），OA=5，∴S△DOE=S△AOE﹣S△ADO=×5×4﹣×5×1=．【点评】本题主要考查了运用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，运用割补法是解决第（2）小题的关键．四、实践应用（本大题共4个小题，共30分）21．为了增强学生法律意识，某校举办了首届"法律进校园，法在我心中"知识大赛，经选拔后有25名学生参加决赛，这25名学生同时解答50个选择题，若每正确一个选择题得2分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：组别 成绩x分 频数（人数）第1组 50≤x＜60 3第2组 60≤x＜70 7第3组 70≤x＜80 10第4组 80≤x＜90 m第5组 90≤x＜100 2（1）求表中m的值；（2）请把频数分布直方图补充完整；（3）第4组的同学将抽出2名对第一组2名同学进行"一帮一"辅导，则第4组的小王与小李能同时抽到的概率是多少？【考点】列表法与树状图法；频数（率）分布表；频数（率）分布直方图．【分析】（1）由题意，直接求解即可求得答案；（2）根据（1），可补全频数分布直方图；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小王与小李能同时抽到的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：（1）m=25﹣3﹣7﹣10﹣2=3；（2）如图，补全频数分布直方图：（3）分别用A，B，C表示小王，小李与另外一名同学，画树状图得：∵共有6种等可能的结果，小王与小李能同时抽到的有2种情况，∴小王与小李能同时抽到的概率是：=．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22．随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的A、B两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况：销售时段 销售数量 销售收入 A种型号  B种型号第一周 3台 5台 18000元第二周 4台 10台 31000元（1）求A，B两种型号的净水器的销售单价；（2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求A种型号的净水器最多能采购多少台？（3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．【考点】一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设A、B两种型号净水器的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号5台B型号的净水器收入18000元，4台A型号10台B型号的净水器收入31000元，列方程组求解；（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种型号净水器（30﹣a）台，根据金额不多余54000元，列不等式求解；（3）设利润为12800元，列方程求出a的值为8，符合（2）的条件，可知能实现目标．【解答】解：（1）设A、B两种净水器的销售单价分别为x元、y元，依题意得：，解得：．答：A、B两种净水器的销售单价分别为2500元、2100元．（2）设采购A种型号净水器a台，则采购B种净水器（30﹣a）台．依题意得：2000a+1700（30﹣a）≤54000，解得：a≤10．故超市最多采购A种型号净水器10台时，采购金额不多于54000元．（3）依题意得：（2500﹣2000）a+（2100﹣1700）（30﹣a）=12800，解得：a=8，故采购A种型号净水器8台，采购B种型号净水器22台，公司能实现利润12800元的目标．【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解．23．如图，活动课上，小王想要利用所学的数学知识测量某个建筑地所在山坡AE的高度，她先在山脚下的点E处测得山顶A的仰角是30°，然后，她沿着坡度i=1：1的斜坡步行15分钟到达C处，此时，测得点A的俯角是15°．已知小王的步行速度是20米/分，图中点A、B、E、D、C在同一平面内，且点D、E、B在同一水平直线上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精确到0.1米，参考数据：≈1.41）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】作EF⊥AC于点F，RT△CDE中根据i=1：1知∠CED=∠DCE=45°，RT△CEF中知∠ECF=30°、CE=300米，进而可得EF=150米，由∠CEF=60°、∠AEB=30°知∠AEF=45°，在RT△AEF中根据勾股定理可得AB的长度．【解答】解：作EF⊥AC于点F，根据题意，CE=20×15=300米，∵i=1：1，∴tan∠CED=1，∴∠CED=∠DCE=45°，∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，∴EF=CE=150米，∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，∴AF=EF=150米，∴AE===150（米），∴AB=×150≈105.8（米）．答：建筑地所在山坡AE的高度AB约为105.8米．【点评】本题考查了仰角和俯角的应用，正确作出辅助线构造直角三角形，理解解直角三角形的条件是关键．24．在劳技课上，老师请同学们在一张长为9cm，宽为8cm的长方形纸板上，剪下一个腰长为5cm的等腰三角形（要求等腰三角形的一个顶点与长方形的一个顶点重合，其余两个顶点在长方形的边长上）．请你帮助同学们画出图形并计算出剪下的等腰三角形的面积．（求出所有可能的情况）【考点】作图-应用与设计作图．【分析】（1）在BA、BC上分别截取BE=BF=5cm；（2）在AB上截取BE=5cm，以A为圆心，5cm长为半径作弧，交AD于F；（3）在BC上截取BE=5cm，以E为圆心5cm为半径作弧，交CD于F．【解答】解：如图1所示：S=EBoBF=×5×5=12.5（cm2），如图2所示：BE=5cm，则AE=3cm，∵EF=5cm，∴AF==4（cm），S=BEoAF=×5×4=10（cm2），如图3所示：BE=5cm，则CE=4cm，∵EF=5cm，∴AF==3（cm），S=BEoAF=×5×3=7.5（cm2）．【点评】此题主要考查了应用与设计作图，本题需仔细分析题意，结合图形即可解决问题．五、推理与论证25．如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B．延长BO与⊙O交于点B，延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E，（1）求证：PB为⊙O的切线；（2）若OC：BC=2：3，求sinE的值．【考点】切线的判定与性质．【分析】（1）连接OA，由SSS证明△PBO≌△PAO，得出∠PBO=∠PAO=90°即可；（2）连接AD，证明△ADE∽△POE，得到=，证出OC是△ABD的中位线，由三角形中位线定理得出AD=2OC，由已知设OC=2t，则BC=3t，AD=4t．由△PBC∽△BOC，可求出sin∠E的值．【解答】（1）证明：连接OA，如图1所示：∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO=90°，∵OA=OB，OP⊥AB于C，∴BC=CA，PB=PA，在△PBO和△PAO中，，∴△PBO≌△PAO（SSS），∴∠PBO=∠PAO=90°，∴PB为⊙O的切线；（2）解：连接AD，如图2所示：∵BD是直径，∠BAD=90°由（1）知∠BCO=90°∴AD∥OP，∴△ADE∽△POE，∴=，∵BC=AC，OB=OD，∴OC是△ABD的中位线，∴AD=2OC，∵OC：BC=2：3，设OC=2t，则BC=3t，AD=4t．∵∠OBC+∠PBC=90°，∠BOC+∠OBC=90°，∴∠BOC=∠PBC，∵∠OCB=∠BCP，∴△PBC∽△BOC，∴，即，∴PC=t，OP=t．∴==，设EA=8m，EP=13m，则PA=5m．∵PA=PB，∴PB=5m，∴sinE==．【点评】本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握切线的判定，能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中是解答问题（2）的关键．六、拓展探究26．如图所示，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标；（3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】代数几何综合题．【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解；（2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，利用勾股定理列式表示出DC2与DE2，然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），∴，解得，故抛物线的函数解析式为y=x2﹣2x﹣3；（2）令x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3，则点C的坐标为（3，0），∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，∴点E坐标为（1，﹣4），设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，∵DC2=OD2+OC2=m2+32，DE2=DF2+EF2=（m+4）2+12，∵DC=DE，∴m2+9=m2+8m+16+1，解得m=﹣1，∴点D的坐标为（0，﹣1）；（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4），∴CO=DF=3，DO=EF=1，根据勾股定理，CD===，在△COD和△DFE中，∵，∴△COD≌△DFE（SAS），∴∠EDF=∠DCO，又∵∠DCO+∠CDO=90°，∴∠EDF+∠CDO=90°，∴∠CDE=180°﹣90°=90°，∴CD⊥DE，①分OC与CD是对应边时，∵△DOC∽△PDC，∴=，即=，解得DP=，过点P作PG⊥y轴于点G，则==，即==，解得DG=1，PG=，当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0，所以点P（﹣，0），当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，所以，点P（，﹣2）；②OC与DP是对应边时，∵△DOC∽△CDP，∴=，即=，解得DP=3，过点P作PG⊥y轴于点G，则==，即==，解得DG=9，PG=3，当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8，所以，点P的坐标是（﹣3，8），当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10，所以，点P的坐标是（3，﹣10），综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形对应边成比例的性质，（3）题稍微复杂，一定要注意分相似三角形的对应边的不同，点P在点D的左右两边的情况讨论求解．