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株洲市芦淞区2016届中考数学二模试卷含答案解析2015年湖南省株洲市芦淞区中考数学模拟试卷一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．16的平方根是（）A．±4 B．4 C．﹣4 D．±82．若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．43．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A．5m B．15m C．20m D．28m4．在乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（）A．众数是90 B．中位数是90 C．平均数是90 D．极差是905．用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是（）A． B． C． D．6．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不是7．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立 B．m=2时成立 C．m=0或2时成立 D．不存在8．已知二次函数y=2x2+bx+1，当b取不同的值时，其图象构成一个"抛物线系"，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是（）A．y=﹣x2+1 B．y=﹣2x2+1 C．y=﹣x2+1 D．y=﹣4x2+1二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：（2a﹣1）2﹣a2=．10．我国南海海域面积为3500000km2，用科学记数法表示3500000为．11．化简的结果是．12．已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），则关于x的不等式2x﹣b≥0的解集是．13．有一箱装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知孔明同学以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数．若先后取出2张牌组先后组成二位数的每一种结果发生的机会都相同，则组成的二位数为6的倍数的概率是．14．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，则点B转过的路径长为．16．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需根火柴．三、解答题（本大题共8小题，共52分）17．计算：|﹣3|﹣sin60°+2﹣1．18．先化简，再求值：（a+2）2﹣a（a﹣2），其中a=﹣．19．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行"阶梯收费"（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？20．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=6，BC=10（1）求证：△AEF∽△DFC；（2）求线段EF的长度．21．为了全面了解初中学生的综合素质，我市对初三年级学生的体育、物理实验操作、化学实验操作成绩进行抽样调查，成绩评定为A，B，C，D四个等级．现抽取这三种成绩共1000份进行统计分析，其中A，B，C，D分别表示优秀，良好，合格，不合格四个等级．相关数据统计如下表及图所示 A B C D物理实验操作 120 70 90 20化学实验操作 90 110 30 m体育 n 140 160 27（1）请将上表补充完整（直接填数据，不写解答过程）．（1）请直接写出m=，n=．（2）计算扇形统计图中体育部分的扇形圆心角的度数．（3）我市共有40000名学生参加测试，试估计我市初三年级学生化学实验操作合格及合格以上大约有多少人？22．如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长．24．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．2015年湖南省株洲市芦淞区中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）1．16的平方根是（）A．±4 B．4 C．﹣4 D．±8【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．【解答】解：∵（±4）2=16，∴16的平方根是±4．故选A．【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．2．若﹣5x2ym与xny是同类项，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】同类项．【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）列出方程等式，求出n，m的值，再相加即可．【解答】解：∵﹣5x2ym和xny是同类项，∴n=2，m=1，m+n=2+1=3，故选：C．【点评】本题考查同类项的知识，注意掌握同类项定义中的两个"相同"：同类项定义中的两个"相同"：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点．3．为估计池塘两岸A、B间的距离，杨阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16m，PB=12m，那么AB间的距离不可能是（）A．5m B．15m C．20m D．28m【考点】三角形三边关系．【专题】应用题．【分析】首先根据三角形的三边关系定理求出AB的取值范围，然后再判断各选项是否正确．【解答】解：∵PA、PB、AB能构成三角形，∴PA﹣PB＜AB＜PA+PB，即4m＜AB＜28m．故选D．【点评】已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4．在乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（）A．众数是90 B．中位数是90 C．平均数是90 D．极差是90【考点】折线统计图；算术平均数；中位数；众数；极差．【分析】根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．【解答】解：∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；故A正确；∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2=90；故B正确；∵平均数是（80×1+85×2+90×5+95×2）÷10=89；故C错误；极差是：95﹣80=15；故D正确．综上所述，C选项符合题意；故选C．【点评】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差．5．用四个相同的小立方体搭几何体，要求每个几何体的主视图、左视图、俯视图中至少有两种视图的形状是相同的，下列四种摆放方式中不符合要求的是（）A． B． C． D．【考点】简单组合体的三视图．【专题】几何图形问题．【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从正面、左面、上面所看到的图形．【解答】解：A、此几何体的主视图和俯视图都是""字形，故A选项不合题意；B、此几何体的主视图和左视图都是，故B选项不合题意；C、此几何体的主视图和左视图都是，故C选项不合题意；D、此几何体的主视图是，俯视图是，左视图是，故D选项符合题意，故选：D．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．6．若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不是【考点】反比例函数的性质．【专题】计算题．【分析】反比例函数的图象位于第二、四象限，比例系数k﹣1＜0，即k＜1，根据k的取值范围进行选择．【解答】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴k﹣1＜0，即k＜1．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．7．x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？则正确的结论是（）A．m=0时成立 B．m=2时成立 C．m=0或2时成立 D．不存在【考点】根与系数的关系．【分析】先由一元二次方程根与系数的关系得出，x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，求出m=0，再用判别式进行检验即可．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，∴x1+x2=m，x1x2=m﹣2．假设存在实数m使+=0成立，则=0，∴=0，∴m=0．当m=0时，方程x2﹣mx+m﹣2=0即为x2﹣2=0，此时△=8＞0，∴m=0符合题意．故选：A．【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系：如果x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，那么x1+x2=﹣p，x1x2=q．8．已知二次函数y=2x2+bx+1，当b取不同的值时，其图象构成一个"抛物线系"，如图中的实线型抛物线分别是b取三个不同的值时二次函数的图象，它们的顶点在一条抛物线上（图中虚线型抛物线），则这条虚线型抛物线的解析式是（）A．y=﹣x2+1 B．y=﹣2x2+1 C．y=﹣x2+1 D．y=﹣4x2+1【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后变形即可得到所求抛物线的解析式．【解答】解：∵y=2x2+bx+1的顶点坐标是（﹣，），设x=﹣，y=，∴b=﹣4x，∴y===1﹣2x2．∴所求抛物线的解析式为：y=1﹣2x2．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，用含b的式子表示出抛物线的顶点坐标，然后再消去参数b是解题的关键．二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）9．分解因式：（2a﹣1）2﹣a2=（3a﹣1）（a﹣1）．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．【解答】解：（2a﹣1）2﹣a2=（2a﹣1+a）（2a﹣1﹣a）=（3a﹣1）（a﹣1）．故答案为：（3a﹣1）（a﹣1）．【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．10．我国南海海域面积为3500000km2，用科学记数法表示3500000为3.5×106．【考点】科学记数法-表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：将3500000用科学记数法表示为3.5×106．故答案为：3.5×106．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．11．化简的结果是m．【考点】分式的混合运算．【专题】计算题．【分析】本题需先把（m+1）与括号里的每一项分别进行相乘，再把所得结果相加即可求出答案．【解答】解：=（m+1）﹣1=m故答案为：m．【点评】本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要把（m+1）分别进行相乘是解题的关键．12．已知直线y=2x﹣b经过点（1，﹣1），则关于x的不等式2x﹣b≥0的解集是x≥．【考点】一次函数与一元一次不等式．【分析】把点（1，﹣1）代入直线y=2x﹣b得到b的值，再解不等式．【解答】解：把点（1，﹣1）代入直线y=2x﹣b得，﹣1=2﹣b，解得，b=3．函数解析式为y=2x﹣3解2x﹣3≥0得x≥．故答案为：x≥．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式，要知道，点的坐标符合函数解析式．13．有一箱装有3张分别标示4、5、6的号码牌，已知孔明同学以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数．若先后取出2张牌组先后组成二位数的每一种结果发生的机会都相同，则组成的二位数为6的倍数的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与组成的二位数为6的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：画树状图得：∵共有6种等可能的结果，组成的二位数为6的倍数的有1种情况，∴组成的二位数为6的倍数的概率是：．故答案为：．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于140°．【考点】圆周角定理；垂径定理．【专题】计算题．【分析】先根据垂径定理得到=，再根据圆周角定理得∠BOD=2∠CAB=40°，然后利用邻补角的定义计算∠AOD的度数．【解答】解：∵CD⊥AB，∴=，∴∠BOD=2∠CAB=2×20°=40°，∴∠AOD=180°﹣∠BOD=180°﹣40°=140°．故答案为140°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AB=2．将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，则点B转过的路径长为π．【考点】旋转的性质；弧长的计算．【专题】计算题．【分析】先在△ABC中利用∠ABC的余弦计算出BC=2cos30°=，再根据旋转的性质得∠BCB′=60°，然后根据弧长公式计算点B转过的路径长．【解答】解：在△ABC中，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，∴cos∠ABC=，∴BC=2cos30°=2×=，∵△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得△A′B′C′，∴∠BCB′=60°，∴弧BB′的长==π．故答案为π．【点评】本题考查了转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了弧长的计算．16．如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需157根火柴．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】根据第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，得出规律第n个图案需n（n+3）+3根火柴，再把11代入即可求出答案．【解答】解：根据题意可知：第1个图案需7根火柴，7=1×（1+3）+3，第2个图案需13根火柴，13=2×（2+3）+3，第3个图案需21根火柴，21=3×（3+3）+3，…，第n个图案需n（n+3）+3根火柴，则第11个图案需：11×（11+3）+3=157（根）；故答案为：157．【点评】此题主要考查了图形的变化类，关键是根据题目中给出的图形，通过观察思考，归纳总结出规律，再利用规律解决问题，难度一般偏大，属于难题．三、解答题（本大题共8小题，共52分）17．计算：|﹣3|﹣sin60°+2﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】本题涉及绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：|﹣3|﹣sin60°+2﹣1=3﹣×+=3﹣+=2．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．先化简，再求值：（a+2）2﹣a（a﹣2），其中a=﹣．【考点】整式的混合运算-化简求值．【专题】计算题．【分析】原式利用完全平方公式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式=a2+4a+4﹣a2+2a=6a+4，当a=﹣时，原式=﹣3+4=1．【点评】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19．为了鼓励市民节约用电，某市对居民用电实行"阶梯收费"（总电费=第一阶梯电费+第二阶梯电费），规定：用电量不超过200度按第一阶梯电价收费，超过200度的部分按第二阶梯电价收费．以下是张磊家2014年3月和4月所交电费的收据，问该市规定的第一阶梯电价和第二阶梯电价分别为每度多少元？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，分别根据3月份和4月份的电费收据，列出方程组，求出x和y值．【解答】解：设第一阶梯电价每度x元，第二阶梯电价每度y元，由题意可得，，解得．答：第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯电价每度0.6元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．20．如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处，AB=6，BC=10（1）求证：△AEF∽△DFC；（2）求线段EF的长度．【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，于是得到∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，推出∠AEF=∠DFC，即可得到结论；（2）根据折叠的性质得CF=BC=10，根据勾股定理得到DF==8，求得AF=2，然后根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠D=∠B=90°，根据折叠的性质得∠EFC=∠B=90°，∴∠AFE+∠AEF=∠AFE+∠DFC=90°，∴∠AEF=∠DFC，∴△AEF∽△DFC；（2）根据折叠的性质得：CF=BC=10，∴DF==8，∴AF=2，∵AE=AB﹣BE=6﹣EF，∴EF2=AE2+AF2，即EF2=（6﹣EF）2+22，解得：EF=．【点评】该题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质、翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用矩形的性质、翻折变换的性质来分析、判断、解答．21．为了全面了解初中学生的综合素质，我市对初三年级学生的体育、物理实验操作、化学实验操作成绩进行抽样调查，成绩评定为A，B，C，D四个等级．现抽取这三种成绩共1000份进行统计分析，其中A，B，C，D分别表示优秀，良好，合格，不合格四个等级．相关数据统计如下表及图所示 A B C D物理实验操作 120 70 90 20化学实验操作 90 110 30 m体育 n 140 160 27（1）请将上表补充完整（直接填数据，不写解答过程）．（1）请直接写出m=20，n=123．（2）计算扇形统计图中体育部分的扇形圆心角的度数．（3）我市共有40000名学生参加测试，试估计我市初三年级学生化学实验操作合格及合格以上大约有多少人？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表．【分析】（1）根据体育、物理实验操作、化学实验操作所占的百分比分别乘以1000求得各科目人数，然后减去其他等级的人数，从而完整表格；（2）360°乘以体育部分所占百分比即可；（3）用全市所有人数乘以化学实验操作合格及合格以上的人数所占的百分比即可；【解答】解：（1）1000×（100%﹣25%﹣30%）=450，n=450﹣140﹣27﹣160=123，1000×25%=250，m=250﹣90﹣110﹣30=20；（2）体育部分的扇形圆心角的度数：360°×45%=162°；（3）4000×=3680（人），答：我市初三年级学生化学实验操作合格及合格以上大约有3680人．【点评】本题考查了扇形统计图的知识，解题的关键是仔细的读图，并从统计图中整理出进一步解题的有关信息．22．如图，AB，AC分别是半⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，过点A作半⊙O的切线AP，AP与OD的延长线交于点P．连接PC并延长与AB的延长线交于点F．（1）求证：PC是半⊙O的切线；（2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF的长．【考点】切线的判定与性质；解直角三角形．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）连接OC，可以证得△OAP≌△OCP，利用全等三角形的对应角相等，以及切线的性质定理可以得到：∠OCP=90°，即OC⊥PC，即可证得；（2）依据切线的性质定理可知OC⊥PE，然后通过解直角三角函数，求得OF的值，再减去圆的半径即可．【解答】（1）证明：连接OC，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OCP=∠OAP∵PA是半⊙O的切线，∴∠OAP=90°．∴∠OCP=90°，即OC⊥PC∴PC是⊙O的切线．（2）解：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠CAB=30°，∴∠COF=60°，∵PC是半⊙O的切线，AB=10，∴OC⊥PF，OC=OB=AB=5，∴OF===10，∴BF=OF﹣OB=5．【点评】本题考查了切线的性质定理以及判定定理，以及直角三角形三角函数的应用，证明圆的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题．23．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB，AC，AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长．【考点】相似形综合题．【分析】（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表达式，然后利用二次函数的性质求解．【解答】（1）证明：当t=2时，DH=AH=4，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥BC于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．（2）解：如答图2所示，由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．∴，即．解得：EF=10﹣t．S△PEF=EFoDH=（10﹣t）o2t=﹣t2+10t=﹣（t﹣2）2+10（0＜t＜），∴当t=2秒时，S△PEF存在最大值，最大值为10cm2，此时BP=3t=6cm．【点评】本题是运动型综合题，涉及动点与动线两种运动类型．第（1）问考查了菱形的定义；第（2）问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值，利用相似三角形的性质表示出EF的长是解题的关键．24．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】几何综合题；压轴题．【分析】（1）已知B（4，m）在直线y=x+2上，可求得m的值，抛物线图象上的A、B两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值．（2）要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差．可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值．（3）当△PAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形，需要分类讨论，分别求解．【解答】解：（1）∵B（4，m）在直线y=x+2上，∴m=4+2=6，∴B（4，6），∵A（，）、B（4，6）在抛物线y=ax2+bx+6上，∴，解得，∴抛物线的解析式为y=2x2﹣8x+6．（2）设动点P的坐标为（n，n+2），则C点的坐标为（n，2n2﹣8n+6），∴PC=（n+2）﹣（2n2﹣8n+6），=﹣2n2+9n﹣4，=﹣2（n﹣）2+，∵PC＞0，∴当n=时，线段PC最大且为．（3）∵△PAC为直角三角形，i）若点P为直角顶点，则∠APC=90°．由题意易知，PC∥y轴，∠APC=45°，因此这种情形不存在；ii）若点A为直角顶点，则∠PAC=90°．如答图3﹣1，过点A（，）作AN⊥x轴于点N，则ON=，AN=．过点A作AM⊥直线AB，交x轴于点M，则由题意易知，△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=，∴OM=ON+MN=+=3，∴M（3，0）．设直线AM的解析式为：y=kx+b，则：，解得，∴直线AM的解析式为：y=﹣x+3①又抛物线的解析式为：y=2x2﹣8x+6②联立①②式，解得：x=3或x=（与点A重合，舍去）∴C（3，0），即点C、M点重合．当x=3时，y=x+2=5，∴P1（3，5）；iii）若点C为直角顶点，则∠ACP=90°．∵y=2x2﹣8x+6=2（x﹣2）2﹣2，∴抛物线的对称轴为直线x=2．如答图3﹣2，作点A（，）关于对称轴x=2的对称点C，则点C在抛物线上，且C（，）．当x=时，y=x+2=．∴P2（，）．∵点P1（3，5）、P2（，）均在线段AB上，∴综上所述，△PAC为直角三角形时，点P的坐标为（3，5）或（，）．【点评】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识．